隐函数及参数方程求导课件

04九月20231第四节隐函数求导与参数方程求导一、隐函数的导数二、由参数方程确定的函数的导数

三、相关变化率

第二章

03八月20231第四节隐函数求导与参数方程求导一、隐2定义1.隐函数的定义所确定的函数一、隐函数的导数称为隐函数(implicitfunction).的形式称为显函数.隐函数的可显化为函数例开普勒方程开普勒(J.Kepler)1571-1630德国数学家,天文学家.的隐函数客观存在,但无法将表达成的显式表达式.显化.2定义1.隐函数的定义所确定的函数一、隐函数的导数称为隐函32.隐函数求导法隐函数求导法则

用复合函数求导法则,并注意到其中将方程两边对x求导.变量y是x的函数.隐函数不易显化或不能显化？如何求导32.隐函数求导法隐函数求导法则用复合函数求04九月20234隐函数求导方法:

两边对

x

求导(含导数的方程)解03八月20234隐函数求导方法:两边对x求导(含5

虽然隐函数没解出来,但它的导数求出来了,当然结果中仍含有变量y.允许在的表达式中含有变量y.一般来说,隐函数求导,

求隐函数的导数时,只要记住x是自变量,将方程两边同时对x求导,就得到一个含有导数从中解出即可.于是y的函数便是x的复合函数,的方程.y是x的函数,5虽然隐函数没解出来,但它的导数求出来了,6解解得23)4(xy-)112(2-¢×yy6解解得23)4(xy-)112(2-¢×yy04九月20237例2.解03八月20237例2.解04九月20238例3.求椭圆在点处的切线方程.解:

椭圆方程两边对

x

求导故切线方程为即03八月20238例3.求椭圆在点处的切线方程.解:练习解在题设方程两边同时对自变量求导,得解得求由方程所确定的函数在点处的切线方程.在点处于是,在点处的切线方程为即练习解在题设方程两边同时对自变量求导,得解得求由方程所确定的04九月202310对数求导法1.方法:2.适用范围:先在两边取对数,然后利用隐函数的求导方法求出y的导数.适用于幂指函数及某些用连乘,连除表示的函数.例如幂指函数：两端对x求导：03八月202310对数求导法1.方法:2.适用范围:先04九月202311例.解等式两边取对数得也可这样求:03八月202311例.解等式两边取对数得也可这样求:04九月202312例.解等式两边取对数得03八月202312例.解等式两边取对数得04九月202313另例两边取对数两边对

x求导03八月202313另例两边取对数两边对x求导二、由参数方程所确定的函数的导数例如消去参数问题:消参困难或无法消参如何求导?二、由参数方程所确定的函数的导数例如消去参数问题:消参困难由复合函数及反函数的求导法则得由复合函数及反函数的求导法则得?由于思考与讨论:则?由于思考与讨论:则04九月202317若上述参数方程中二阶可导,且则由它确定的函数可求二阶导数.利用新的参数方程,可得03八月202317若上述参数方程中二阶可导,且则由它确例.解

所求切线方程为例.解所求切线方程为例求由摆线的参数方程所表示的函数的二阶导数.t一个圆沿一直线缓慢地滚动，则圆上一固定点所经过的轨迹称为摆线．例求由摆线的参数方程所表示的函数的二阶导数.t一个圆沿一直线解解练习：解练习：解04九月202322例.抛射体运动轨迹的参数方程为求抛射体在时刻t的运动速度的大小和方向.解:

先求速度大小:速度的水平分量为垂直分量为故抛射体速度大小再求速度方向(即轨迹的切线方向):设

为切线倾角,则03八月202322例.抛射体运动轨迹的参数方程为求抛04九月202323抛射体轨迹的参数方程速度的水平分量垂直分量达到最高点的时刻高度落地时刻抛射最远距离速度的方向03八月202323抛射体轨迹的参数方程速度的水平分量垂三、相关变化率相关变化率问题:已知其中一个变化率时如何求出另一个变化率?三、相关变化率相关变化率问题:已知其中一个变化率时如何求出另04九月202325为两可导函数之间有联系之间也有联系称为相关变化率相关变化率问题解法:找出相关变量的关系式对

t求导得相关变化率之间的关系式求出未知的相关变化率03八月202325为两可导函数之间有联系之间也有联系称04九月202326例.一气球从离开观察员500m

处离地面铅直上升,其速率为当气球高度为500m时,观察员视线的仰角增加率是多少?解:设气球上升

t

分后其高度为h

,仰角为

,则两边对

t求导已知

h=500m时,03八月202326例.一气球从离开观察员500m04九月202327思考题:当气球升至500m

时停住,有一观测