2023年研究生入学考试数学一历年高频考题带答案难题附详解

2023年研究生入学考试数学一历年高频考题带答案难题附详解（图片大小可自由调整）第1卷一.历年考点试题黑钻版(共50题)1.

2.已知矩阵A和相似，则3.4.将展开成x-2的幂级数．5.6.设两个相互独立的事件A和B都不发生的概率为，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相等，则P(A)=______。7.8.9.设un＞0，n=1，2，…，若发散，收敛，则下列结论正确的是

A．收敛，发散．

B．发散，收敛．

C．收敛．

D．收敛．10.设函数f(x)以2π为周期，且其在[-π，π)上的表达式为f(x)=|x|，求f(x)的傅里叶级数，并求的和．11.已知总体X的数学期望E(X)=μ，方差D(X)=σ2，X1，X2，…，X2n是取自总体X容量为2n的简单随机样本，样本均值为，统计量，求E(Y)。12.方程y"'-y'=0满足条件y丨x=0=3，y'丨x=0=-1，y"丨x=0=1的特解为______．13.设C为|x|+|y|=1的正向则14.已知(X，Y)的概率分布为，且P{X2+Y2=1}=0.5，则P{X2Y2=1}=______．15.在平面x+y+z=1上求一点，使它与两定点P(1，0，1)，Q(2，0，1)距离的平方和为最小．16.设f(x)是偶函数，φ(x)是奇函数，则下列函数(假设都有意义)中是奇函数的是______A.f[φ(x)]B.f[f(x)]C.φ[f(x)]D.φ[φ(x)]17.设f(x)在闭区间[0，c]上连续，其导数f'(x)在开区间(0，c)内存在且单调减少，f(0)=0．试证明：

f(a+b)≤f(a)+f(b)，

其中常数a，b满足条件0≤a≤b≤a+b≤c．18.设二维随机变量(X，y)的联合密度函数为则k为

A.2B.4C.6D.819.设Ω为曲面z=1-x2-y2，z=0所围的立体，如果将三重积分化为先对z再对y最后对x积分，则I=______．20.求函数的麦克劳林展开式.21.设f(x)是周期为4的可导奇函数，且f'(x)=2(x-1)，x∈[0，2]，则f(7)=______．22.设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=f(1)，证明：存在ξ，η∈(0，1)，使得f'(ξ)+f'(η)=0．23.设4阶方阵

A=

则A的逆阵A-1=______．24.设向量α=(1，1，-1)T是矩阵的一个特征向量，则A.矩阵A能相似对角化，且秩r(A)=3B.矩阵A不能相似对角化，且秩r(A)=3C.矩阵A能相似对角化，且秩r(A)＜3D.矩阵A不能相似对角化，且秩r(A)＜325.计算极限其中

26.设二维随机变量(X，Y)服从正态分布N(μ，μ；σ2，σ2；0)，则Emin(X，Y)=______．27.设函数f(x)在[-1，1]上有定义，在x=0处可导，则f'(0)=0是级数收敛的______A.充分条件．B.必要条件．C.充分必要条件．D.既非充分也非必要条件．28.设

(A)为反常积分，且发散．

(B)为反常积分，且收敛．

(C)不是反常积分，且其值为10．

(D)不是反常积分，且其值为．29.30.设A是n阶矩阵，对于齐次线性方程组(Ⅰ)Anx=0和(Ⅱ)An+1x=0，现有命题

①(Ⅰ)的解必是(Ⅱ)的解；

②(Ⅱ)的解必是(Ⅰ)的解；

③(Ⅰ)的解不一定是(Ⅱ)的解；

④(Ⅱ)的解不一定是(Ⅰ)的解．

其中正确的是______A.①④B.①②C.②③D.③④31.32.33.设在x=0连续且满足g(x)=1+2x+o(x)(x→0)．又F(x)=f[g(x)]，则F'(0)=______.34.方程e-x-x2+2x-1=0______A.恰有一个根．B.恰有两个根．C.恰有三个根．D.多于三个根．35.设齐次线性方程组

其中a≠0，b≠0，n≥2．试讨论a，b为何值时，方程组仅有零解，有无穷多组解?在有无穷多组解时，求出全部解，并用基础解系表示全部解．36.设随机变量X与Y独立，且，Y～N(0，1)，则概率P{XY≤0}的值为______．

A．0．

B．

C．

D．37.求

______．38.39.二次型的标准形可以是

A．

B．

C．

D．40.41.42.43.44.设空间区域，则______．45.已知y1(x)和y2(x)是方程y'+p(x)y=0的两个不同的特解，则该方程的通解为A.y=Cy1(x)．B.y=Cy2(x)．C.y=C1y1(x)+C2y2(x)．D.y=C(y1(x)-y2(x))．46.设相互独立的随机变量X与Y均服从分布，则P{X≤2Y}=______

