(完整版)全等三角形提高题目及答案

(完整版)全等三角形提高题目及答案1.在图中，已知△ABC≌△ADE，BC的延长线过点E，且∠ACB=∠AED=105°，∠CAD=1°，E∠B=5°，要求求出∠DEF的度数。2.在图中，已知△AOB中，∠B=3°，将△AOB绕点O顺时针旋转52°，得到△A′OB′，边A′B′与边OB交于点C（A′不在OB上），求∠A′CO的度数。3.在图中，已知△ABC中，∠A=90°，D、E分别是AC、BC上的点，且△ADB≌△EDB≌△EDC，求∠C的度数。4.在图中，将△ABC绕点C顺时针旋转35°，得到△A′B′C，A′B′交AC于点D，若∠A′DC=90°，求∠A的度数。5.在图中，已知AB=AC，AD⊥BC于D，且AB+AC+BC=50cm,AB+BD+AD=40cm，要求求出AD的长度。6.在图中，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，分别过点B、C作过点A的垂线BC、CE，垂足分别为D、E，若BD=3，CE=2，则DE的长度为B。7.在图中，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，连接EF，交AD于G，要求证明AD与EF不垂直。8.在图中，已知△ABC中AD为∠BAC的角平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且2A的面积是28cm，AB=20cm，AC=8cm，要求求出DE的长度。9.在图中，已知AB=AE，∠B=∠E，∠BAC=∠EAD，∠CAF=∠DAF，要证明AF⊥CD。10.在图中，已知AD=BD，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于点H，要证明BH与AC不相等。11.在图中，已知AD为△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于F，且有BF=AC，FD=CD，要证明BE⊥AC。12.在图中，已知△DAC、△EBC均是等边三角形，AF、BD分别与CD、CE交于点M、N，要证明：（1）AE=BD（2）CM=CN（3）△CMN为等边三角形（4）MN∥BC。13.在图1中，已知点C为线段AB上一点，△ACM、△CBN都是等边三角形，AN交MC于点E，BM交CN于点F，要证明AN=BM。14.根据题目所给图形，可以得出以下结论：①由等边三角形性质可知，AE=AC-CE=CD；②由等边三角形性质可知，BF=AB-AF=BG；③由垂直平分线性质可知，BH=HE，∠AHD=∠AHB+∠BHD=60°；④由等边三角形性质可知，∠AHC=∠ACB=60°；⑤由等边三角形性质可知，△BFG是等边三角形；⑥由平行线性质可知，∠FGA=∠DAB=∠ACB=60°，∠AFG=∠ABC=60°，因此FG∥AD。综上所述，正确选项为C。15.根据题目所给图形，连接AG并延长至交点H，连接FH。由题目所给条件可得，BF=AC=BD，CG=AB=CE，因此△BDF和△CEG都是等腰三角形，所以∠BDF=∠CEG，又因为BE∥CG，所以∠BDF=∠CGE，因此∠CGE=∠CEG，所以△CEG也是等腰三角形，从而CE=CG。又因为FH是△ABC的高，所以FH=BD=AC。由于FH=BD，所以FH∥BD，因此△AGF和△BDF全等，所以AG=DF。又因为FH=AC，所以AH=FC。因此，由勾股定理可得，AG⊥AF。故结论成立。16.由题目所给图形，连接DE和CG。因为△ABC和△BDE都是等边三角形，所以AB=BC=BD=AC，因此△BDC是等腰三角形，所以∠BDC=∠BCD。又因为BE是△ABC的高，所以∠BEC=90°-∠ABC=60°，因此∠BDC=60°，所以∠BCD=60°，从而△BCD是等边三角形。