轨道轨迹方程课件

第0章绪论和数学预备知识

物理学是探讨物质结构和运动基本规律的学科。

1第一节课程介绍物质世界普遍而基本的规律第0章绪论和数学预备知识1第一节课程介绍物质世界普遍而运动形式：机械运动：研究物质相对位置的变化——力学热运动：研究物质的热现象——分子物理学，热学电磁运动：研究带电体及其在电磁场中的运动——电磁学原子运动：研究原子及原子内部的运动——原子物理学2物质：

（１）实体

看得见，摸得着

（２）场

摸不着，也不易看到，但能感觉到运动形式：2物质：

（１）实体看得见，摸得着

（２）场摸大学物理课程的地位、性质和目的

（1）使学生较全面系统地掌握自然界各种基本运动形式及其规律的知识，让学生打下坚实的物理基础；3大学物理是一门必修公共基础课；（2）培养学生的科学思想和研究方法，提高科学素养；激发同学们的探索和创新精神，增强学生自我更新知识的能力，以适应飞速发展的科技时代的种种要求。通过本课程的学习：大学物理课程的地位、性质和目的

（1）使学生较全面系统地掌握怎样学好大学物理？思想上重视，主观上努力，认真听讲，虚心学习！4注重新概念、新内容的学习培养利用高等数学思考、处理问题的能力养成自主、自觉学习的好习惯积极进取，不要松懈怎样学好大学物理？思想上重视，主观上努力，认真听讲，虚心学习应该抓好以下几个环节：

一、做好准备。二、科学学习。

三、共同学习。

四、课堂学习。

五、理解例题。

六、完成作业。七、复习与总结。应该抓好以下几个环节：

一、做好准备。二、科学学习。三大学物理作业基本要求完成一定数量的作业习题是为了熟练掌握、灵活运用基本物理概念和原理，提高分析解决问题的能力。长期坚持认真地做好每一道习题还有助于培养严谨的科学作风，提高清晰的论证和表述能力。6大学物理作业基本要求完成一定数量的作业习题是为了熟练掌握课程考核方法和纪律要求

成绩评定采用100分制，60分为及格线：平时成绩占20%，期末考试占80%。平时成绩主要以平时作业完成情况、课堂纪律.具体是：（1）旷课1节扣1分；（2）缺交一次作业扣1分；（3）20分扣完为止。7课程考核方法和纪律要求成绩评定采用100分制，60分为及格第二节矢量代数的基本知识一、标量和矢量的概念1.定义标量只有大小，例如：质量、长度、时间、密度、能量、温度等；矢量既有大小又有方向，并有一定的运算规则，例如：位移、速度、加速度、角速度、力矩、角动量、电场强度、磁感应强度等等；8第二节矢量代数的基本知识一、标量和矢量的概念8解析表示:

几何表示:

大小:

4.单位矢量长度为一个单位的矢量9有指向的线段3.矢量相等两个矢量大小相同，方向相同2.矢量（vector）的几种表示方式解析表示:

几何表示:

大小:

4.单位矢量9有指向的10矢量的运算法则：交换律结合律1、加法：（矢量的合成）含平行四边形法则和三角形法则平行四边形法则

三角形法则

10矢量的运算法则：交换律结合律1、加法：（矢量的合成）平行2、矢量的数乘：11结合律分配律矢量乘标量结果仍为矢量2、矢量的数乘：11结合律分配律矢量乘标量结果仍为矢量3.矢量的分解

在一个平面内，若存在两个不共线的矢量和，则平面内的任一矢量可以分解为：（1）正交分解：选择（2）三维空间中应有3个不共面的矢量123.矢量的分解在一个平面内，若存在两个不共线的矢13交换律分配律(1)定义4.矢量的标积（点积、内积）(2)性质13交换律分配律(1)定义4.矢量的标积（点积、内积）(2145.矢量的矢积（叉积、外积）(1)定义方向:AB

145.矢量的矢积（叉积、外积）(1)定义方向:AB15不交换！AB

【思考】下列运算“合法”吗？(2)性质矢量与标量不能相等！书写时别忘记加上矢量号（帽子）。15不交换！AB【思考】下列运算“合法”吗？(2)性质矢量1.正交坐标系的基矢