A．

B．

C．

D．47.已知f(x)在x=0某邻域内连续，且f(0)=0，则在点x=0处_f(x)A.不可导B.可导且f'(x)≠0C.取得极大值D.取得极小值48.．49.50.函数f(x，y)=3+9x-6y+4x2-5y2+2xy+x3+2xy2-y3在点(1，-1)展开至n=2的泰勒公式为f(x，y)=______+R2，其中余项R2=______．第1卷参考答案一.历年考点试题黑钻版1.参考答案：C2.参考答案：[解析]

如A～B则A+kE～B+kE，又如A～B则An～Bn．

那么，由

而

3.参考答案：4.参考答案：解

得，

于是．5.参考答案：6.参考答案：[解析]由题设，有

由于A和B相互独立，所以A与与B也相互独立，于是由，有

即P(A)[1-P(B)]=[1-P(A)]P(B)，

则P(A)=P(B)。

从而，且P(A)≤2，解得7.参考答案：78.参考答案：B9.参考答案：D10.参考答案：解，

bn=0(n=1，2，…)，则

令x=0，则有，所以，

令，

则，即，解得．11.参考答案：解：因为总体分布未知，将Y化简，根据数字特征性质计算E(Y)。因为

12.参考答案：y=2+e-x[解析]

方程y"-y'=0的特征方程为

r3-r=0即

r(r2-1)=0，r1=0，r2=1，r3=-1则原方程通解为

y=C1+C2ex+C3e-x由初始条件得

解得

C2=0，C3=1，C1=2故

y=2+e-x．13.参考答案：4[解析]

将|x|+|y|=1代入被积函数的分母得

(格林公式)

14.参考答案：0.3[解析]

由于0.1+0.2+α+β+0.1+0.2=0.6+α+β=1，即α+β=0.4，又0.5=P{X2+Y2=1)=P{X2=0，Y2=1}+P{X2=1，Y2=0)

=P{X=0，Y=1)+P{X=0，Y=-1)+P{X=1，Y=0)

=α+0.1+0.1=α+0.2．

故α=0.3也就有β=0.1；

P{X2Y2=1}=P{X2=1，Y2=1)=P{X=1，Y=1)+P{X=1，Y=-1)

=0.2+β=0.3．

本题所给条件X2，Y2，所以也可以转换成

已知，且P{X2+Y2=1)=0.5，求P{X2Y2=1)．

显然α+0.1+β+0.2=0.7，α+β=0.4又P{X2+Y2=1}=α+0.1+0.1=0.5，即α=0，则P{X2Y2=1}=β+0.2=0.3．15.参考答案：解：设所求点为M(x，y，z)，则距离的平方和表示为

d2=(x-1)2+y2+(z-1)2+(x-2)2+y2+(z-1)2

=(x-1)2+(x-2)2+2y2+2(z-1)2

设拉格朗日函数

F(x，y，z)=(x-1)2+(x-2)2+2y2+2(z-1)2+λ(x+y+z-1)，

解方程组，得驻点，

故16.参考答案：D[解析]令g(x)=φ[φ(x)]，注意φ(x)是奇函数，有

g(-x)=φ[φ(-x)]=φ[-φ(x)]=-φ[φ(x)]=-g(x)，

因此φ[φ(x)]为奇函数．同理可得f[φ(x)]，f[f(x)]，φ[f(x)]均为偶函数．答案选D．17.参考答案：[证]方法一用拉格朗日中值定理．

当a=0时，等号成立；

当a＞0时，由于f(x)在区间[0，a]及[b，a+b]上满足拉格朗日中值定理条件，所以，存在ξ1∈(0，a)，ξ2∈(b，a+b)，ξ1＜ξ2，使得[f(a+b)-f(b)]-[f(a)-f(0)]=af'(ξ2)-af'(ξ1)．

因为f'(x)在(0，c)内单调减少，所以f'(ξ2)≤f'(ξ1)，于是，

[f(a+b)-f(b)]-[f(a)-f(0)]≤0，

即f(a+b)≤f(a)+f(b)．

方法二用函数的单调性，

将f(a+b)-f(b)-f(a)中的b改写为x，构造辅助函数

F(x)=f(a+x)-f(x)-f(a)，x∈[0，b]，

显然F(0)=0，又因为f'(x)在(0，c)内单调减少，所以F'(x)=f'(a+x)-f'(x)≤0．

于是有F(b)≤F(0)=0，即f(a+b)-f(b)-f(a)≤0，即f(a+b)≤f(a)+f(b)．18.参考答案：C[解析]

