2021年山东省某校高考数学一模试卷

2021年山东省某校高考数学一模试卷

一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中,

只有一项是符合要求的.请把答案填涂在答题卡的指定位置上.

N={x|三号＜0}

1.设集合加={%|2》＞1},X-1，则MnN=()

A.[0,1)B.(0,1)C.(-l,+oo)D.(l,+oo)

【答案】

B

【考点】

交集及其运算

【解析】

此题暂无解析

【解答】

此题暂无解答

4i

2.复数1+V3i的虚部为()

A.lB.-1C.-iD.i

【答案】

A

【考点】

复数的运算

虚数单位i及其性质

复数的基本概念

【解析】

此题暂无解析

【解答】

此题暂无解答

xln|x|

3.函数/'(%)=X的大致图象是()

【答案】

B

【考点】

函数的图象与图象的变换

【解析】

判断f（x）的奇偶性，再判断当x>1时的函数值的符号即可.

【解答】

-x|ln（-x）|-xlnx|

/（-%）=I-xI=Ix=-/（x）,

/（x）是奇函数，图象关于原点对称，故4,C错误；

又当%>1时，ln|x|=lnx>0,/（x）>0,故。错误,

4.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题："今有五人分五钱，令上两

人所得与下三人等.问各得几何？"其意思是："已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱,

甲、乙两人所得之和与丙、丁、戊三人所得之和相等，且甲、乙、丙、丁、戊所得依

次成等差数列.问五人各得多少钱？"（"钱"是古代的一种重量单位）这个问题中，戊所

得为（）

A.潍B.|钱《钱Dg钱

【答案】

B

【考点】

数列的应用

【解析】

本题根据题意将实际问题转化为等差数列的问题即可解决.

【解答】

解：由题意，可设甲、乙、丙、丁、戊五人分得的钱分别为由,a2,a3,a4,a5,

则%,a2,。3,a4,成等差数列,设公差为d.

%+=5,

a1+a[=^3+.

整理上面两个算式，得：

（即+8d=0,

412

「・%=Qi+4d=三J+4X（一士O）=7O-

故选B.

试卷第2页，总17页

22

号-专l（a>0,b>0）

5.若双曲线ab的一条渐近线被圆/+y2-4y+2=

0所截得的弦长为2,则双曲线C的离心率为（）

A.V3B.3c,2D.V2

【答案】

C

【考点】

双曲线的离心率

【解析】

此题暂无解析

【解答】

此题暂无解答

6.果农采摘水果，采摘下来的水果会慢慢失去新鲜度.已知某种水果失去新鲜度h与

其采摘后时间t（天）满足的函数关系式为九=机・屋.若采摘后10天，这种水果失去的

新鲜度为10%，采摘后20天，这种水果失去的新鲜度为20%.那么采摘下来的这种水

果在多长时间后失去50%新鲜度（）（已知lg2《0.3,结果取整数）

A.23天B.33天C.43天D.50天

【答案】

B

【考点】

根据实际问题选择函数类型

【解析】

此题暂无解析

【解答】

此题暂无解答

7.已知直角三角形ABC中，N4=90。，4B=2,AC=4,点P在以4为圆心且与边BC相

»■

切的圆上，则PB.PC的最大值为（）

16+167516+8遥1656

B.-

A.555D.5

【答案】

D

【考点】

数量积表示两个向量的夹角

平面向量数量积的性质及其运算

【解析】

此题暂无解析

【解答】

此题暂无解答

*e'+4a,x>0

8.已知函数I2-loga（、x+l），在定义域上单调递增，且关于工

的方程f（x）=x+2恰有一个实数根，则实数a的取值范围为（）

白，1）[；,—]1）

A.4B.4ec.eD.（O,1）

【答案】

c

【考点】

函数的零点与方程根的关系

【解析】

此题暂无解析

【解答】

此题暂无解答

二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.在每小题给出的四个选项

中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

有3台车床加工同一型号的零件.第1台加工的次品率为6%,第2,3台加工的次品率

均为5%,加工出来的零件混放在一起.已知第1,2,3台车床的零件数分别占总数的

25%,30%,45%,则下列选项正确的有（）

A.任取一个零件是第1台生产出来的次品概率为0.06

B.任取一个零件是次品的概率为0.0525

C.如果取到的零件是次品，且是第2台车床加工的概率为,

D.如果取到的零件是次品，且是第3台车床加工的概率为,

【答案】

B,C

【考点】

条件概率与独立事件

【解析】

直接利用相互独立事件的概率，逐个判断即可.

