2022高一数学集合间的基本关系学案新人教A版

1.1.2集合间的基本关系学习目标了解子集、真子集、空集的概念，掌握用Venn图表示集合的方法，通过子集理解两集合相等的意义．自学导引1．一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A⊆B(或B⊇A)，读作“A含于B”(或“B包含A”)．2．如果集合A是集合B的子集(A⊆B)，且集合B是集合A的子集(B⊆A)，此时，集合A与集合B中的元素是一样的，因此集合A与集合B相等，记作A＝B.3．如果A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，我们称集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA)．4．不含任何元素的集合叫做空集，记作∅.5．空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集.一、写出给定集合的子集例1(1)写出集合{0,1,2}的所有子集，并指出其中哪些是它的真子集；(2)填写下表，并回答问题.原集合子集子集的个数∅{a.}{a，b}{a.，b，c}由此猜想：含n个元素的集合{a1，a2，…，an}的所有子集的个数是多少？真子集的个数及非空真子集数呢？解(1)不含任何元素的集合：∅；含有一个元素的集合：{0}，{1}，{2}；含有两个元素的集合：{0,1}，{0,2}，{1,2}；含有三个元素的集合：{0,1,2}．故集合{0,1,2}的所有子集为∅，{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}，{0,1,2}．其中除去集合{0,1,2}，剩下的都是{0,1,2}的真子集．(2)原集合子集子集的个数∅∅1{a}∅，{a}2{a.，b}∅，{a.}，{b}，{a，b}.4{a.，b，c}∅，{a.}，{b}，{c}，{a.，b}，{a.，c}，{b，c}，{a.，b，c}8这样，含n个元素的集合{a1，a2，…，}的所有子集的个数是2n，真子集的个数是2n－1，非空真子集数是2n－2.点评(1)分类讨论是写出所有子集的有效方法，一般按集合中元素个数的多少来划分，遵循由少到多的原则，做到不重不漏．(2)集合A中有n个元素，则集合A有2n个子集，有(2n－1)个真子集，(2n－1)个非空子集，(2n－2)个非空真子集．变式迁移1已知集合M满足{1,2}⊆M⊆{1,2,3,4,5}，写出集合M.解由已知条件知所求M为：{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}．二、集合基本关系的应用例2已知集合A＝{x|1<ax<2}，B＝{x||x|<1}，满足A⊆B，求实数a的取值范围．分析对参数进行讨论，写出集合A、B，让其满足A⊆B，求a的值．解(1)当a＝0时，A＝∅，满足A⊆B.(2)当a>0时，A＝.∵A⊆B，∴∴a≥2(3)当a.<0时，A＝.∵A⊆B，∴∴a≤－2.综合(1)(2)(3)知，a的取值范围{a|a≤－2或a＝0或a≥2}．点评对集合A分类讨论是解决此类题目的关键，注意不要忽视对A＝∅的讨论．变式迁移2已知A＝{x|x2－5x＋6＝0}，B＝{x|mx＝1}，若BA，求实数m所构成的集合M.解由x2－5x＋6＝0得x＝2或x＝3.∴A＝{2,3}由BA知B＝∅或B＝{2}或B＝{3}若B＝∅，则m＝0；若B＝{2}，则m＝eq\f(1,2)；若B＝{3}，则m＝eq\f(1,3).∴M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)，\f(1,3))).三、集合相等关系的应用例3已知集合A＝{2，x，y}，B＝{2x,2，y2}且A＝B，求x，y的值．解方法一∵A＝B∴集合A与集合B中的元素相同∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2x,y＝y2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝y2,y＝2x))，解得x，y的值为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0,y＝0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0,y＝1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,4),y＝\f(1,2)))验证得，当x＝0，y＝0时，A＝{2,0,0}这与集合元素的互异性相矛盾，舍去．