因为CG=AB=BD，所以△BGC是等腰三角形，所以∠BGC=∠GBC，又因为BE∥CG，所以∠BGC=∠BEC，因此∠GBC=∠BEC，所以△BEC也是等腰三角形，从而BE=CE。又因为BD=AC，所以AD=BD-AB=AC-AB=BC，因此AD=CG。因此，AD=AG。由于AD=AG，所以AD和AG重合，因此它们的位置关系是重合。17.由题目所给图形可知，∠DAE=∠FAE，因此△DAE和△FAE相似，从而AF/AE=AE/AD，即AF=AE²/AD。由于E是CD的中点，因此CD=2AE，从而AD=AC-CD=AC-2AE，代入上式得到AF=AE²/(AC-2AE)。又因为E是正方形ABCD的边CD的中点，所以AE=ED=BC/2，因此AF=BC²/(4AC-4BC)。因为ABCD是正方形，所以AB=BC=CD=DA，因此AD=3AB，从而CF=AC-AD=AB。代入上式得到AF=AB/3，即AF=AD/4。因此，AF=AD/4=AD-AF=AD-CF。故结论成立。18.由题目所给图形，连接AE、CE、BD和AC。因为∠ADB=60°，所以BD=AB/2，又因为DE=DB，所以BE=BD+DE=AB/2+AB/3=5AB/6。因为AC=AB，所以CE=AB/2，从而BE+BC=5AB/6+AB=11AB/6=AC。故结论成立。19.由题目所给图形，连接DE、CF和BE。因为DB=DC，所以∠BDC=∠BCD，又因为∠E=9°，所以∠FDC=∠E=9°，从而∠FCD=∠BDC-∠FDC=∠BCD-∠E=∠BCE，因此△BCF和△DCF相似，从而CF/BC=CD/BC=BD/BC=BE/BC，即CF=BE。因此，BE=CF。故结论成立。20.由题目所给图形，连接AF、BD、DE和BC。因为AB=DE，所以∠ABF=∠DEF，又因为AF∥DE，所以∠ABF=∠BDC，因此∠BDC=∠DEF。又因为∠BDC=60°，所以∠DEF=60°，因此△DEF是等边三角形，从而DF=DE=AB。因为∠ADB=60°，所以BD=AB/2，又因为∠BDC=60°，所以DC=BD，因此AC=AB+BC=2BD+BD=3BD，从而BE=AC-AB-DE=2BD-AB=BD。又因为CF∥DE，所以∠BCF=∠DEF=60°，因此△BCF是等边三角形，从而CF=BC。因此，CF=CD+DF=CD+AB，代入上式得到BE+BC=CD+AB+BC=AC。故结论成立。21.由题目所给图形，连接DF、EF和OC。因为OC是∠AOB的平分线，所以∠EOF=∠DOF，又因为PE⊥OB，所以∠PEO=90°-∠OEB，又因为PD⊥OA，所以∠PDO=90°-∠OEA，因此∠EOF=∠DOF=∠PEO+∠PDO=90°-∠OEB+90°-∠OEA=180°-∠A。因为OC是∠AOB的平分线，所以∠COB=∠AOB/2=∠A/2，又因为PE∥OB，所以∠PEO=∠COB，同理可得∠FEO=∠COB，因此△EOF和△COB相似，从而DF/FC=EF/EB，即DF/EF=FC/EB，又因为∠DFE=∠EFC，所以△DFE和△EFC相似，从而DF/EF=FC/DF，因此DF=EF。故结论成立。22.由题目所给图形，连接BD和CD。因为BD=CD，所以△BDE和△CDE有两边和夹角相等，从而△BDE≌△CDE，因此∠BED=∠CED，又因为BF⊥AC，所以∠BED=∠ABC，因此∠CED=∠ABC，因此∠BCE=∠ACB，从而△BCE是等腰三角形，因此BE=CE。因为BF⊥AC，所以∠FBD=90°-∠ACB，又因为BD=CD，所以∠CBD=∠ACB，因此∠FBD=∠CBD，从而△FBD和△CBD有一对角相等，因此△FBD≌△CBD，从而∠BDF=∠CDF，因此BD是∠A的平分线。故结论成立。23.由题目所给图形，连接OE和AB。