【解答】

试卷第4页，总"页

解：根据题意，假设3台车床生产的零件总数为100a,

则第1台车床的零件数为25a,第2台车床的零件数为30a,第3台车床的零件数为45a,

A,第1台加工的次品率为6%,则第1台车床生产的次品数为1.5a,

则任取一个零件是第1台生产出来的次品概率尸=黑=0.015,故4错误；

B,第1台车床生产的次品数为1.5a,

第2台车床生产的次品数为30ax5%=1.5a,

第3台车床生产的次品数为45ax5%=2.25a,

则一共有次品5.25a,则任取一个零件是次品的概率为0.0525,故B正确；

C,任取1个零件，如果是第2台生产出来的次品，

其概率Pi=施=0.015,

而任取一个零件是次品的概率为0.0525,则如果取到的零件是次品，

且是第2台车床加工的概率P=然=条故C正确；

D,任取1个零件，如果是第3台生产出来的次品，

其概率P?=需=0.0225,

而任取一个零件是次品的概率为0.0525,则如果取到的零件是次品，

且是第3台车床加工的概率「=黑||=2,故。错误.

故选BC.

已知函数/(x)=sin(3x+")(3>0,0<0<兀)，将y=f(x)的图象上所有点向右平移

2兀工

3个单位长度，然后横坐标缩短为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数丫=。(乃的

兀

图象.若g(x)为偶函数，且最小正周期为2,则下列说法正确的是()

7T

,0)

A.y=f(x)的图象关于12对称

5兀)

(0,

B./(x)在12上单调递减

1「冗k兀兀k兀1人厂

方'~o~l5一］(kEZ)

c.g(x)>2的解为6232

D.方程'eg创在S'空上有2个解

【答案】

A,C

【考点】

函数y=Asin（3X+巾）的图象变换

【解析】

此题暂无解析

【解答】

此题暂无解答

如图，正四棱锥S-BCDE底面边长与侧棱长均为a,正三棱锥A-SBE底面边长与侧

棱长均为a,则下列说法正确的是（）

B.正四棱锥S-BCDE的外接球半径为2

C.正四棱锥S-BCDE的内切球半径为

D.由正四棱锥S-BCDE与正三棱锥4-SBE拼成的多面体是一个三棱柱

【答案】

A,B,D

【考点】

棱台的结构特征

棱锥的结构特征

【解析】

此题暂无解析

【解答】

此题暂无解答

曲率半经是用来描述曲线上某点处曲线弯曲变化程度的量，已知对于曲线

22

x+^l（a>0,b>0）

~2

ab上点P（a,y。）处的曲率半径公式为

223

2,2/X0,y0（2

R=ab（-4-+丁）

ab,则下列说法正确的是（）

A.对于半径为R的圆，其圆上任一点的曲率半径均为R

试卷第6页，总"页

22

¥+^-l(a>0,b>0)

B.椭圆a，b上一点处的曲率半径的最大值为a

229

七弓1(@〉0,b>0)b£

c.椭圆ab上一点处的曲率半径的最小值为a

26

%+yT(a>l)(7*y0)

D.对于椭圆a上一点2u处的曲率半径随着a的增大

而减小

【答案】

A,C

【考点】

命题的真假判断与应用

椭圆的离心率

【解析】

此题暂无解析

【解答】

此题暂无解答

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.请把答案填写在答题卡相

应位置上.

设X是一个离散型随机变量，其分布列为：

X123

PX1-Qq-q2

~2

则X的数学期望为.

【答案】

返

1+2

【考点】

离散型随机变量的期望与方差

离散型随机变量及其分布列

【解析】

此题暂无解析

【解答】

此题暂无解答

(1-2x)5(l+3x)4的展开式中按x的升基排列的第3项的系数为

【答案】

-26

【考点】

二项式定理及相关概念

【解析】

此题暂无解析

【解答】

此题暂无解答

我国南北朝时代的祖晒提出"嘉势既同，则积不容异"，即祖晒原理：夹在两个平行平

面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的

面积总是相等，那么这两个几何体的体积相等(如图1).在xOy平面上，将双曲线的

2

X211

——y=1y=­x

一支4及其渐近线2和直线y=o,y=2围成的封闭图形记为。，如

图2中阴影部分.记。绕y轴旋转一周所得的几何体为。，利用祖他原理试求。的体积为

图1

【答案】

87r

【考点】

双曲线的离心率

棱柱、棱锥、棱台的体积

【解析】

此题暂无解析

【解答】

此题暂无解答

产kax+b一、

若X对于%€(0,+8)恒成"，当a=0时，b的最小值为________

b_

当a>0时，a的最小值是.

