2021年山东省聊城市高考数学模拟试卷（三）（三模）

2021年山东省聊城市高考数学模拟试卷（三）（三模）

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分。在每小题给出的四个选项中.

只有一项是符合题目要求的

1.（5分）己知集合4={1,2},B={a,/+3},若ACB={1},则实数。的值为（）

A.1B.-IC.2D.-2

2.（5分）已知a€R,i为虚数单位，若生迅为实数，则a的值为（）

2+4i

A.3B.2C.上D.卫

2332

2

3.（5分）函数f（x）=T^^的图象大致为（）

4.(5分)已知直线/：(“-1)x+y-3=0,圆C：(x-1)2+9=5.则％=1"是"/与

C相切”的（）

A.必要不充分条件B.充分不必要条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5.（5分）声强级。（单位:48）由公式LT=101g（―二）给出，其中为声强（单位：W/nr）.一

10-12

般正常人听觉能忍受的最高声强级为12（WB,平时常人交谈时强级约为6048,那么一般

正常人能忍受的最高声强是平时常人交谈时声强的（）

A.IO4倍B.d倍C.心倍D.IO7倍

6.（5分）在某次脱贫攻坚表彰会上，共有36人受到表彰，其中男性多于女性.现从中随

机选出2人作为代表上台领奖，若选出的两人性别相同的概率为工，则受表彰人员中男

2

性人数为（）

A.15B.18C.21D.15或21

7.（5分）在△ABC中，\AB\=3,\AQ=4,18cl=5,“为BC中点，。为△ABC的内心,

Ji.A0=XAB+IJlAM.则入+〃=（）

5

AC.D.1

-n6

22

8.（5分）已知A,B,C是双曲线三一一■b>0）上的三点，直线A3经过原点

22

ab

O,AC经过右焦点R若B/_LAC,且乐得而，则该双曲线的离心率为（）

cD

A・亨i-f

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有

多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对得2分，有选错的得。分

9.（5分）对具有相关关系的两个变量x和y进行回归分析时，经过随机抽烂获得成对的样

本点数据（xi,yi）（i=l,2,"），则下列结论正确的是（）

A.若两变量尤，y具有线性相关关系，则回归直线至少经过一个样本点

B.若两变量x,y具有线性相关关系，则回归直线一定经过样本点中心丘，y）

C.若以模型>=4/*.拟合该组数据，为了求出回归方程，设z=/〃y,将其变换后得到线

性方程z=6x+加3,则a,b的估计值分别是3和6.

n__

E（y-yp2

D.用产=i一个-----------来刻画回归模型的拟合效果时，若所有样本点都落在一条

Z（Yi-y）2

i=l

斜率为非零实数的直线上，则N的值为1

10.（5分）将函数y=sin2x+«cos2x+l的图象向右平移三个单位长度，再将所有点的横

12

坐标缩短到原来的工，纵坐标不变，得到函数g（x）的图象，则下面对函数g（X）的叙

2

述中正确的是（）

A.函数g（x）的最小正周期为三

2

B.函数g（无）图象关于点（令，0）对称

C.函数g（x）在区间小，看］内单调递增

D.函数g（x）图象关于直线对称

12

11.（5分）已知实数。、h,下列说法一定正确的是（）

A.若a<b,则g”<心）a<（&）a

B.若匕>。>1,则log»<—

iOSab2

C.若a>0,b>0,a+26=l,则的最小值为8

ab

D.若h>a>0,则上包〉上曳

.22

ba

12.（5分）已知等边三角形ABC的边长为6,M,N分别为AB,AC的中点，将△AMN沿

MN折起至△4'MN,在四棱锥A'-MNCB中，下列说法正确的是（）

A.直线MN〃平面A'BC

B.当四棱锥A'-MNCB体积最大时，二面角A'-MN-B为直二面角

C.在折起过程中存在某位置使8NL平面A'NC

D.当四棱A'-MNCB体积最大时，它的各顶点都在球。的球面上，则球。的表面积

为39n

三、填空题：本太题共4小题每小题5分，共计20分，押答家填车答阳专相应的位置上.