因为OE是∠ACD与∠BAC的平分线，所以∠EOA=∠COE=∠COA，又因为OE⊥AC，所以∠EOA+∠COA=90°，因此∠COA=45°。又因为OE=2，所以OC=2OE=4，又因为AB∥CD，所以∠AOC=∠COD，又因为OC是∠ACD与∠BAC的平分线，所以∠AOC=∠COE，因此∠COD=∠COE=45°。因此，CD=2CO=8，又因为AB∥CD，所以AB与CD之间的距离等于AE，因此AB与CD之间的距离为4√2。故结论成立。24.根据题目所给图形，画出射线AM和BN，并分别作∠MAB和∠NBA的平分线。因为AM∥BN，所以∠MAB=∠NBA，因此∠EAB=∠EBA。因为∠MAB=∠EAB，所以∠MAB=∠EBA，因此△EAB是等腰三角形，从而AE=BE。因为∠NBA=∠EBA，所以∠NBA=∠EAB，因此△ENB是等腰三角形，从而NE=NB。因为∠AEB=∠NEB，所以△AEB和△NEB相似，从而AE/NE=EB/NB，即AE=EB。因此，AE=BE=NE=NB，从而△AEB和△NEB都是等边三角形，因此∠ABE=∠BNE=60°。因为∠MAB=∠EAB=∠ABE，所以AM是∠BAC的平分线，同理可得BN也是∠BAC的平分线。因此，∠BAC被平分成四个角，即∠MAB=∠NBA=∠EAB=∠EBA=15°。因为∠MAB=∠EAB，所以∠MEA=∠MAB+∠BAC/2=15°+45°=60°，因此∠DEA=120°，从而∠DEC=60°。因为∠DEC=∠BDC，所以△DEC和△BDC相似，从而DE/BD=DC/BC，即DE/BC=1/3。因此，CE=BE+BC=AE+BC=AB+BC/2+BC=3AB/2，从而CD=2CE=3AB。因为∠B+∠D=180°，所以∠FBC=∠FDC=∠B/2，因此△FBC和△FDC相似，从而FC/DC=BC/FC，即FC²=BC×DC。因为CF∥DE，所以∠CFB=∠DEA=120°，从而BC²=BF²+FC²-2BF×FC×cos∠CFB=BF²+FC²-FC×BC。因此，FC²=BC×DC=3AB×AB/3=AB²，代入上式得到BC²=BF²+AB²-BC×AB，即BC²-AB²=BC×AB，因此AC=BC+AB=2AB，从而CD=3AB=AC-AB，因此CF=AB。因为FC²=AB²，所以FC=AB，因此CF=CD+DF=CD+AB，即AD+BC=CD+AB。故结论成立。所以∠A=∠DEB=∠DEC，∠ADB=∠BDE=∠EDC，又∠A+∠B+∠C=180°，∴∠DEC=∠EDC=180°-∠A-∠B-∠C=45°，∠BDE=180°-∠ADB-∠B=45°，∴∠EDB=∠ADB=180°-∠BDE-∠B=45°，又∠EDC+∠DEC+∠EDB=180°，所以∠EDC=∠EDB=45°，因此S△BED=S△DEC=S△ADB=1/2×BD×BE×sin∠BDE=1/2×BD×BE×sin45°=1/2×BD×BE×1/√2=BD×BE/2√2．所以S△BEF=2×S△BED=BD×BE/√2．所以选B．26．正方形ABCD中，AC、BD交于O，∠EOF=90°，已知AE=3，CF=4，则S△BEF为多少？分析：根据正方形的性质，可以得到AB=BC=CD=DA，所以△AEO和△CFO相似，可以列出比例，解出OE和OF的长度，再根据三角形面积公式求出S△BEF．解答：解：∵ABCD是正方形，所以AB=BC=CD=DA，∴△AEO和△CFO相似，∴AE/CF=EO/OF=AO/CO=1，∴EO=OF=3.5，又∵∠EOF=90°，∴S△BEF=1/2×BE×EF=1/2×BD×BE×sin∠BOE=1/2×BD×BE×sin45°=1/2×BD×BE×1/√2=BD×BE/2√2=3.5×3/2√2=3.5√2．所以S△BEF=3.5√2．所以选D．27．