第一节对弧长的曲线积分

第一节对弧长的曲线积分1第1页，课件共43页，创作于2023年2月第一节一、对弧长的曲线积分的概念与性质二、对弧长的曲线积分的计算法对弧长的曲线积分

第十章2第2页，课件共43页，创作于2023年2月一、对弧长的曲线积分的概念与性质假设曲线形细长构件在空间所占弧段为AB,其线密度为“大化小,常代变,近似和,求极限”

可得为计算此构件的质量,1.引例:

曲线形构件的质量采用3第3页，课件共43页，创作于2023年2月设

是空间中一条有限长的光滑曲线,义在

上的一个有界函数,都存在,

上对弧长的曲线积分,记作若通过对

的任意分割局部的任意取点,2.定义下列“乘积和式极限”则称此极限为函数在曲线或第一类曲线积分.称为被积函数，

称为积分弧段.曲线形构件的质量和对4第4页，课件共43页，创作于2023年2月如果L是xoy

面上的曲线弧,如果L

是闭曲线,则记为则定义对弧长的曲线积分为思考:(1)若在L上f(x,y)≡1,(2)定积分是否可看作对弧长曲线积分的特例?否!

对弧长的曲线积分要求ds0,但定积分中dx可能为负.5第5页，课件共43页，创作于2023年2月6第6页，课件共43页，创作于2023年2月3.性质（k为常数)(

由组成)(l为曲线弧

的长度)7第7页，课件共43页，创作于2023年2月二、对弧长的曲线积分的计算法基本思路:计算定积分转化定理:且上的连续函数,证:是定义在光滑曲线弧则曲线积分求曲线积分根据定义8第8页，课件共43页，创作于2023年2月点设各分点对应参数为对应参数为则9第9页，课件共43页，创作于2023年2月说明:因此积分限必须满足(2)注意到因此上述计算公式相当于“换元法”.因此10第10页，课件共43页，创作于2023年2月如果曲线L的方程为则有如果方程为极坐标形式:则推广:设空间曲线弧的参数方程为则11第11页，课件共43页，创作于2023年2月12第12页，课件共43页，创作于2023年2月三.几何与物理意义Oyxz13第13页，课件共43页，创作于2023年2月14第14页，课件共43页，创作于2023年2月例1.计算其中L是抛物线与点B(1,1)之间的一段弧.解:上点O(0,0)15第15页，课件共43页，创作于2023年2月例2.计算半径为R,中心角为的圆弧L

对于它的对称轴的转动惯量I(设线密度

=1).解:建立坐标系如图,则16第16页，课件共43页，创作于2023年2月例3.计算其中L为双纽线解:在极坐标系下它在第一象限部分为利用对称性,得17第17页，课件共43页，创作于2023年2月例4.

计算曲线积分

其中

为螺旋的一段弧.解:线18第18页，课件共43页，创作于2023年2月例5.

计算其中

为球面被平面所截的圆周.解:由对称性可知19第19页，课件共43页，创作于2023年2月思考:

例5中

改为计算解:令,则圆

的形心在原点,故,如何20第20页，课件共43页，创作于2023年2月例6.

计算其中为球面解:化为参数方程则21第21页，课件共43页，创作于2023年2月例7.

有一半圆弧其线密度解:故所求引力为求它对原点处单位质量质点的引力.22第22页，课件共43页，创作于2023年2月内容小结1.定义2.性质(l曲线弧

的长度)23第23页，课件共43页，创作于2023年2月3.计算•对光滑曲线弧•对光滑曲线弧•对光滑曲线弧24第24页，课件共43页，创作于2023年2月思考与练习1.已知椭圆周长为a,求提示:原式=利用对称性分析:25第25页，课件共43页，创作于2023年2月2.

设均匀螺旋形弹簧L的方程为(1)求它关于z轴的转动惯量(2)求它的质心.解:设其密度为

ρ(常数).(2)L的质量而(1)26第26页，课件共43页，创作于2023年2月故重心坐标为27第27页，课件共43页，创作于2023年2月备用题1.设C是由极坐标系下曲线及所围区域的边界,求提示:分段积分28第28页，课件共43页，创作于2023年2月29第29页，课件共43页，创作于2023年2月2.

L为球面面的交线,求其形心.在第一卦限与三个坐标解:如图所示,交线长度为由对称性,形心坐标为30第30页，课件共43页，创作于2023年2月练习2.3.31第31页，课件共43页，创作于2023年2月32第32页，课件共43页，创作于2023年2月例2解例3解33第33页，课件共43页，创作于2023年2月34第34页，课件共43页，创作于2023年2月35第35页，课件共43页，创作于2023年2月36第36页，课件共43页，创作于2023年2月37第37页，课件共43页，创作于2023年2月38第38页，课件共43页，创作于2023年2月小结1.对弧长曲线积分的概念2.对弧长曲线积分的计算3.对弧长曲线积分的应用39第39页，课件共43页，创作于2023年2月思考题1,对弧长的曲线积分