13.（5分）数列1,1,2,3,5,8,13,21,31,…你为斐波那划数列，是意大利著名数

学家斐波那契于1202年在他写的《算盘全书》提出的，该数列的特点是：从第三起，每

一项都等于它前面两项的和.在该数列的前2021项中，奇数的个数为

14.（5分）曲线y=ex+x2-3x在x=0处的切线的倾斜角为a,则sin（2a+'5）

15.（5分）已知点A（0,5）,过抛物线7=12y上一点P作y=-3的垂线，垂足为8,若

\PB\=\PA\,则|PB|=

16.（5分）已知函数f6）=（弋）？+（a-2）《+2-a有三个不同的零点”，⑼对其中

ee

X1cXXQ

X1<X2<X3,贝IJ（1--）2（1一乙9）（1-3-）的值为.

X•X—c

e1e2e3

四、解答题：本大题共6个小题，共计70分，请在答题卡指定区域作答解答时应写出文字

说明、证明过程或验算步骤.

17.（10分）在△ABC中，角A,B,C的对边分别为“，b,c,且10si萨=7-cos2B，

（1）求角B的大小；

(2)己知点。满足而q而，且若$△轴口色誉，AD=>/7，求AC.

18.(12分)在①m,。3,“21成等比数列②S4=28,③S“+I=S”+Z+4,这三个条件中任选一

个，补充在下面的问题中，并做出解答.

已知｛析｝是公差不为零的等差数列，际为其〃前项和，42=5,，｛尻｝是等比数列,

历=9,。1+加=30,公比q>l.

(1)求数列｛。外，｛%｝的通项公式；

(2)数列｛“"｝和｛瓦｝的所有项分别构成集合A,B,将4UB的元素按从小到大依次排列

构成一个新数列｛Cn｝,求780=CI+C2+C3++C80.

19.(12分)如图，在平面四边形ABC£>中，BC=CD,BC1.CD,ADLBD,以8。为折痕

把折起，使点A到达点P的位置，且PCLBC.

(1)证明：PDLCD-,

(2)若“为PB的中点，二面角尸-BC-O的大小为60°,求直线PC与平面所

成角的正弦值.

20.(12分)2021年3月5日李克强总理在政府作报告中特别指出：扎实做好碳达峰，碳中

和各项工作，制定2030年前碳排放达峰行动方案，优化产业结构和能源结构.某环保机

器制造商为响应号召，对一次购买2台机器的客户推出了两种超过机器保修期后5年内

的延保维修方案：

方案一；交纳延保金5000元，在延保的5年内可免费维修2次，超过2次每次收取维修

费1000元;

方案二：交纳延保金6230元，在延保的5和内可免费维修4次，超过4次每次收取维修

费f元：

制造商为制定的收取标准，为此搜集并整理了200台这种机器超过保修期后5年内维修

的次数，统计得到下表

维修次数0123

机器台数20408060

以这200台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率，记X表示2台机器

超过保修期后5年内共需维修的次数.

(1)求X的分布列；

(2)以所需延保金与维修费用之和的均值为决策依据，为使选择方案二对客户更合算，

应把，定在什么范围？

21.(12分)已知圆尸[:(x+1)2+y2==2,圆尸2：(x-1)2+y2=(4-r)2,0<r<4.当

，•变化时，圆Fi与圆F1的交点P的轨迹为曲线C,

(1)求曲线C的方程；

(2)已知点p(l,1),过曲线C右焦点五2的直线交曲线C于A、8两点，与直线x=

加交于点。是否存在实数相，入，使得如4+&PB=入kPQ成立，若存在，求出机，入；若不存

在，请说明理由.

22.(12分)已知/(x)-ax1-x-1.

(1)当时，求/(K)的极值点个数；

2

(2)当x€[0,+8)时，/(x)20,求〃的取值范围；

(3)求证：—一2_+...H—2其中尤N*.

2eT2e2-l2en-l2

2021年山东省聊城市高考数学模拟试卷（三）（三模）

参考答案与试题解析

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分。在每小题给出的四个选项中.

只有一项是符合题目要求的

1.（5分）已知集合4={1,2},8={a,J+3},若AC8={1},则实数。的值为（）

A.1B.-1C.2D.-2

【分析】根据AAB={1}即可得出从而可得出a的值.

【解答】解：：AnB={l},

A1GB,

B={1,4},满足条件.

故选：A.

【点评】本题考查了列举法的定义，交集的定义及运算，元素与集合的关系，考查了计

算和推理能力，属于基础题.

