2021年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷)(文史类)数学

普通高等学校招生全国统一考试

重庆卷(文史类)

本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟.

第I卷

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的)

1.已知全集。={1,2,3,4},集合A={1,2},B={2,3},贝此u(AU8)=()

A.{1,3,4}B.{3,4}

C.{3}D.{4}

2.命题“对任意xGR,都有的否定为()

A.存在XoGR,使得看＜0

B.对任意xGR,都有/＜()

C.存在XoGR,使得

D.不存在xGR,使得好＜0

3.函数7=嬴总二万•的定义域是()

A.(一8,2)B.(2,+°0)

C.(2,3)U(3,+0°)D.(2,4)U(4,+~)

4.设尸是圆(X-3)2+(J+1)2=4上的动点，。是直线工=-3上的动点，则|PQ|的最小值为

()

A.6B.4

C.3D.2

5.执行如图所示的程序框图，则输出的女的值是(

(7^)

旧12I

/输啊

A.3B.4

C.5D.6

6.如图是某公司10个销售店某月销售某产品数量（单位：台）的茎叶图，则数据落在区间［22,

30）内的频率为（）

189

212279

3003

A.0.2B.0.4

C.0.5D.0.6

7.关于x的不等式J—2ax—8°2<0(°>0)的解集为3，M)，且必一。=15,则。=()

A.]

8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）

正（主）视图他（左）视图俯视图

A.180B.200

C.220D.240

9.已知函数/U)=ax3+加inx+4(〃，5£R),Alg(log210))=5,则/Ug(lg2))=()

A.-5B.—1

C.3D.4

10.设双曲线。的中心为点O,若有且只有一对相交于点O,所成的角为60。的直线451

和4ZB2,使|A由||=以282|,其中A1,81和42,&分别是这对直线与双曲线C的交点,

则该双曲线的离心率的取值范围是（）

,+0°

第n卷

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在题中横线上）

11.设复数z=l+万（i是虚数单位），贝U|z|=.

12.若2,a,h,c,9成等差数列，则c-a=.

13.若甲、乙、丙三人随机地站成一排，则甲、乙两人相邻而站的概率为.

14.在0A为边，0B为对角线的矩形中，0A=（-3,1）,0B=（-2,k）,则实数k=.

15.设OWaWn,不等式8*2-（8sina）x+cos2a对xGR恒成立，则a的取值范围为

三'解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.（本小题满分13分，（1）小问7分，（2）小问6分）

设数列｛斯｝满足：ai=l,%+i=3%,"GN+.

（1）求｛%｝的通项公式及前n项和S"；

（2）已知｛瓦,｝是等差数列，T"为其前〃项和，且加=虑，b3=ai+a2+a3,求T20.

17.（本小题满分13分，（1）小问9分，（2）、（3）小问各2分）

18.（本小题满分13分，（1）小问4分，（2）小问9分）

在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且出=庐+c?+币加.

⑴求A;

（2）设。=巾，S为△48C的面积，求S+3cosBcosC的最大值，并指出此时8的值.

19.（本小题满分12分，⑴小问5分，⑵小问7分）

如图，四棱锥P-ABCD中，B4_L底面ABC。，PA=2小,BC=CD

=2,ZACB=ZACD=^.

JB

⑴求证：80J_平面RIC；

⑵若侧棱PC上的点F满足尸尸=7尸C,求三棱锥P-BDF的体积.

20.（本小题满分12分，（1）小问5分，（2）小问7分）某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池

（不计厚度）.设该蓄水池的底面半径为，米，高为〃米，体积为V立方米.假设建造成

本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方

米，该蓄水池的总建造成本为12000n元（“为圆周率）.

（1）将V表示成r的函数V（r）,并求该函数的定义域；

（2）讨论函数V⑺的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大.

21.(本小题满分12分，⑴小问4分，⑵小问8分)

如图，椭圆的中心为原点。，长轴在x轴上，离心率e=坐，过勿斗术

左焦点B作x轴的垂线交椭圆于A,A'两点，|A4'|=4.\F,Gk\/*

(1)求该椭圆的标准方程；卜斗*

(2)取平行于y轴的直线与椭圆相交于不同的两点P,,过P,P作圆心为0的圆,

使椭圆上的其余点均在圆Q外.求△小，？的面积S的最大值，并写出对应的圆Q的

标准方程.

重庆(文史类)

1.解析：同理科卷1题.

答案：D

2.解析：同理科卷2题.

答案：A

3.解析：利用函数有意义的条件直接运算求解.

log2(x—2)#0,

由，得x>2且狂3,故选C.

[x-2>0,

答案：C

4.解析：画出已知圆，利用数形结合法求解.

如图，圆心”(3,—1)与定直线*=-3的最短距离为|第|=3—(一,=_3『

3)=6,又圆的半径为2,故所求最短距离为6—2=4.||/4^

答案：B[PQQ'

5.解析：利用循环结构相关知识直接运算求解.

k=\,s=l+02=l;k=2,S=1+12=2;k=3,s=2+2?=6;k=4,s=6+32=15;

k=5,S=15+42=31>15,故输出A=5,选C.

答案：C

6.解析：利用频率及茎叶图的知识直接运算求解.

由题意知，这10个数据落在区间[22,30)内的有22、22、27、29,共4个，所以其频

4

率为右=0.4.故选B.

答案：B

7.解析：利用因式分解法解一元二次不等式寻求a的关系式后代入求解.

由V—2a;(!-8a2<0(a>0)得(x+2a)(A-4a)<0(a>0),即一2a<j<4a,故原不等式的解集

为(-2a,4a).

5

即加一布=15得4a—(—2a)=15,即6a=15,所以3=5,故选A.

答案：A

8.解析：利用三视图还原几何体，结合直观图直接运算求解.

