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第二节利用极坐标计算二重积分

二重积分的计算法第二节利用极坐标计算二重积分二重积分的计算法上节回顾

1求曲顶柱体体积设曲顶柱的底为型任取平面故曲顶柱体体积为截面积为截柱体的上节回顾

1求曲顶柱体体积设曲顶柱的底为型任取平面故对应有一、利用极坐标计算二重积分在极坐标系下,用同心圆r=常数则除包含边界点的小区域外,小区域的面积在内取点及射线

=常数,分划区域D为对应有一、利用极坐标计算二重积分在极坐标系下,用同心圆r即根据积分区域同极心得位置关系，可以分如下三种情形：

这是二重积分从直角坐标系过渡到极坐标的转换公式即根据积分区域同极心得位置关系，可以分如下三种情形：设则情形1极心在积分区域外(1)若极点在区域D之外.为了的确定的变化范围，过原点作两射线：使D恰好被夹在此二射线之间，那么，便知积分区域D可以记为：设则情形1极心在积分区域外(1)若极点在区域D之外.同理情形2，极心在积分区域边界上同理情形2，极心在积分区域边界上6情形3，极心在积分区域内部若f≡1

则可求得D的面积情形3，极心在积分区域内部若f≡1则可求得D的面积7例1.计算其中解:

在极坐标系下原式的原函数不是初等函数,故本题无法用直角由于故坐标计算.例1.计算其中解:在极坐标系下原式的原函数不是初等函数例2.

求球体被圆柱面所截得的(含在柱面内的)立体的体积.解:

设由对称性可知例2.求球体被圆柱面所截得的(含在柱面内的)立体的体积.提示:

积分域如图例3交换积分提示:积分域如图例3交换积分将直角坐标系下的二重积分转化为极坐标系下的二重积分，需依下列步骤进行：（1）将代入被积函数，（2）将区域D的边界曲线换为极坐标系下的表达式，确定相应的积分上下限，（3）将面积元转化为将直角坐标系下的二重积分转化为极坐标系下的二重积例4将化为极坐标形式的二次积分，其中解：因为圆的方程为直线方程为所以例4将化为极坐标形式的二次积分，其中解12例5求

，其中解：一般,若D的表达式中含有时，可考虑用极坐标来积分。

令则的极坐标方程为例5求，其中解：一般,若D的13第二节二重积分的计算课件14利用对称性解：积分区域关于坐标轴对称,被积函数关于坐标轴对称

例6极坐标计算中

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