一个坐标系需要由基矢量组成的基，基矢量相互正交的坐标系称为正交坐标系。直角坐标系是正交坐标系，它的基为：16三、正交坐标系1.正交坐标系的基矢16三、正交坐标系2.矢量运算在正交坐标系中的表示

一个矢量可以用基矢展开(即按基矢分解，也称向坐标轴投影)172.矢量运算在正交坐标系中的表示一个矢量可以用基矢展18第一部分力学18第一部分力学19运动学(kinematics)动力学(dynamics)静力学(statics)只描述物体的运动，不涉及引起运动和改变运动的原因。研究运动与相互作用之间的关系。研究物体在相互作用下的平衡问题。19运动学(kinematics)动力学(dynamics20第一章质点运动学

Kinematicsofparticles20第一章质点运动学Kinematicsofpart一切物理现象都是物质运动的表现21

在物质的各种运动形式中，最简单、最基本的一种运动是物体之间(或物体各部分之间)相对位置的变化，称为机械运动。机械运动是一切物理运动中最简单的运动；质点的曲线运动是机械运动中最基本的形式1-1质点运动的描述一切物理现象都是物质运动的表现21在物质的各种运动形式中2222一时间和空间1.时间的单位和标准时间表征物质运动的持续性。

1s是铯的一种同位素133Cs原子发出的一个特征频率光波周期的9192631770倍1s为平均太阳日的1/86400国际计量大会规定2.时间和时刻

一个过程对应的时间间隔称时间，某一瞬时称时刻。2222一时间和空间1.时间的单位和标准时间表征物质运动232.空间长度的单位和标准空间反映物质运动的广延性。

1m是光在真空中(1/299792458)s时间间隔内所经路径的长度．国际计量大会规定

18

世纪法国把通过巴黎的子午线从北极到赤道之间长度的千万分之一定义为米，232.空间长度的单位和标准空间反映物质运动的广延性。二、参考系、坐标系和质点

宇宙中的一切物体都在运动，没有绝对静止的物体，这叫运动的绝对性。241.参考系（参照系）太阳系zx

y地心系地面系二、参考系、坐标系和质点宇宙中的一切物体都在运动，没参考系的选择可视问题性质而任意选定：

研究地球的运动时，太阳为参考系；

研究地面上物体的运动时，以地球为参考系25

为了描述一个物体的机械运动，必须选另一个物体作为参考物，被选作参考的物体称为参考系

同一物体的运动，由于我们选取的参考系不同，对它的运动的描述就不同，这称为运动描述的相对性。因此，描述运动必须指出参考系!例如:火车开动后,火车上的乘客看同车厢的乘客和车外的树木房屋车外的人……参考系的选择可视问题性质而任意选定：

研究地球的运动时，太阳2.坐标系

只有参考系不能定量地描述物体在各个时刻相对于参考系的位置。所以必须在参考系上选取适当的坐标系。这样就可定量描述物体的位置。26

最常用的坐标系是直角坐标系。其它的坐标系还有极坐标系、自然坐标系、柱坐标系和球坐标系。2.坐标系只有参考系不能定量地描述物体在各个时刻相对于3.质点注意：（1）质点为一个理想模型；物理学中有很多模型（以后将会接触到），是实际情况的简化。是对复杂问题抽出主要矛盾，加以研究的有效方法；（2）能否将运动物体视为质点要视乎问题的性质；例如：研究足球的运动、花样溜冰运动员的运动？27

在某些问题中，物体的形状和大小对我们所关心的问题影响不大，可以忽略不计，这样就可把物体看成一个只有质量、没有大小和形状的几何点，这样的物体称为质点。（足球的大小尺寸和旋转情况相对于飞行的弧线可忽略不计；花样溜冰运动员动作复杂，既有旋转又有平移，动作进行技术分解……只研究滑行路线……）。（3）在本课程力学部分，除了刚体以外，一般将物体视为质点。3.质点注意：27在某些问题中，物体的形状和大小对我们所28三位置矢量运动方程位移

