小学奥数圆与扇形

同与扇形研究圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形，通过变动图形的位置或对图形进行分割、旋转、拼补，使它变成可以计算出面积的规则图形来计算它们的面积.n圆的面积=nr2;扇形的面积=nr2x；360n圆的周长=2nr;扇形的弧长=2nrx.360一、跟曲线有关的图形元素：①扇形：扇形由顶点在圆心的角的两边和这两边所截一段圆弧围成的图形，扇形是圆的一部分.我们经常说

的1圆、1圆、1圆等等其实都是扇形，而这个几分之几表示的其实是这个扇形的圆心角占这个圆周角的几2 4 6分之几.那么一般的求法是什么呢？关键是—.360n比如：扇形的面积=所在圆的面积x 360扇形中的弧长部分=扇形中的弧长部分=所在圆的周长nx 360扇形的周长=所在圆的周长x—+2x半径（易错点是把扇形的周长等同于扇形的弧长）360②弓形：弓形一般不要求周长，主要求面积.一般来说，弓形面积=扇形面积-三角形面积.（除了半圆）③“弯角”：如图： 弯角的面积=正方形-扇形④“谷子”：如图： “谷子”的面积=弓形面积x2二、常用的思想方法：①转化思想（复杂转化为简单，不熟悉的转化为熟悉的）②等积变形（割补、平移、旋转等）③借来还去（加减法）④外围入手（从会求的图形或者能求的图形入手，看与要求的部分之间的“关系”）板块一平移、旋转、害腺卜、对称在曲线型面积中的应用【例1】下图中每一个小正方形的面积是1平方厘米，那么格线部分的面积是多少平方厘米?

【巩固】下图中每一个小正方形的面积是1平方厘米，那么格线部分的面积是多少平方厘米?【例2】如图，在188的方格纸上，画有1，9,9,8四个数字.那么，图中的阴影面积占整个方格纸面积的几分之几？【巩固】在4X7的方格纸板上面有如阴影所示的“6"字，阴影边缘是线段或圆弧.问阴影面积占纸板面积的几分之几？【例3】（2007年西城实验考题）在一个边长为2厘米的正方形内，分别以它的三条边为直径向内作三个半圆,则图中阴影部分的面积为平方厘米.【巩固】如图，在一个边长为4的正方形内，以正方形的三条边为直径向内作三个半圆.求阴影部分的面积.

【例4】（人大附中分班考试题）如图，正方形边长为1,正方形的4个顶点和4条边分别为4个圆的圆心和半径，求阴影部分面积.（n取3.14）【例5】图中的4个圆的圆心是正方形的4个顶点，它们的公共点是该正方形的中心.如果每个圆的半径都是1厘米，那么阴影部分的总面积是多少平方厘米？【巩固】如图所示，四个全等的圆每个半径均为2m，阴影部分的面积是【例6】如右图，有8个半径为1厘米的小圆，用它们的圆周的一部分连成一个花瓣图形，图中的黑点是这些圆的圆心.则花瓣图形的面积是多少平方厘米？（n取3）【例7】如图中三个圆的半径都是5cm,三个圆两两相交于圆心.求阴影部分的面积和.（圆周率取3.14）