得k=6，选(C)．19.参考答案：[解析]在直角坐标系下先单积分后二重积分，最终化为三次单积分．Ω在xOy面上的投影域Dxy={(x，y)|x2+y2≤1}，Ω的上、下边界曲面方程为z=1-x2-y2，z=0．于是

20.参考答案：用分解法求f(x)的展开式.先将f(x)分解，即

由

21.参考答案：1解由f'(x)=2(x-1)，x∈[0，2]知，f(x)=(x-1)2+C．又f(x)为奇函数，则

f(0)=0，C=-1．f(x)=(x-1)2-1．

由于f(x)以4为周期，则

f(7)=f[8+(-1)]=f(-1)=-f(1)=1

本题主要考查已知导数确定函数的方法和函数的奇偶性及周期性．22.参考答案：[证明]存在，使得

因为f(0)=f(1)，所以f'(ξ)=-f'(η)，即f'(ξ)+f'(η)=0．23.参考答案：解记矩阵

则矩阵

为一分块对角矩阵，由分块对角矩阵求逆矩阵的方法，得

本题考查逆矩阵的计算．由于2阶方阵求逆阵很容易，所以本题可以对分块对角矩阵A采用分块求逆法，将高阶矩阵的计算化成几个低阶矩阵的计算．24.参考答案：A[解析]本题考查方阵的相似对角化问题．要先根据题设条件求出参数a，b的值，进而求出A的全部特征值，看有无重根，再判定．

解设α=(1，1，-1)T是矩阵A的属于特征值A的特征向量，则有Aα=λα，即

解得λ=-1，a=2，b=0，于是．显然r(A)=3，且A的特征值为

λ1=λ2=2，λ3=-1．

矩阵A能否相似对角化取决于λ1=λ2=2是否有两个线性无关的特征向量．由

可知二重特征值λ=2有两个线性无关的特征向量，故A可相似对角化．25.参考答案：由于x＜0时，g(x)＜0；x＞0时，g(x)＞0，并且由

知因此

由此得到题解中先计算出然后计算，这样计算比较快捷些．26.参考答案：[解析]由题设X，Y独立，则有Z=X-Y～N(0，2σ2)，于是

故27.参考答案：B[解析]如果级数收敛，则，且有

如果f'(0)≠0，不妨设f'(0)＞0，则由极限保号性，当n充分大时，，且当n→∞时，与是同阶无穷小，所以由比较判别法，级数发散，出现矛盾．

同理，当f'(0)＜0时，级数也发散．

故f'(0)=0是级数收敛的必要条件．

如果f'(0)=0，不一定能得到f(0)=0及，所以不能得到级数收敛．

因此，f'(0)=0是级数收敛的必要而非充分条件，故选B．28.参考答案：A[解析]由于，所以

于是

而发散，故为反常积分，且发散．选(A)．29.参考答案：B30.参考答案：B[解析]当Anx=0时，易知An+1x=A(Anx)=0，故(Ⅰ)的解必是(Ⅱ)的解，也即①正确，③错误．

当An+1x=0时，假设Anx≠0，则有x，Ax，…，Anx均不为零，可以证明这种情况下x，Ax，…，Anx是线性无关(按定义证，依次乘以An，An-1，…，A即可证得)的．由于x，Ax，…，Anx均为n维向量，而n+1个n维向量必定是线性相关的，矛盾．故假设不成立，因此必有Anx=0.可知(Ⅱ)的解必是(Ⅰ)的解，故②正确，④错误．故选B．31.参考答案：2[解析]令．

则

故32.参考答案：A33.参考答案：4e．[解析]由g(x)在点x=0处连续及g(x)=1+2x+0(x)(x→0)

由复合函数求导法及变限积分求导法

34.参考答案：C[解析]令y(x)=e-x-x2+2x-1．

因为y"'(x)=-e-x≠0，因此最多有三个根．

由于y(0)=1-1=0，所以x=0是其一根．

由于y'(x)=-e-x-2x+2，y'(0)=-1+2=1＞0，且y(0)=0，所以存在δ＞0，使得y(-δ)＜0，y(δ)＞0．

又由，所以y(x)在区间(-∞，-δ)内至少有一根．

由，所以y(x)在区间(δ，+∞)内至少有一根．

至此，y(x)在区间(-∞，+∞)已有三个根．而它至多有三个根，所以它恰有三个根．35.参考答案：当a≠b且a≠(1-n)b时，方程组只有零解；当a=b时，通解为k1(-1，1，0，…，0)T+k2(-1，0，1，…，0)T+…+kn-1(-1，0，0，…，1)T；当a=(1-n)b时，通解为k(1，1，1，…，1)T．36