矢量作用矢量运算规则

物理定律用矢量表示形式简洁；使定律的推导大为简化。

加减法遵从平行四边形法则或三角形法则。矢量方向的变化同样重要注意28三位置矢量运动方程位移矢量作29１.位置矢量（位矢）

为描述质点的运动，我们在参考系上建立了坐标系。如何确定质点在某一时刻的位置呢？仅有一个数量的概念行不行？例：一个人在距中北大学五公里的地方，现派人去找他……29１.位置矢量（位矢）为描述质点的运动，我们在参考系上(1)位置矢量：从坐标原点到质点所在位置的有向线段叫做位置矢量我们要用一个矢量来确定质点的位置——30如上例，以中北大学为坐标原点，建立坐标系，则这个人的位置可以表示为(1)位置矢量：从坐标原点到质点所在位置的有向线段叫做位置矢(2)数学表示

一般地，一质点沿曲线AB运动，某一时刻t质点在A处，31Ａ矢量可以分解，在二维直角坐标系中，将它沿x轴、y轴分解设为直角坐标系中x轴和y轴上的单位矢量则叫做时刻t质点的位置矢量.(2)数学表示一般地，一质点沿曲线AB运动，某一时刻t质32则位置矢量可以表示为*32则位置矢量可以表示为*用方向余弦表示两个要素方向大小用方向余弦表示两个要素方向大小2.运动方程

质点在空间运动时，它相对坐标原点的位矢是随时间变化的．位矢随时间变化的规律即为运动方程，记为：34（1）运动方程的分量式x=x(t)、y=y(t)、z=z(t)是运动方程的分量式。（2）运动方程中包含了质点运动的全部信息：可以确定任一时刻质点的位置、速度和加速度；确定质点的运动轨道2.运动方程质点在空间运动时，它相对坐标原点的位矢（3）轨道（轨迹）方程

在运动方程的分量式中，消去时间t得f(x，y，z)=0,此方程称为质点的轨道方程；35

具体地说，位置矢量末端在空间描出的连续曲线；直观地说，曲线AB就是质点的运动轨迹；轨道是直线的称为直线运动；轨道是曲线的称为曲线运动；（3）轨道（轨迹）方程

在运动方程的分量式中，消去时间t36例已知一质点的位矢为：其中R和为常量，求该质点的轨迹。解：消去参数t

：质点的运动轨迹是半径为R的圆。36例已知一质点的位矢为：其中R和为常量，求该质点的3.位移（1）概念

t时刻，质点在A点，位矢为；t+Δt时刻，质点在B点，位矢为，则在Δt这段时间内，质点位矢的增量称为质点在Δt时间内的位移。它既表示了Δt时间内质点离开A点的距离又表示了离开A点的方向．3.位移（1）概念它既表示了Δt时间内质点离开A点的距离又（2）位移在直角坐标系中的数学表示38BA平面运动:三维运动:（2）位移在直角坐标系中的数学表示38BA平面运动:三维运动注意：*位移为矢量，方向从初位置指向末位置。*位移的大小记为，它是位移矢量的长度。位移和位矢的区别

位矢是坐标原点指向质点位置的一段有向线段，与坐标原点的选取有关。位移是质点运动初末位置的位矢之差（满足矢量三角形法则），与坐标原点的选取无关；注意：位移和位矢的区别位矢是坐标原点指向质点位置的一段有40路程与位移的区别

质点运动轨迹的长度称为路程，它是一个正数，是一个标量。从A到B：路程40路程与位移的区别质点运动轨迹的长位移：矢量，仅与物体的初末位置有关，两点间的位移是唯一的，能完全确定质点位置的改变；路程：标量，是Δt内物体在其轨道上经过的路径的总长，不能完全确定质点位置的改变．位移大小，是质点实际移动的直线距离，一般情况下

（1）方向不变的直线运动位移大小，是质点实际移动的直线距离，一般情况下42注意的意义不同．当时42注意的意义不同．当时四、速度43平均速度（av.velocity）：表示质点运动快慢的物理量。1.平均速度回到前面的示意图，我们定义质点从时刻t到时刻t+Δt的平均速度为：注意：（1）平均速度的物理意义：质点在Δt时间内运动的平均快慢程度（2）平均速度为矢量，方向就是位移的方向，大小为；单位四、速度43平均速度（av.velocity）：表示质点运（3）平均速率的概念44平均速率（av.speed）：*和平均速度的区别