【巩固】如图，大圆半径为小圆的直径，已知图中阴影部分面积为S，空白部分面积为S/那么这两个部分的面积之比是多少？（圆周率取3.14） 1 2【例8】计算图中阴影部分的面积（单位：分米）.【巩固】如图，阴影部分的面积是多少?【例9】请计算图中阴影部分的面积.【例10】 求图中阴影部分的面积.【例11】 求如图中阴影部分的面积.（圆周率取3.14）(1)(1)【巩固】如图,四分之一大圆的半径为7求阴影部分的面积，其中圆周率兀取近似值22.【例12】 求下列各图中阴影部分的面积.【巩固】求下列各图中阴影部分的面积（图中长度单位为cm，圆周率按3计算）:3⑴⑵⑶13⑴⑵⑶1【例13] 如图，ABCD是正方形，且FA=AD=DE=1,求阴影部分的面积.（取n=3）【巩固】求图中阴影部分的面积（单位：cm）.22【例14]如图，长方形ABCD的长是8cm，则阴影部分的面积是 cm2.（n=3.14）【例15】 （2007年西城实验期末考试题）如图所示，在半径为4cm的图中有两条互相垂直的线段，阴影部分面积A与其它部分面积B之差（大减小）是cm2.【巩固】一块圆形稀有金属板平分给甲、乙二人.但此金属板事先已被两条互相垂直的弦切割成如图所示尺寸的四块.现甲取②、③两块，乙取①、④两块.如果这种金属板每平方厘米价值1000元，问：甲应偿付给乙多少元？【例16】求右图中阴影部分的面积.（【例16】求右图中阴影部分的面积.（n取3）【例17】 （第四届走美决赛试题）如图，边长为3的两个正方形BDKE、正方形DCFK并排放置，以BC为边向内侧作等边三角形，分别以B、C为圆心，BK、CK为半径画弧.求阴影部分面积.（n=3.14）板块二曲线型面积计算4.、【例18】如图，已知扇形BAC的面积是半圆ADB面积的-倍，则角【例18】【例19】 如下图，直角三角形ABC的两条直角边分别长6和7,分别以B,C为圆心，2为半径画圆，已知图中阴影部分的面积是17,那么角A是多少度（n=3）【例20】 如图，大小两圆的相交部分（即阴影区域）的面积是大圆面积的-，是小圆面积的3.如果量得15 5小圆的半径是5厘米，那么大圆半径是多少厘米？【例21】 有七根直径5厘米的塑料管，用一根橡皮筋把它们勒紧成一捆（如图），此时橡皮筋的长度是多少厘米？（n取3）【例22] 如图，边长为12厘米的正五边形，分别以正五边形的5个顶点为圆心，12厘米为半径作圆弧,请问：中间阴影部分的周长是多少？（n=3.14）【例23] 如图是一个对称图形.比较黑色部分面积与灰色部分面积的大小，得：黑色部分面积灰色部分面积.【例24] 如图，大圆半径为小圆的直径，已知图中阴影部分面积为S，空白部分面积为S/那么这两个部分的面积之比是多少？（圆周率取3.14） 1 2【例25] 用一块面积为36平方厘米的圆形铝板下料，从中裁出了7个同样大小的圆铝板.问：所余下的边角料的总面积是多少平方厘米？【例26] 如图，若图中的圆和半圆都两两相切，两个小圆和三个半圆的半径都是1.求阴影部分的面积.【例27] 如图所示，求阴影面积，图中是一个正六边形，面积为1040平方厘米，空白部分是6个半径为10厘米的小扇形.（圆周率取3.14）【例28] （09年第十四届华杯赛初赛）如下图所示，AB是半圆的直径，0是圆心，AC=CD=DB,M是CD的中点，H是弦CD的中点.若N是0B上一点，半圆的面积等于12平方厘米，则图中阴影部分的面积是平方厘米.[巩固]如图，C、D是以AB为直径的半圆的三等分点，0是圆心，且半径为6.求图中阴影部分的面积.【例29] 如图，两个半径为1的半圆垂直相交，横放的半圆直径通过竖放半圆的圆心，求图中两块阴影部分的面积之差.（兀取3）【例30] 如图，两个正方形摆放在一起，其中大正方形边长为12,那么阴影部分面积是多少？（圆周率取3.14）

【巩固】如右图，两个正方形边长分别是10和6,求阴影部分的面积.（n取3）【例31] 如图，ABC是等腰直角三角形，D是半圆周的中点，BC是半圆的直径.已知AB=BC=10,那么阴影部分的面积是多少？（圆周率取3.14）【例32] 图中给出了两个对齐摆放的正方形，并以小正方形中右上顶点为圆心，边长为半径作一个扇形，按图中所给长度阴影部分面积为 ；（n=3.14）【例33] 如图，图形中的曲线是用半径长度的比为2:1.5:0.5的6条半圆曲线连成的.问：涂有阴影的部分的面积与未涂有阴影的部分的面积的比是多少？【例34] （2008年西城实验考题）奥运会的会徽是五环图，一个五环图是由内圆直径为6厘米，外圆直径为8厘米的五个环组成，其中两两相交的小曲边四边形（阴影部分）的面积都相等，已知五个圆环盖住的面积是77.1平方厘米，求每个小曲边四边形的面积.（n=3.14）