由三视图知识知该几何体是底面为等腰梯形的直四棱柱.等腰梯形的上底长为2,下底

长为8,高为4,腰长为5,直四棱柱的高为10,所以S底=：X(8+2)X4X2=40,S

*=10X8+10X2+2X10X5=200,S*=40+200=240,故选D.

答案：D

9.解析：运用奇函数性质，整体换元求解.

因为log210与1g2(即logi02)互为倒数，

所以lg(log210)与lg(1g2)互为相反数.

不妨令IgQogzlO)=x,则lg(lg2)=—x,而f{x)+f{—x)=(ax+/)sinx+4)+[a(—

x)3+/?sin(—x)+4]=8,故f(—x)=8—f(x)=8—5=3,故选C.

答案：C

10.解析：借助双曲线的性质求解.

由双曲线的对称性知，满足题意的这一对直线也关于x轴(或y轴)对称.又由题意知

有且只有一对这样的直线，故该双曲线在第一象限的渐近线的倾斜角范围是大于30°

b1A2(/A24

且小于等于60°,即tan30°〈一Wtan60°,，不丹<3.又¥=-=^=1H■-*

a3a\ajaa3

2、分

<¥<4,<eW2,故选A.

答案：A

11.解析：利用求模公式直接求解.

Vz=1+2i,/.|z\=yjl2+22=y[5.

答案：小

12.解析：利用等差数列的有关知识先求出公差再运算求解.

9—277

由题意得该等差数列的公差cf=-~r=7，所以c—a=2d=-

0—14z

7

答案：2

13.解析：首先写出甲、乙、丙三人站成一排的所有结果及甲、乙相邻而站的所有结果，

然后将两结果数相除可得.

甲、乙、丙三人随机地站成一排有(甲乙丙)、(甲丙乙)、(乙甲丙)、(乙丙甲)、(丙甲

乙）、（丙乙甲）共6种排法，甲、乙相邻而站有（甲乙丙）、（乙甲丙）、（丙甲乙）、（丙

42

乙甲）共4种排法，由概率计算公式得甲、乙两人相邻而站的概率为

06

2

答案

14.解析：画出矩形草图，利用向量加减运算及数量积运算直接求解.

如图所示，由于游=（一3,1）,应=（-2,A）,所以新市一应=（1,

A-1）.在矩形中，由应而得应•恭=0,所以（一3,1）•（1,1）=0,即一3X1

+1X1）=0,解得A=4.

答案：4

15.解析：根据开口向上的二次函数定义域为R时函数值非负的条件（4W0）列式直接运算

求解.

由题意，要使8f-（8sina）x+cos2a20对xGR恒成立，需A=64sin2a—32cos

2aWO,化简得cos2a*.又0Wa<n,，。至a或等W2aW2TT,解得

CJJ

0/a"或^aWn.

66

-n-|「5冗

答案：o,yU%-,n

1—3"1

16.解：(1)由题设知｛&｝是首项为1,公比为3的等比数列，所以&=3〃T,

1LJ/

—1).

onx19

(2)A=&=3,&=1+3+9=13,左一打=10=2d,所以公差M5,故&=20X3+---

X5=l010.

_Inon

17.解：⑴由题意知”=1。'-=-g^=8,

又乙=错误！①一瀚误!错误！=184—10X8X2=24,

由此得6=意=|^=0.3,a—y—Ax=2—0.3X8=—0.4,故所求线性回归方程为y

ixxoU

=0.3x—0.4.

（2）由于变量y的值随x值的增加而增加（b=0.3〉0）,故x与y之间是正相关.

（3）将x=7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y=0.3X7-0.4=1.7（千元）.

g+02一才

18.解：（1）由余弦定理得cosZ=

2bc2be2.

5n

又因为。“n,所以公沟.

（2）由⑴得sinJ=1.又由正弦定理及a=m得

S=:飒inC=^>asin*asinC=3sinBsinC,

22sinA

因此，S+3cosBoosG=3(sinBsinC+cosBcos0=3cos(J—0.

Tl

所以，当B=C,即49时,S+3cosBcos。取最大值3.

19.（1）证明：因为BC=CD,所以△戚为等腰三角形.

又/ACB=/ACD,所以如L4C

因为PA工底面ABCD,所以PA工BD,

从而初与平面24c内两条相交直线序，4c都垂直，所以皿平面为C

（2）解：三棱锥A6龙的底面腼的面积

11

S^BCD=^BC•CD^sinZ5CZ?=-X2X2Xsin智=低

乙乙

由PA工底面ABCD,得

VP~BCD=W•S^BCD•P4=wXyf§X2y[^=2.

oJ

由PHFC,得三棱锥-6(%的高为14,故^=1.5kra-1/M=|xV3x|x2V3=

OOOOO

117

不所以Vp-BDT=Vp-BCD—VF-BCD=2—4==♦

20.解：⑴因为蓄水池侧面的总成本为100•2n动=200nrA（元），底面的总成本为160

nf元，所以蓄水池的总成本为（200n动+160n3）元.

又根据题意200nrA+l60n产=12000n,

所以入=E（300—4/）,从而

V(r)=nrA=-r(300r-4r).

□

因为r>0,又由力>0可得穴5m，故函数P（r）的定义域为（0,5^3）.

(2)因为K(r)=v(300r-4?),

D

所以片(r)=^(300-12?).

□

令〃（r）=0,解得，=5,及=-5（因为目=-5不在定义域内，舍去）.

当re(O,5)时，V(r)>0,故/(8在(0,5)上为增函数；

当rG(5,5小)时，V(r)<0,故Kr)在(5,5")上为减函数.

由此可知，■("在r=5处取得最大值，此时力=8.

即当r=5,力=8时，该蓄水池的体积最大.