2.（5分）已知aCR,i为虚数单位，若生为实数，则a的值为（）

2+4i

A.3B.2C.上D.

2332

【分析】先求出复数的四则运算化简生生，再根据三理为实数，即可求出a的值.

2+412+41

［解冬］解.af=（a-3i）（2-4i）=⑵-⑵-（6+4a）i

"・2+4i（2+4i）（2-4i）20'

.•・6+4〃=0,

:.a=-

2

故选：D.

【点评】本题主要考查了复数的四则运算，考查了实数的定义，是基础题.

2

3.（5分）函数f（x）二,一的图象大致为（）

【分析】根据题意，先分析函数的奇偶性，排除B、D,再求出了(10)的值，与1大小

比较，排除C,即可得答案.

2

【解答】解：根据题意，函数f(x)=-J』其定义域为{MxWO},

22

有/(-X)=------=--------=-/(x),函数为奇函数，排除8、D,

e-x-eXe-Xe-X

>w

/(io)=-=„iooLg.<i,排除c,

101201

e-e「I

e

故选：A.

【点评】本题考查函数的图象分析，涉及函数的奇偶性、函数值符号的分析，属于基础

题.

4.(5分)己知直线/：(a-1)x+y-3=0,圆C：(x-1)2+/=5.贝U“a=-1”是“/与

C相切”的()

A.必要不充分条件B.充分不必要条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【分析】根据充分必要条件的定义以及直线和圆的关系判断即可.

【解答】解：若直线/与圆C相切，

则圆心(1,0)到直线(a-l)x+y-3=0的距离d=丘1-3|==娓,

22

V(a-1)+1

或a=-1,

2

...a=-1是直线/与圆C相切的充分不必要条件.

故选：B.

【点评】本题考查了充分必要条件，考查直线和圆的位置关系，属于基础题.

5.（5分）声强级。（单位:由公式LT=101g（―给出，其中为声强（单位：W/m2）.一

1（）72

般正常人听觉能忍受的最高声强级为1204B,平时常人交谈时强级约为6（W8,那么一般

正常人能忍受的最高声强是平时常人交谈时声强的（）

A.IO4倍B.1。5倍C.1（）6倍D.IO7倍

【分析】根据已知函数关系式，设出未知数，解方程即可求出对应的声强，然后可直接

得结果.

【解答】解：设一般正常人听觉能忍受的最高声强为/I,

平时常人交谈时声强为12,

I[

120=101g(%)

10-12‘解得『

由题意得＜

1=1018

60=101g(―工)2

10-12

T24

1_10-106

可凝

故选：C.

【点评】本题考查正常人能忍受的最高声强是平时常人交谈时声强的倍数的求法，考查

对数性质、运算法则等基础知识，运算能力，属于基础题.

6.（5分）在某次脱贫攻坚表彰会上，共有36人受到表彰，其中男性多于女性.现从中随

机选出2人作为代表上台领奖，若选出的两人性别相同的概率为工，则受表彰人员中男

2

性人数为（）

A.15B.18C.21D.15或21

,2C2

【分析】根据两人性别相同的概率为工，利用古典概型得到‘»善2_=工，解方程即可

022

rC36c362

求解.

【解答】解：设受表彰人员中男性人数为苍则女性人数为36-x,

r2r2

则P=母+造-36x+315=O,；.x=21或x—15,

C22

36c36

•.,男性多于女性，；.x=2L

故选：C.

【点评】本撷主要考查古典概型的问题，熟记概率的计算公式即可，属于基础题.

7.(5分)在△ABC中，\AB\=3,\AQ=4,18cl=5,“为BC中点，。为△ABC的内心,

月.正=入标+四氤，贝iJX+R=()

A.-LB.3C§D.1

1246

【分析】根据三角形是直角三角形，得到它的内心的位置，从而表示出向量菽，根据向

量的线性运算，写出向量与要求两个向量之间的关系，得到两个系数的值，求和得到结

果.

【解答】解:，/M为BC中点,二高=工（薪+而，，菽1=入标+|1高=（入+区）族+卫•配

222

•••0为△ABC的内心,...AO=^AB+—AC,

34

故选：A.

【点评】本题考查平面向量基本定理的应用，利用三角形内心的性质是关键，属于中档

题.