在Rt△ABC中，∠ACB=45°，∠BAC=90°，AB=AC，点D是AB的中点，AF⊥CD于H，交BC于F，BE∥AC交AF的延长线于E，求证：BC垂直且平分DE．分析：通过画图可以发现，如果能够证明△ABF与△EFC全等，则可以得到BC垂直于DE，又因为BE∥AC，所以DE也被平分了，所以只需要证明两个三角形全等即可．解答：解：∵AB=AC，∠BAC=90°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴BD=AD=AC/2，又∵AF⊥CD于H，∴AH=HD=AC/2，∴AD=DH，∴△ADH是等腰直角三角形，∴∠AHD=45°，∴∠AFE=45°，又∵BE∥AC，∴∠BEC=∠BAC=90°，∴△BEC是等腰直角三角形，∴BE=EC=AC/√2，又∵AF⊥CD于H，∠AFE=45°，∴∠EFH=45°，∴∠EFC=∠BEC-∠EFH=45°-45°=0°，∴△ABF与△EFC全等，∴BC垂直于DE且平分DE．所以选A．28．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E（1）当直线MN绕点C旋转到图①的位置时，求证：DE=AD+BE（2）当直线MN绕点C旋转到图②的位置时，求证：DE=AD-BE（3）当直线MN绕点C旋转到图③的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系．分析：通过画图可以发现，当直线MN绕点C旋转时，DE、AD、BE三者之间的关系具有一定的规律性，可以通过观察图形来总结规律，并用数学方法进行证明．解答：解：如图，（1）当直线MN绕点C旋转到图①的位置时，∵∠ACB=90°，AC=BC，∴△ABC是等腰直角三角形，∴AD=DB=BC/2，又∵BE⊥MN，MN⊥BC，∴BE∥BC，∴△BEC与△ABC全等，∴BE=BC=AC，∴DE=AD+BE．（2）当直线MN绕点C旋转到图②的位置时，如图，∵∠ACB=90°，AC=BC，∴△ABC是等腰直角三角形，∴AD=DB=BC/2，又∵BE⊥MN，MN⊥BC，∴BE∥BC，∴△BEC与△ABC全等，∴BE=BC=AC，∴DE=AD-BE．（3）当直线MN绕点C旋转到图③的位置时，如图，∵∠ACB=90°，AC=BC，∴△ABC是等腰直角三角形，∴AD=DB=BC/2，又∵BE⊥MN，MN⊥BC，∴BE∥BC，∴△BEC与△ABC全等，∴BE=BC=AC，∴DE=AD．所以当直线MN绕点C旋转时，DE、AD、BE具有如下等量关系：当MN在AC的延长线上时，DE=AD+BE；当MN在BC的延长线上时，DE=AD-BE；当MN在AC和BC之间时，DE=AD．所以等量关系为DE=|AD-BE|．所以选D．4.解答：根据旋转的性质，可得知三角形△ABC绕着点C逆时针旋转35°，得到△AB′C′。因为AB=AC，所以∠ACA′=35°。又因为∠A'DC=90°，所以∠A′=55°。因为∠A的对应角是∠A′，即∠A=∠A′，所以∠A=55°。因此，答案为55°。点评：此题考查了旋转的性质。图形的旋转是指图形上的每一点在平面上绕某个固定点旋转固定角度的位置移动。其中对应点到旋转中心的距离相等，旋转前后图形的大小和形状没有改变。解题的关键是正确确定对应角。5.因为AB=AC，所以三角形ABC是等腰三角形。所以AB+AC+BC=2AB+BC=50。因此，BC=50-2AB=2(25-AB)。又因为AD垂直于BC于D，所以BC=2BD，即BD=25-AB。因为AB+BD+AD=AB+25-AB+AD=AD+25=40，所以AD=40-25=15cm。6.解：因为BD⊥DE，CE⊥DE，所以∠D=∠E。因为∠BAD+∠BAC+∠CAE=180°，又∵∠BAC=90°，所以∠BAD+∠CAE=90°。因为在Rt△ABD中，∠ABD+∠BAD=90°，所以∠ABD=∠CAE。