（4）平均速度在直角坐标系中的分解（3）平均速率的概念44平均速率（av.speed）：*和2.（瞬时）速度定义：令，则质点在t时刻的瞬时速度为45（2）速度的方向为元位移的方向，刚好为质点所在处轨道曲线的切线方向，并指向运动方向；（1）速度是矢量，速度的大小称为（瞬时）速率而且速率2.（瞬时）速度定义：令，则质点在t时刻的45（2）（3）在直角坐标系中质点的速度表示为：46大小

方向

思考

(1)速度的大小与速率同否？（3）在直角坐标系中质点的速度表示为：46大小方向思考47瞬时速率平均速率平均速度47瞬时速率平均速率平均速度48

一运动质点在某瞬时位于位矢的端点处，其速度大小为（A）（B）（C）（D）（2）注意48一运动质点在某瞬时位于位矢49（3）49（3）

若质点在二维空间中运动,其速度为已知质点的运动方程用求导方法求速度若质点在二维空间中运动,其速度为已知质点的已知质点的速度用积分法求质点运动方程已知时质点坐标同理已知质点的速度用积分法求质点运动方程已知例一质点做直线运动，其运动方程为

求：（1）从时刻t=1s

到t=3s

时间间隔内质点位移的大小和它走过的路程,（2）该质点在第1秒末到第3秒末这段时间内平均速度，（3）第1秒末和第3秒末的瞬时速度。例一质点做直线运动，其运动方程为求：（1）从时刻解：（1）位移大小为速度变号路程为：解：（1）位移大小为速度变号路程为：（2）

根据定义（3）第1秒末和第3秒末的瞬时速度，可在推导出瞬时速度的通式之后再作计算。将t=1s

和t=3s代入（2）根据定义（3）第1秒末和第3秒末的瞬时速度，例讨论以下表达式的对错：（1）（5）（3）（4）（2）分析:Δt→0时，位移的大小与路程可视为相等。例讨论以下表达式的对错：（1）（5）（3）（4）（2）分因而（3）正确，（5）正确，（2）错误。

如图：（4）是错的。（1）也是错的。因而（3）正确，（5）正确，（2）错误。如图：（4）是错五、加速度571.平均加速度在Δt时间内，速度增量为定义平均加速度：与速度增量方向相同

xr(t+Δt)r(t)

y

z

0v

(t)v

(t+Δt)Δvv

(t)v

(t+Δt)

描述速度的大小和方向随时间发生变化的物理量（表示速度变化的快慢）。五、加速度571.平均加速度在Δt时间内，速度增量为定义平582.瞬时加速度

t

0时速度增量的极限方向，在曲线运动中，总是指向曲线的凹侧（如抛体运动）；

大小:方向:单位：（SI制）直线运动582.瞬时加速度t0时速度增量的极限方向，在曲线运动3.直角坐标系中加速度的数学表示59大小:方向:3.直角坐标系中加速度的数学表示59大小:方向:另一方面，只要知道了质点在各时刻的瞬时加速度的分量，（通常是由动力学规律确定）和质点在初始时刻即t=0时的速度另一方面，只要知道了质点在各时刻的瞬时加速度，（通常是由动力例1-3一质点沿y轴作直线运动，它的运动方程为：

（SI制）。求：第2s内质点的平均加速度以及t=1s末和t=2s末的瞬时加速度。解：先求出瞬时速度的表达式：例1-3一质点沿y轴作直线运动，它的运动方程为：第2s内瞬时加速度第2s内瞬时加速度例1-4已知一质点的运动方程为（SI制）。（1）画出质点的运动轨迹。（2）求出t=1s和t=2s时质点的位矢（3）求出1s末和2s末的速度。（4）求出加速度。解：

（1）由运动方程得到沿x，y方向的分量

消去时间t可得轨迹方程例1-4已知一质点的运动方程为（SI制）。（1）画出质点（2）

t=1s时，

t=2s时，，

（2）t=1s时，t=2s时，，（3）

t=1s时，

t=2s时，

（4）质点的加速度表明质点在x轴作匀速直线运动，而在y轴作匀变速直线运动。（3）t=1s时，t=2s时，（4）质点的加速度例1-5一质点自地面以初速度竖直上抛。已知质点的加速度为