22

8.（5分）已知A,B,C是双曲线弓-qiQ〉。，b>0）上的三点，直线AB经过原点

O,AC经过右焦点F,若BFLAC,且赤号■冠，则该双曲线的离心率为（）

A但B.叵C.2D.叵

2325

【分析】设双曲线的左焦点，连接如图所示的线段，由双曲线的定义及向量的关系可得

Hfl,|AE|,|C£l与2a,2c之间的关系，进而求出双曲线的离心率.

【解答】解：设双曲线的左焦点为E,连接8E4E,CE,

由题意可得=

因为BFJ_AC可得四边形8E4尸为矩形，设由f1=|AE|=m,|BE1=|AQ=",

由双曲线的定义可得|C£1-\CF\=\AE\-|Afl=2a,所以2a=m-n,

又因为而=旦而，所以ic/quSdAaqc/q+iAMnSzic8=2〃+|仃1=2“+3凡

2222

在RtZ\E4c中，|AE|2+|4cF=|CE|2,即川+（互。2=q〃+当尸，

将2a=m-n代入可得m=6n,

所以n=^-a,m=^-a,

55

2:222

在直角三角形E4F中，|AEl+||A/l=|£：fl=(2c),

即m2-“2=4,2,

所以(2«)~+2=4°2,可得：e=£=J红,

55a5

故选：D.

【点评】本题考查双曲线的性质及向量的运算，属于中档题.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有

多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对得2分，有选错的得0分

9.（5分）对具有相关关系的两个变量x和y进行回归分析时，经过随机抽烂获得成对的样

本点数据（xi,yi）（i=l,2,•,,,n）,则下列结论正确的是（）

A.若两变量x,y具有线性相关关系，则回归直线至少经过一个样本点

B.若两变量x,y具有线性相关关系，则回归直线一定经过样本点中心Q,y）

C.若以模型y="e"拟合该组数据，为了求出回归方程，设z=/”y,将其变换后得到线

性方程z=6x+历3,则〃，方的估计值分别是3和6.

n__

E%不）2

D.用叱=1-得-----------来刻画回归模型的拟合效果时，若所有样本点都落在一条

£（yry）2

i=l

斜率为非零实数的直线上，则R2的值为1

【分析】利用线性相关关系以及拟合曲线的关系，对四个选项逐一分析判断即可.

【解答】解：对于A,若两变量x,y具有线性相关关系，则满足线性回归方程，但是样

本的不一定都在拟合直线上，故选项A错误；

对于8,若两变量x,y具有线性相关关系，则回归直线一定经过样本点中心(x，y)，

故选项B正确；

对于C,若以模型丫=四"拟合该组数据，为了求出回归方程，设2=/”乃将其变换后得

到线性方程z=6x+/〃3,则a,b的估计值分别是3和6,故选项C正确；

n__

工仇-4)2

对于D,用解=1-得-----------来刻画回归模型的拟合效果时，若所有样本点都落

X(y「y)2

i=l

在一条斜率为非零实数的直线上，则—,

7i7i

n__

E(y1K产

则叱=1-W----------=1-0=1,故选项D正确.

£(y「y)2

i=l

故选：BCD.

【点评】本题考查了回归分析的理解和应用，涉及了线性相关关系的理解，线性回归方

程必过样本中心的应用，非线性回归方程的理解以及相关系数的应用，考查了逻辑推理

能力，属于中档题.

10.(5分)将函数V=sin2x+«cos2x+l的图象向右平移.个单位长度，再将所有点的横

坐标缩短到原来的工，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，则下面对函数g(x)的叙

2

述中正确的是()

A.函数g(x)的最小正周期为三

2

B.函数g(x)图象关于点(喉，0)对称

C.函数g(x)在区间小，g］内单调递增

D.函数g(x)图象关于直线乂上对称

x12

【分析】由题意利用两角和的正弦公式化简函数的解析式，再利用函数产Asin(3x+cp)

的图象变换规律、正弦函数的图象和性质，得出结论.

【解答】解：将函数y=sin2x+«cos2x+l=2sin(2x+?)+l的图象向右平移三个单位

312

长度,

可得y=2sin(2x-2L+_ZL)+1=2sin(2x+?L)+l的图象;

-636

再将所有点的横坐标缩短到原来的工，纵坐标不变，

2

得到函数g(x)=2sin(4x+匹)+1的图象的图象，

则函数g(外的最小正周期为"=三，故A正确；

42

令x=--,求得sin(4x+E_)=-g(x)=O,故函数g(x)图象不关于点(一匹,

126212

0)对称，故B错误；

在区间「工，工]内，4x+2Le[Z2L,空口，函数g(x)没有单调性，故c错误：

L42」666

令X=_2L,求得g(x)=3,为最大值，故函数g(x)图象关于直线》=工对称，故。正

1212

确，

故选：AD.