因为在△ABD与△CAE中，有∠ABD=∠CAE，∠D=∠E，AB=AC，所以△ABD≌△CAE（AAS），因此BD=AE，AD=CE。因为DE=AD+AE，所以DE=BD+CE。因为BD=3，CE=2，所以DE=5。7.证明：因为AD是∠BAC的平分线，所以∠EAD=∠FAD。又因为DE⊥AB，DF⊥AC，所以∠AED＝∠AFD＝90°。因为边AD公共，所以Rt△AED≌Rt△AFD（AAS）。因此，AE＝AF，即△AEF为等腰三角形。因为AD是等腰三角形AEF顶角的平分线，所以AD⊥底边EF。因此，结论成立。8.因为AD平分∠BAC，所以∠EAD=∠FAD。因为∠EDA=∠DFA=90度，且AD=AD，所以△AED≌△AFD，因此DE=DF。因为S△ABC=S△AED+S△AFD，所以S△ABC=2S△AED。因为S△ABC=15*20/2=150，所以S△AED=150/2=75。因此，S△ABC=2*75=150。28=1/2(AB*DE+AC*DF)=1/2(20*DE+8*DE)，因此DE=2。又因为9AB=AE，∠B=∠E，∠BAC=∠EAD，所以△ABC≌△AED，进而得出AC=AD。由于△ACD是等腰三角形，所以∠CAF=∠DAF。因为AF平分∠CAD，所以AF⊥CD。10解：由AD⊥BC，可得∠ADB＝∠ADC＝90，进而得出∠CAD+∠C＝90。因为BE⊥AC，所以∠BEC＝∠ADB＝90，进而得出∠CBE+∠C＝90，进而得出∠CAD＝∠CBE。因为AD＝BD，所以△BDH≌△ADC（ASA），因此BH＝AC。11解：（1）由AD⊥BC，可得∠BDA=∠ADC=90°，进而得出∠1＋∠2=90°。在Rt△BDF和Rt△ADC中，可得Rt△BDF≌Rt△ADC（H.L），进而得出∠2=∠C。因为∠1＋∠2=90°，所以∠1＋∠C=90°。因为∠1＋∠C＋∠BEC=180°，所以∠BEC=90°，进而得出BE⊥AC。12证明：（1）由△DAC、△EBC均是等边三角形，可得AC=DC，EC=BC，∠ACD=∠BCE=60°，进而得出∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，即∠ACE=∠DCB。在△ACE和△DCB中，AC=DC，∠ACE=∠DCB，EC=BC，因此△ACE≌△DCB（SAS），进而得出AE=BD。（2）由（1）可知：△ACE≌△DCB，因此∠CAE=∠CDB，即∠CAM=∠CDN。因为△DAC、△EBC均是等边三角形，所以AC=DC，∠ACM=∠BCE=60°。又点A、C、B在同一条直线上，因此∠DCE=180°-∠ACD-∠BCE=180°-60°-60°=60°，即∠DCN=60°。因此∠ACM=∠DCN。在△ACM和△DCN中，∠CAM=∠CDN，AC=DC，∠ACM=∠DCN，因此△ACM≌△DCN（ASA），进而得出CM=CN。(3)由（2）可知CM=CN，∠DCN=60°，因此△CMN为等边三角形。(4)由(3)知∠CMN=∠CNM=∠DCN=60°，因此∠CMN+∠MCB=180°，进而得出MN//BC。13分析：由等边三角形可得其对应线段相等，对应角相等，进而可由SAS得到△CAN≌△MCB，结论得证。分析：本文主要介绍了两个几何问题的解法，第一个问题是证明等边三角形的一些性质，第二个问题是利用全等三角形的性质求解结论是否正确。文章结构清晰，但存在一些格式错误和表述不够准确的地方。解答：证明：（1）因为△ACM和△CBN都是等边三角形，所以AC=MC，BC=NC，∠ACM=60°，∠NCB=60°。在△CAN和△MCB中，AC=MC，∠ACN=∠MCB，NC=BC，所以△CAN≌△MCB（SAS），因此AN=BM。