【答案】

1

试卷第8页，总"页

【考点】

利用导数研究函数的最值

【解析】

此题暂无解析

【解答】

此题暂无解答

四、解答题：本大题共6小题，共计70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算

步骤.

在△ABC中，内角B,C的对边分别为a,b,c,请在①b+bcosC=V8csinB；

W3g

②(2b-a)cosC=ccos4③。2+/一©2=3△轴,这三个条件中任意选择一

个，完成下列问题：

(1)求H

(2)若a=5,c=7,延长CB到O,使cos乙4CC=7,求线段BD的长度.

【答案】

abc

选①：由正弦定理知，sinA=sinB=sinC,

b+bcosC=J^csinBA/^sinBsinC

K3

B6(4,7r)V^sinC6)=2,

7171571

ce(0,TT)6e(-6,3),

71K71

.1.c—6=6,即(?=3.

abc

选②：由正弦定理知，sinA=sinB=sinC,

(2b—a)cosC=ccosAf(2sinB-sin4)cosC=sinfcos?l,

8sinFcosC=sin(i4+C)=sinB,

ee(o,TT)4,

71

CG(0,7T)3.

273V512V1

选③：:a3+b2-c2=3S»ABC=3x2abs'\nC=3

2,,32rr

a+b-cV2

由余弦定理知，cosc=2ab=3,

返_2L

cG（0,7r）3,c—3.

在△ABC中，由余弦定理知6ab,

1_25+”-49

2=2X5b,化简a+5b-24=0,解得b=5或一3（舍负）,

5

b_c8.兀

由正弦定理知，sinNABCsinC,sin/ABC=s1％,...

sinZ-ABC—7,

乙ABCG（0,

1--------1（亚）2阻

在ZMBD中，而〃。。=41一。。$2/皿,=丫/17'=7,

sinZ-BAD=sin（ZJlBC-ZJlDC）=sinZj4BC•cos乙ADC—cosZ-ABC-s\nZ.ADC

W3V21157710^6

=^-X_2--7X^F^49,

BD二AB

由正弦定理知，sin/BADsinZADB,

BD=7

1077"277

,-49~

BD=8.

【考点】

余弦定理

正弦定理

【解析】

此题暂无解析

【解答】

此题暂无解答

试卷第10页，总17页

已知等差数列的首项为2,前n项和为S”，正项等比数列｛%｝的首项为1，且满足。3=

2b2，S5—b2+b4.

(1)求数列｛an｝,｛匕｝的通项公式;

⑵设Cn"-1)lo§3Sn+1°S3bn,求数列&｝的前26项和.

【答案】

设等差数列｛即｝的公差为d,等比数列｛bn｝的公比为q,

/fai+2d=5b<q

a

3=2b6।5x45

所以Kf+bg」5a2yd%q+b】q又.，…

所以q3-3q=0,

因为数列｛%｝是正项等比数列，所以q=3,

所以即=8+2(n-l)=2n,垢=1-3n-2=3n-1.

n(4+2n)

==

Sn2TI(TI+5),

loS+logb

则Cn=(-1)S3n3n=(-i)"|Og3[n(n+2)]+log33nt=

nn

[(—l)log3n+(—5)log3(n4-1)]+n—4,

所以数列｛cn｝的前26项和：

726=(—1。831一loge2+0)+(log42+log38+1)+(-log33-log3+

2)+...+(—log225—log326+24)+(log326+log227+25)

26(0+25)

=-log3l+logs27+2=3+325=328.

【考点】

等差数列与等比数列的综合

数列的求和

【解析】

此题暂无解析

【解答】

此题暂无解答

如图，四棱锥P-4BCD中，尸41平面4BCD,AD//BC,NBAO=120。，AB=AD=2,

点M在线段PD上，且。M=2MP,PB〃平面MAC.

a

M

B

（1）求证：平面MAC_L平面PAD；

（2）若PA=3,求平面PAB和平面MAC所成锐二面角的余弦值.

