第一节 矩阵的特征值与特征向量

第一节矩阵的特征值与特征向量第1页，课件共32页，创作于2023年2月1.特征值与特征向量的定义定义1:注：设是阶方阵，若数和维非零列向量，使得成立，则称

是方阵的一个特征值，为方阵的对应于特征值的一个特征向量。1.定义2.求法3.性质（2）特征向量是非零列向量（4）一个特征向量只能属于一个特征值（3）方阵的与特征值对应的特征向量不唯一是方阵一.方阵的特征值与特征向量第2页，课件共32页，创作于2023年2月问题：单位矩阵的特征值和特征向量？第3页，课件共32页，创作于2023年2月或已知所以齐次线性方程组有非零解或定义2：数是关于的一个多项式，称为矩阵的特征多项式。2.特征值与特征向量的求法第4页，课件共32页，创作于2023年2月称为矩阵的特征方程。求特征值、特征向量：把得到的特征值代入上式，求齐次线性方程组的非零解即为所求特征向量。求出即为特征值;第5页，课件共32页，创作于2023年2月解：第一步：写出矩阵A的特征方程，求出特征值.第二步：对每个特征值代入齐次线性方程组求非零解。第6页，课件共32页，创作于2023年2月第7页，课件共32页，创作于2023年2月第8页，课件共32页，创作于2023年2月解：第一步：写出矩阵A的特征方程，求出特征值.第二步：对每个特征值代入齐次线性方程组求非零解。例：求矩阵的特征值和全部特征向量.特征值为第9页，课件共32页，创作于2023年2月齐次线性方程组为当时，系数矩阵自由未知量:令得基础解系:常数)是对应于的全部特征向量。第10页，课件共32页，创作于2023年2月例：求矩阵的特征值和全部特征向量.第11页，课件共32页，创作于2023年2月解：第12页，课件共32页，创作于2023年2月第13页，课件共32页，创作于2023年2月解：第一步：写出矩阵A的特征方程，求出特征值.例：求矩阵的特征值和全部特征向量.特征值为第二步：对每个特征值代入齐次线性方程组求非零解。第14页，课件共32页，创作于2023年2月齐次线性方程组为当时，系数矩阵自由未知量:令得基础解系:常数)是对应于的全部特征向量。第15页，课件共32页，创作于2023年2月齐次线性方程组为当时，得基础解系常数)是对应于的全部特征向量。

特征值λ的重数kλ对应的线性无关的特征向量的个数≥？第16页，课件共32页，创作于2023年2月第17页，课件共32页，创作于2023年2月性质1：若的特征值是，是的对应于的特征向量，则的特征值是是任意常数)的特征值是是正整数)若可逆，则的特征值是的特征值是且仍然是矩阵分别对应于的特征向量。为x的多项式，则的特征值为3.特征值和特征向量的性质的特征值是是正整数)的特征值是第18页，课件共32页，创作于2023年2月性质2：矩阵和的特征值相同。定理2：设阶方阵的个特征值为则称为矩阵A的迹。（主对角元素之和）性质3：幂等矩阵的特征值只有0或1。第19页，课件共32页，创作于2023年2月例

：例：设解：（1）设为矩阵的特征值，求的特征值；若可逆，求的特征值。求：（1）的特征值和特征向量。（2）求可逆矩阵，使得为对角阵。例：设矩阵的特征值为1,2,3，求的特征值和第20页，课件共32页，创作于2023年2月自由未知量:得基础解系得第21页，课件共32页，创作于2023年2月自由未知量:得基础解系第22页，课件共32页，创作于2023年2月取第23页，课件共32页，创作于2023年2月存在本题启示:

问题：矩阵是否唯一？矩阵是否唯一？2.提供了一种求的方法.其中为对角阵。1.通过求A的特征值,特征向量,有可能把A写成第24页，课件共32页，创作于2023年2月第25页，课件共32页，创作于2023年2月则定理：设是方阵的个特征值，依次是与之对应的特征向量。如果各不相等，则线性无关。即，方阵的属于不同特征值的特征向量线性无关。证明：设常数使得第26页，课件共32页，创作于2023年2月类推之，有把上列各式合写成矩阵形式，得等号左边第二个矩阵的行列式为Vandermonde行列式，当各不相同时，该行列式的值不等于零，所以存在逆矩阵。第27页，课件共32页，创作于2023年2月等号两边同时右乘它的逆矩阵，有即又因为为特征向量，所以线性无关。第28页，课件共32页，创作于2023年2月推广线性无关。第29页，课件共32页，创作于2023年2月例证由题知反证同一特征值的特征向量的线性组合仍是这一特征值的特征向量分属不同特征值的特征向量的线性组合不是特征向量第30页，课件共32页，创作于2023年2月定义：矩阵的主对角线元素之和