（2）由（1）中的全等可得∠CAN=∠CMB，进而得出∠MCF=∠ACE，由ASA得出△CAE≌△CMF，即CE=CF，又ECF=60°，所以△CEF为等边三角形。点评：本题考查了等边三角形和全等三角形的性质，需要掌握和熟练运用。文章表述较为简洁明了，但存在一些格式错误，需要修改。分析：本文介绍了如何利用等边三角形和全等三角形的性质解决几何问题，文章结构清晰，但表述不够准确，需要进行修改。解答：由题中条件可得△ABE≌△CBD，因此对应边和对应角相等，进而得出△BGD≌△BFE，△ABF≌△CGB。再由边角关系可以得出结论是否正确，进而可得出结论。因为△ABC和△BDE都是等边三角形，所以AB=BC，BD=BE，∠ABC=∠DBE=60°，因此∠ABE=∠CBD，即AB=BC，BD=BE，∠ABE=∠CBD。所以△ABE≌△CBD，因此AE=CD，∠BDC=∠AEB。又因为∠DBG=∠FBE=60°，所以△BGD≌△BFE，因此BG=BF，∠BFG=∠BGF=60°，所以△BFG是等边三角形，因此FG∥AD。因为BF=BG，AB=BC，∠ABF=∠CBG=60°，所以△ABF≌△CGB，因此∠BAF=∠BCG，因此∠CAF+∠ACB+∠BCD=∠CAF+∠ACB+∠BAF=60°+60°=120°，因此∠AHC=60°。因为∠FHG+∠FBG=120°+60°=180°，所以B、G、H、F四点共圆，因为FB=GB，所以∠FHB=∠GHB，因此BH平分∠GHF，因此题中①②③④⑤⑥都正确。故选D。证明：因为$BE\perpAC$，所以$\angleAEB=90^\circ$。又因为$CF\perpAB$，所以$\angleAFC=\angleAFG=90^\circ$。因此，$\angleABE+\angleBAC=90^\circ$，$\angleACF+\angleBAC=90^\circ$，$\angleG+\angleBAG=90^\circ$。由于$BD=AC$，$CG=AB$，且$\angleABD=\angleACG$，所以根据SAS判定，$\triangleABD\cong\triangleGCA$。因此，$AG=AD$。又因为$\angleBAD=\angleG$，所以$\angleGAD=\angleBAD+\angleBAG=\angleG+\angleBAG=90^\circ$，所以$AG\perpAD$。因为$\triangleABC$是正方形，所以$\angleD=\angleC=90^\circ$，$AD=DC$。又因为$\angleDAE=\angleFAE$，$ED\perpAD$，$EG\perpAF$，所以$DE=EG$，$AD=AG$。因为$E$是$DC$的中点，所以$DE=EC=EG$。又因为$EF=EF$，所以$\triangleEFG\cong\triangleECF$，从而$GF=CF$。因此，$AF=AG+GF=AD+CF$。由于$\angleEDB=60^\circ$，且$DE=DB$，所以$\triangleEDB$是等边三角形，$DB=DE=EB$。过$A$作$BC$的垂线交$BC$于$F$，因为$\triangleABC$是等腰三角形，所以$BF=CF$，$2BF=BC$。又因为$\angleDAF=30^\circ$，所以$AD=2DF$，$DF=DB+BF$，所以$AD=2(DB+BF)=2DB+2BF=2DB+BC$。∴∠FGD=90°，又∠AOD=∠COB（角平分线的性质），∴∠FOD=∠GOE，又∠FOE=∠GOE=90°，∴△FOE≌△GOE（两直角边相等），∴OE=OF=OG，设AB与CD之间的距离为h，则h=FG=ED-OF=ED-OE=BD-BC．点评：本题考查了角平分线的性质，需要画图，理清思路，灵活运用角平分线的性质来解决问题。根据题目，需要剔除格式错误和明显有问题的段落，所以删除了第一段和第三段。改写后的文章：题目：如图，