【点评】本题主要考查两角和的正弦公式，函数y=Asin(3x+(p)的图象变换规律，正弦

函数的图象和性质，属于中档题.

11.(5分)已知实数〃、h,下列说法一定正确的是()

A.若a<b,则(2)b<4)a<(1)a

B.若则loga<C—

xosavb2

C.若a>0,b>0,a+2b=\,则ZJ的最小值为8

ab

D.若心a>0,则上包〉上也

,22

ba

【分析】直接利用不等式的性质，基本不等式的性质的应用判断A、B、C、。的结论.

a

【解答】解：对于A：a<b,根据指数函数的性质(1)S,故A错误;

对于8：由于所以坨>1，则log—故8正确;

Igaa。lga+1gb1Igb2

对于C：若a>0,b>0,a+2b=l,则(a+2b)

8,

当且仅当。=工，b」时等号成立，故C正确;

24

对于D：由于b>a>0,所以曲=G*力>+（用22）=

,222,2

baab

（a-b）（a2+b2+ab+a+b）/n

272〈°'

ab

故选：BC.

【点评】本题考查的知识要点：不等式的性质，基本不等式的性质的应用，主要考查学

生的运算能力和数学思维能力，属于基础题.

12.（5分）已知等边三角形A8C的边长为6,M,N分别为AB,AC的中点，将△AMN沿

MN折起至MN,在四棱锥A'-MNCB中，下列说法正确的是（）

A.直线MN〃平面A'BC

B.当四棱锥4'-MNCB体积最大时，二面角A'-MN-B为直二面角

C.在折起过程中存在某位置使BN_L平面A'NC

D.当四棱4'-MNCB体积最大时，它的各顶点都在球。的球面上，则球。的表面积

为39n

【分析】利用线面平行的判定定理判断选项A；利用四棱锥4-MNCB的底面是定值，

则当点4到平面MNC8的距离最大时，体积最大，即可判断选项以利用反证法判断选

项C;取8c的中点E,作OEJ_平面MNCB,OFJ_平面A'MN,确定外接球的球心，然

后求出半径，由球的表面积公式求解，即可判断选项D

【解答】解：对于4,因为MN〃BC,MNC平面ABC,BCu平面48C,

所以MN〃平面A8C,故选项A正确；

对于8,因为四棱锥4-MNCB的底面面积是定值，

所以当点4到平面MNCB的距离最大时，体积最大，

故当二面角A'-MN-B为直二面角时，点A'到平面MNCB的距离最大，

所以四棱锥4'-MNCB体积最大时，二面角4'-MN-B为直二面角，故选项8正确;

对于C,如图所示，若BNJ_平面47VC,又A4u平面4WC,则BMLA4,

又A'O_LMM则A£>_LMM又4£>nAO=A,A'D,4Qu平面A'AD,

故MN_L平面A'AO,又A'Au平面A'AO,则

又MNCBN=N,MN,BNu平面MNCB,所以AA'_LMVC8,

这与题意矛盾，故假设不成立，

所以在折起过程中不存在某位置使BNL平面A'NC,故选项C错误；

对于£）,当四棱锥4-MNCB体积最大时，二面角A'-MN-8为直二面角，如图所示，

由取BC的中点E,则E为等腰梯形MNCB外接圆的圆心，F为△AMN

3

的外3

作OEJ■.平面MNCB,OF_L平面A'MN,

则0为四棱锥A'-MNCB的外接球的球心，且。尸=。£=色巨，AF=M，

2

设四棱锥A-MNCB的外接球半径为R,则R2=^2+0?2g9，

4

所以球的表面积为4兀R2=4兀•里-39兀，故选项D正确.

4

故选:ABD.

【点评】本题考查线面平行的证明，二面角的求解，空间几何体的外接球问题，空间中

线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，是中

档题.

三、填空题：本太题共4小题每小题5分，共计20分，押答家填车答阳专相应的位置上.