【答案】

证明：连接BD交4c于E,连接EM,

取B0中点F,连接4F,

因为NBAC=120°,AB=AD=2,

所以4F=l,BF=VeVs,

因为PB〃平面MAC,所以PB〃ME,

卫・2加—

又因为DM=2MP,所以BE=3=8

返

EF=BF—BE=3,所以4E=

所以BE=AE,于是NE4B=ZEBA=3O。，

所以NC4C=90。，即AC1AD,

因为24_L平面力BCD,所以PA1AC,

所以力C_L平面PAD,又因为ACu平面MAC,

所以平面MAC_L平面PAD.

由（1）知，AC.4P两两垂直，

所以可建立如图所示的空间直角坐标系，

由题意得各点坐标如下：

_2

P(4,0,C(V3,5,M(0,6,

4(0,0,7

一__一2

AB=一1,AP=(3,O,AC=(A/3,3,AM=(o,5,

设平面P48和平面MAC的法向量分别为rr=(x,y,H=Q,v,

试卷第12页，总17页

AB・m=V^x_y=0

,AP,m=8z=0,令x=i,ir,VB,0)，

AC*n=3u=5

令〃=3,n,6,-i),

设平面P4B和平面MAC所成锐二面角的大小为。，

Jm-nJ3V

则cose=ImI•InI=2*\/10=20

所以平面P4B和平面MAC所成锐二面角的余弦值为20

【考点】

二面角的平面角及求法

平面与平面垂直

【解析】

此题暂无解析

【解答】

此题暂无解答

已知某班有50位学生，现对该班关于“举办辩论赛"的态度进行调查，他们综合评价成

绩的频数分布以及对"举办辩论赛”的赞成人数如表：

综合评价成[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100)

绩（单位:

分）

频数510151055

赞成人数4812431

(1)请根据以上统计数据填写下面2X2列联表，并回答：是否有95%的把握认为"综

合评价成绩以80分位分界点"对"举办辩论赛”的态度有差异？

综合评价成绩小于80分的人综合评价成绩不小于80分的人4口

数数计

赞成

赞

不

成

合计

(2)若采用分层抽样在综合评价成绩在［60,70),［70,80)的学生中随机抽取10人进行

追踪调查，并选其中3人担任辩论赛主持人，求担任主持人的3人中至少有1人在

［60,70)的概率.

^2_________n(ad-bc)?________

参考公式：(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),其中n=a+b+c+d.

参考数据：

P(K2>ko)0.100.050.0100.005

2.7063.8416.6357.879

【答案】

根据题意填写列联表，如下:

综合评价成绩小于80分的人综合评价成绩不小于80分的人合

数数计

赞成28432

不赞12618

成

合计401050

50X(28X6-12X4)2

计算收=32X18X40X10=3.125<3.841,

所以没有95%的把握认为"综合评价成绩以80分位分界点”对"举办辩论赛"的态度有差

异.

根据分层抽样知在［60,70)内抽取5人，80)内抽取4个，

再从这10人选其中3人，则这3人中至少有1人在［60

煜_4_

—10X9X829

P=I一C10=4_3X2X3=而.

试卷第14页，总17页

【考点】

独立性检验

【解析】

此题暂无解析

【解答】

此题暂无解答

22

^y+^l(a>o,b>0)返

已知椭圆c：ab过点(2,-1),离心率为2,抛物

线y2=-i6x的准线/交X轴于点4,过点A作直线交椭圆C于M,N.

(1)求椭圆C的标准方程和点力的坐标；

(2)若M是线段4N的中点，求直线MN的方程;

设P,Q是直线Lt关于x轴对称的两点，问：直线PM于QN的交点是否在一条定

直线上？请说明你的理由.

【答案】

£正今£=1

由题意知a2且ab

解得。2=4,炉=2,

22

一上=1

所以椭圆方程为84

由抛物线方程易知准线1为4=4,所以4(8；

X4+4丫8

设N(&，y。)，则时(22),

'48

x0y0

2

(X7+4)y；

―32-1T=5

依题意有，解得%0=1,y

士彩6

所以MN:x=।

设

P(4,t),-t),M(xvy6),N(x2,y2),

x=ky+8

28

联立X+4y-8=0,得(卜2+4)y2+2ky+8=0,

8k

y+V2=2~~

44d+4