【例35】 已知正方形ABCD的边长为10厘米，过它的四个顶点作一个大圆，过它的各边中点作一个小圆,再将对边中点用直线连擎起来得右图.那么，图中阴影部分的总面积等于 方厘米.（n=3.14）【例36] 如图，ABCD是边长为a的正方形，以AB、BC、CD、DA分别为直径画半圆，求这四个半圆弧所围成的阴影部分的面积.（n取3）【巩固】如图，正方形ABCD的边长为4厘米，分别以B、D为圆心以4厘米为半径在正方形内画圆.求阴影部分面积.（n取3）【例37] （2008年四中考题）已知三角形ABC是直角三角形，AC=4cm,BC=2cm，求阴影部分的面积.【例38] （奥林匹克决赛试题）在桌面上放置3个两两重叠、形状相同的圆形纸片.它们的面积都是100平方厘米，盖住桌面的总面积是144平方厘米，3张纸片共同重叠的面积是42平方厘米.那么图中3个阴影部分的面积的和 是平方厘米.【例39】 （2008年国际小学数学竞赛）如图所示，ABCD是一边长为4cm的正方形，E是AD的中点，而F是BC的中点.以C为圆心、半径为4cm的四分之一圆的圆弧交EF于G，以F为圆心、半径为2cm的四分之一圆的圆弧交EF于H点，若图中S和S两块面积之差为mn-n（cm2）（其中m、n为正整数），请问m+n之值为何？ 12【巩固】在图中，两个四分之一圆弧的半径分别是2和4,求两个阴影部分的面积差.（圆周率取3.14）【例40] 如图，矩形ABCD中，AB=6厘米，BC=4厘米，扇形ABE半径AE=6厘米，扇形CBF的半径CB=4厘米，求阴影部分的面积.（n取3）【巩固】求图中阴影部分的面积.【巩固】如右图，正方形的边长为5【巩固】如右图，正方形的边长为5厘米，则图中阴影部分的面积是平方厘米，（n=3.14）【例41] 如图所示，阴影部分的面积为多少？（圆周率取3）33【例42【例42]已知右图中正方形的边长为20厘米，中间的三段圆弧分别以0、0、03为圆心，求阴影部分的面积.（n=3） 1 2 3【例43] 一个长方形的长为9,宽为6,一个半径为l的圆在这个长方形内任意运动，在长方形内这圆无法运动到的部分，面积的和是.（n取3）【例44］ 已知半圆所在的圆的面积为62.8平方厘米，求阴影部分的面积.（兀:3.14）【例45］ 如图，等腰直角三角形ABC的腰为10；以A为圆心，EF为圆弧，组成扇形AEF;两个阴影部分的面积相等.求扇形所在的圆面积.【例46］ 如图，直角三角形ABC中，AB是圆的直径，且AB=20，阴影甲的面积比阴影乙的面积大7,求BC长.（n=3.14）［巩固］三角形ABC是直角三角形，阴影I的面积比阴影II的面积小25cm2,［巩固］如图，三角形ABC是直角三角形，阴影部分①比阴影部分②的面积小28平方厘米，AB长40厘米.求BC的长度？（n取3.14）途粤E钟;厚勺g【例47】 （途粤E钟;厚勺g【例47】 （2009年十三分入学测试题）图中的长方形的长与宽的比为8:3，求阴影部分的面积.【例48】如图，求阴影部分的面积.（兀取3）【例49] 如图，直角三角形的三条边长度为6,8,10，它的内部放了一个半圆，图中阴影部分的面积为多少？【例50] （华校2005〜2006年度第一学期期中测试第6题）大圆半径为R，小圆半径为r,两个同心圆构成一个环形.以圆心0为顶点，半径R为边长作一个正方形：再以0为顶点，以r为边长作一个小正方形.图中阴影部分的面积为50平方厘米，求环形面积.（圆周率取3.14）【巩固】图中阴影部分的面积是25cm2，求圆环的面积.【例51】 （2008年101中学考题）已知图中正方形的面积是20平方厘米，则图中里外两个圆的面积之和是 .（n取3.14）【巩固】（2008年四中考题）图中大正方形边长为a【巩固】（2008年四中考题）图中大正方形边长为a，小正方形的面积是【巩固】图中小圆的面积是30平方厘米，则大圆的面积是 平方厘米.（n取3.14）【巩固】（2008年中国台湾小学数学竞赛选拔赛复赛）一些正方形内接于一些同心圆，如图所示.已知最小圆的半径为1cm,请问阴影部分的面积为多少平方厘米？（取n=22）【例52】 图中大正方形边长为6，将其每条边进行三等分，连出四条虚线，再将虚线的中点连出一个正方形（如图），在这个正方形中画出一个最大的圆，则圆的面积是多少？（n=3.14）【例53] 如下图所示，两个相同的正方形，左图中阴影部分是9个圆，右图中阴影部分是16个圆.哪个图中阴影部分的面积大？为什么？【例54【例54]如图，在3x3方格表中，分别以A、E、F为圆心，半径为3、2、1,圆心角都是90°的三段圆弧与正方形ABCD的边界围成了两个带形，那么这两个带形的面积之比S:S=?【例55] 如图中，正方形的边长是5cm,两个顶点正好在圆心上，求图形的总面积是多少？（圆周率取3.14）【例56]如下图，AB与CD是两条垂直的直径，圆0的半径为15厘米，AEB是以C为圆心，AC为半径的圆弧，求阴影部分面积.【例57] 如图，AB与CD是两条垂直的直径，圆0的半径为15,AEB是以C为圆心，AC为半径的圆弧.求阴影部分面积.【例58] 如下图所示，曲线PRSQ和R0S是两个半圆.RS平行于PQ.如果大半圆的半径是1米，那么阴影部分是多少平方米？（兀取3.14）【例59] 在右图所示的正方形ABCD中，对角线AC长2厘米.扇形ADC是以D为圆心，以AD为半径的圆的一部分.求阴影部分的面积.【例60] 某仿古钱币直径为4厘米，钱币内孔边缘恰好是圆心在钱币外缘均匀分布的等弧（如图）.求钱币在桌面上能覆盖的面积为多少？