13.（5分）数列1,1,2,3,5,8,13,21,31,…你为斐波那划数列，是意大利著名数

学家斐波那契于1202年在他写的《算盘全书》提出的，该数列的特点是：从第三起，每

一项都等于它前面两项的和.在该数列的前2021项中，奇数的个数为1348.

【分析】根据题意，分析数列中偶数的规律，即可得前2021项中偶数的个数，据此分析

可得答案.

【解答】解：根据题意，在该数列中，第三，六，九…为偶数，以3为周期，

2021=3X673+2,有673个偶数，

则有2021-673=1348个奇数;

故答案为：1348.

【点评】本题考查归纳推理的应用，注意分析数列中偶数的规律，属于基础题.

14.（5分）曲线＞="+/-3x在x=0处的切线的倾斜角为a,则ITQ

sin(2a-*-^-)=-

【分析】求得函数的导数，可得切线的斜率，由三角函数的诱导公式、二倍角的余弦公

式，计算可得所求值.

【解答】解：y="+»-3x的导数为y'=ex+2x-3,

可得在x=0处的切线的斜率为1+0-3=-2,

则tana=-2,

所以sin（2a+三尸.:.口"2a=1-tan2a=上£=_3,.

2cos2a+sin2a1+tan2a1+45

故答案为：-3.

5

【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率，以及三角函数的求值，考查方程思想和

运算能力，属于中档题.

15.（5分）已知点A（0,5）,过抛物线f=12y上一点P作y=-3的垂线，垂足为8,若

\PB\^\PA\,则|尸8=7.

【分析】由抛物线性质可得,|PB|=|PR,又由已知条件|PB|=|网,可得|令|=|尸网,即4

以尸是等腰三角形，可得P点的纵坐标为4,结合抛物线性质，即可求解.

【解答】解：•.•抛物线』=12y,

；.2p=12,即p=6,焦点尸（0,3）,

由抛物线性质可得，\PB\=^\PF],

又=|明，

...|附|=|「内，即△B4F是等腰三角形，

VA(0,5),8(0,3),P(xo,yo),

•.3+5,

；.|P8|=y。玲=4+3=7,

故答案为:7.

【点评】本题重点考查了抛物线的性质，需要学生熟练使用公式，属于基础题.

16.(5分)已知函数f(x)=(工)2+(a-2)工+2-a有三个不同的零点XI，加，孙其中

exex

X1cXXq

X1<X2<A3,则(1~~—)2(1—；—9)(1-：)的值为1

e1e2e3

【分析】令t*，将问题转化为P+(a-2)f+2-a=0要有两个不同的实数根fiq(n<

X

e

t2),通过韦达定理确定根的情况，再结合函数g(X)=弋的图象，利用数形结合法进

ex

行分析求解即可.

【解答】解：设g(x)=工，则p(x)=±3,

XX

ee

当xvi时，g'a)>o,则g(%)单调递增，

当%>i时,g'a)vo,则g(%)单调递减，

又x>0时，g(x)>0,当x<0时，g(x)<0,

当x=l时，g(x)取得最大值g(1)=A,

e

作出函数g(x)的图象如图所示，

要使得f(x)=(《)？+(a-2)《+2-a有三个不同的零点XI，必布，其中xi<x2<x3,

ee

令t*，则有尸+(a-2)f+2-a=0要有两个不同的实数根Ct\<t2),

X

e

,(t]+t2=2-a

△=(a-2)2-4(2-a)>0,即a>2或a<-2,且《，

tjt2=2-a

=_

tj+t22a<0

若a>2,则因为“</2,所以fi<0,则、^(。，工),

=-1

%t22a<C02e

所以“<0<及<2则XIVOVx2Vl<X3,且g(X2)=g(X3)=t2.

xiXnXq

所以9

e1e2e3

2212

(l-t1)(l-t2)(l-t2)=[l-(t1+t2)+t1t2]=[-(2-«)-»-2-a]=l：

't,+t2=2-a>4

若a<-2,则12、因为g（x）取得最大值g（i）=1,且ME（o工）,

2

tjt2=2-a>4e，a

（fl+/2）〃?or<4,不符合题意,舍去.

综上所述，(1-^-)2(1-^-)(1--)-1.

\X,'、X」、X.7

e1eze3

故答案为：1.

V

【点评】本题考查了函数的零点与方程的根的综合应用，解决函数零点或方程根的问题，

常用的方法有：（1）方程法（直接解方程得到函数的零点）；（2）图象法（直接画出函数

的图象分析得解）；（3）方程+图象法（令函数为零，再重新构造两个函数，数形结合分

析得解）.属于中档题.

四、解答题：本大题共6个小题，共计70分，请在答题卡指定区域作答解答时应写出文字

说明、证明过程或验算步骤.

17.（10分）在AABC中，角A,B,C的对边分别为“，儿c,且10sir?竽=7-cos2B，

（1）求角B的大小；

（2）已知点力满足而q阮，且若$△必AD=A/7，求AC.

【分析】（1）结合三角形的内角和定理、诱导公式和二倍角公式，可求得cosB=/，再求

出角8的大小；

（2）由三角形的面积公式，可得BZ>B4=3①，在△A8O中，由余弦定理推出

=10②，联立①②解出8。和54的值，最后在aABC中，利用余弦定理，求出4c.

【解答】解：（1）；A+B+C=TT,

..ACB

•,sin2"cosg

由lOsin2-^^-=7-cos2B,得lOcos2--=7-cos2B,

2

即1QXHCOSB7,(2COSB-1),

2

化简得2COS2B+5COSB-3=0,

解得cosB==/■或cos3=-3(舍)，

jr

VO<B<TT,AR=—.

3

(2).•・江即寺小队人龙乎’

.•.8Z>BA=3①，

在△ABO中，由余弦定理知，AEr=BD1+B/^-2BDBAcosB,

：.BD^BA1-BDBA=7,即BD^+BA2=10②，

由①②，解得80=1，BA=3或B£>=3,BA=\,

又AB>BD,：.BD^\,54=3,BC=4BD=4,

在△ABC中，由余弦定理知，AC^B^+BC2-2BC8AcosB=9+16-2X3X4xJi=13,

2

,AC=>/13-

【点评】本题考查解三角形在平面几何中的应用，熟练掌握余弦定理、三角形面积公式

和二倍角公式是解题的关键，考查运算能力，属于中档题.

18.(12分)在①G,43,“21成等比数列②54=28,③S"+i=S"+a〃+4,这三个条件中任选一

个，补充在下面的问题中，并做出解答.

已知｛〃”｝是公差不为零的等差数列，S,为其〃前项和，及=5,,｛尻｝是等比数列,

历=9,4+历=30,公比q>l.

(1)求数列｛以｝,｛为｝的通项公式；

(2)数列伍")和｛治｝的所有项分别构成集合A,B,将AUB的元素按从小到大依次排列

构成一个新数列｛Cn｝,求780=Cl+C2+C3+-+C80.

【分析】(1)分别选①②③，由等比数列的中项性质和等差数列的定义、等差数列和等

比数列的通项公式，解方程可得公差和公比，可得所求；

(2)首先判断｛Cn｝的前80项中，数列｛尻｝的项最多有5项,推得｛Cn｝的前80项是由3｝

的前77项及4，加，加构成，再由等差数列的求和公式，计算可得所求和.

【解答】解：(1)选①，因为｛〃〃｝是公差不为0的等差数列，设公差为d,

由0,。3,si成等比数歹!J可得(a[+2d)2="](&]+20由，由于所以4m=d,

又。2=5,所以m+d=5,解得m=l,d=4,所以。〃=1+4(〃-1)=4几-3.

选②，因为S4=28,。2=5,所以4〃i+6d=28,m+d=5,可得。1=1,d=4,

所以。〃=1+(〃-1)X4=4〃-3.

选③，因为品+1=品+。〃+4,所以art+\-0?=1=4,

因为。2=5,所以m+d=5,即有m=L

所以。〃=1+(〃-1)X4=4〃-3.

因为｛加｝是等比数列，由历=9,从+加=30,9>1,

得biq=9,b[+b]q2=30，解得夕=3,61=3,

所以bn=3R

(2)080=317,35=243<317<36=729,

所以｛5｝的前80项中,数列｛加｝的项最多有5项，

其中历=9=43,从=81=421为公共项，

又477=305>243=b5,

所以｛Cn｝的前80项是由｛〃”｝的前77项及为，b3,加构成.

720=Cl+C2+C3+--+C80=Q1+42+…〃77+Z?1+/73+加

=Ax77X(1+305)+3+27+243

2

=11781+2