【例61】 （2006年小学生数学报竞赛）传说古老的天竺国有一座钟楼，钟楼上有一座大钟，这座大钟的钟面有10平方米.每当太阳西下，钟面就会出现奇妙的阴影（如右图）.那么，阴影部分的面积是平方米.1296312963【巩固】图中是一个钟表的圆面，图中阴影部分甲与阴影部分乙的面积之比是多少?【巩固】传说古老的天竺国有一座钟楼，钟楼上有一座大钟，这座大钟的钟面有10平方米.每当太阳西下,钟面就会出现奇妙的阴影（如左下图）.那么，阴影部分的面积是多少平方米？【巩固】如图，已知三角形GHI是边长为26厘米的正三角形，圆0的半径为15厘米.ZAOB=/COD=/EOF=90。.求阴影部分的面积.

AGAGFE【例62】 如下图，两个半径相等的圆相交，两圆的圆心相距正好等于半径，AB弦约等于17厘米，半径为10厘米，求阴影部分的面积.【例63]下图中，AB=3，阴影部分的面积是【例64] 如图，ABCD是平行四边形，AD=8cm,AB=10cm,/DAB=30。，高CH=4cm，弧BE、DF分别以AB、CD为半径，弧DM、BN分别以AD、CB为半径，则阴影部分的面积为多少？（精确到0.01）【例65] 如图所示，两条线段相互垂直，全长为30厘米.圆紧贴直线从一端滚动到另一端（没有离开也没有滑动）.在圆周上设一个定点p，点P从圆开始滚动时是接触直线的，当圆停止滚动时也接触到直线，而在圆滚动的全部过程中点P是不接触直线的.那么，圆的半径是多少厘米？（设圆周率

为3.14,除不尽时，请四舍五入保留小数点后两位.如有多种答案请全部写出）【例66］ （第三届希望杯）将一块边长为12厘米的有缺损的正方形铁皮（如图）剪成一块无缺损的正方形铁皮，求剪成的正方形铁皮的面积的最大值.板块三曲线型旋转问题【例67］ 正三角形ABC的边长是6厘米，在一条直线上将它翻滚几次，使人点再次落在这条直线上，那么A点在翻滚过程中经过的路线总长度是多少厘米？如果三角形面积是15平方厘米，那么三角形在滚动过程中扫过的面积是多少平方厘米？（结果保留n）［巩固】直角三角形ABC放在一条直线上，斜边AC长20厘米，直角边BC长10厘米.如下图所示，三角形由位置I绕A点转动，到达位置H,此时B,C点分别到达B,C点；再绕B点转动，到达位置印，此时A,C点分别到达A,C点.求C点经C到C走过的路径的长. 1［巩固］如图，一条直线上放着一个长和宽分别为4cm和3cm的长方形I.它的对角线长恰好是5cm.让这个长方形绕顶点B顺时针旋转90°后到达长方形^的位置，这样连续做三次，点A到达点E的位置.求点A走过的路程的长.

【例68] 草场上有一个长20米、宽10米的关闭着的羊圈，在羊圈的一角用长30米的绳子拴着一只羊（见如图）.问：这只羊能够活动的范围有多大？（圆周率取3.14）【巩固】一只狗被拴在底座为边长3m的等边三角形建筑物的墙角上（如图），绳长是4m，求狗所能到的地方的总面积.（圆周率按3.14计算）【例69] 如图是一个直径为3cm的半圆，让这个半圆以A点为轴沿逆时针方向旋转60。，此时B点移动到B'点，求阴影部分的面积.（图中长度单位为cm,圆周率按3计算）.A B【例70] 如图所示，直角三角形ABC的斜边AB长为10厘米，ZABC=60。,此时BC长5厘米.以点B为中心，将AABC顺时针旋转120。，点A、C分别到达点E、D的位置.求AC边扫过的图形即图中阴影部分的面积.（兀取3）

【巩固】如右图，以。4为斜边的直角三角形的面积是24平方厘米，斜边长10厘米，将它以0点为中心旋转90。，问：三角形扫过的面积是多少？（n取3）【巩固】（2008年“学而思杯”数学试题）如图，直角三角形ABC中，/B为直角，且BC=2厘米，AC=4厘米，则在将AABC绕C点顺时针旋转120。的过程中，AB边扫过图形的面积为.（n=3.14）【例71] 如图，^ABC是一个等腰直角三角形，直角边的长度是1米.现在以