∴x，y的取值为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0,y＝1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,4),y＝\f(1,2)))方法二∵M＝N，∴M、N中元素分别对应相同．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝2x＋y2，,x·y＝2x·y2，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y(y－1)＝0，①,xy(2y－1)＝0.②))∵集合中元素互异，∴x、y不能同时为0.∴y≠0.由②得x＝0或y＝eq\f(1,2).当x＝0时，由①知y＝1或y＝0(舍去)；当y＝eq\f(1,2)时，由①得x＝eq\f(1,4).∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝1，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,4)，,y＝\f(1,2)))点评集合相等则元素相同，但要注意集合中元素的互异性，防止错解．变式迁移3含有三个实数的集合可表示为，也可表示为{a2，a＋b,0}，求a.，b.解由集合相等得：0∈，易知a≠0，∴＝0，即b＝0，∴a2＝1且≠a.∴a.＝－1.综上所述：a＝－1，b＝0.1．元素、集合间的关系用符号“∈”或“∉”表示，集合、集合间的关系用“⊆”、“⃘”、“＝”或“”等表示．2．在特定的情况下集合也可以作为元素，如集合B＝{∅，{0}，{1}，{0,1}}，则此时{1}∈B…而不能是{1}B.3．解集合关系的问题时还需注意以下几个方面：(1)当A⊆B时，A＝B或AB.(2)判断两个集合间的关系：①用列举法表示两个集合再判断；②分类讨论．(3)解数集问题学会运用数轴表示集合．(4)集合与集合间的关系可用Venn图直观表示．一、选择题1．下列命题①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集；④若∅A时，则A≠∅，其中正确的个数是()A．0B．1C．2D．3答案B解析仅④是正确的．2．已知集合A＝{x|a－1≤x≤a＋2}，B＝{x|3<x<5}，则能使A⊇B成立的实数a.的取值范围是()A．{a|3<a≤4}B．{a|3≤a≤4}C．{a|3<a<4}D．∅答案B解析结合数轴由图可知∵A⊇B，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝(a－1)2.,－1≤3,b＝(a－1)2.,＋2≥5))∴3≤a≤43．设B＝{1,2}，A＝{x|x⊆B}，则A与B的关系是()A．A⊆BB．B⊆AC．A∈BD．B∈A答案D解析∵B的子集为{1}，{2}，{1,2}，∅，∴A＝{x|x⊆B}＝{{1}，{2}，{1,2}，∅}，∴B∈A.4．若集合A＝{x|x＝n，n∈N}，集合B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＝\f(n,2)，n∈Z))，则A与B的关系是()A．ABB．ABC．A＝BD．A∈B答案A5．在以下六个写法中：①{0}∈{0,1}；②∅{0}；③{0，－1,1}⊆{－1,0,1}；④0∈∅；⑤Z＝{正整数}；⑥{(0,0)}＝{0}，其中错误写法的个数是()A．3个B．4个C．5个D．6个答案B二、填空题6．若B＝{0,1,2,3,4,7,8}，C＝{0,3,4,7,9}，则满足A⊆B，A⊆C的集合A有________个．答案167．设M＝{x|x2－1＝0}，N＝{x|ax－1＝0}，若N⊆M，则a的值为________．答案±1或08．若{x|2x－a＝0，a∈N}⊆{x|－1<x<3}，则a的所有取值组成的集合为________________．答案{0,1,2,3,4,5}三、解答题9．设集合A＝{1，a，b}，B＝{a，a2，ab}，且A＝B，求实数a、b的值．解∵A＝B且1∈A，∴1∈B.若a＝1，则a2＝1，这与元素互异性矛盾，∴a≠1.若a2＝1，则a＝－1或a＝1(舍)．∴A＝{1，－1，b}，∴b＝a.b＝－b，即b＝0.若ab＝1，则a2＝b，得a3＝1，即a＝1(舍去)．故a＝－1，b＝0即为所求．10．设集合A＝{x|x2－5x＋6＝0}，B＝{x|x2－(2a＋1)x＋a2＋a＝0}，若B⊆A，求a解方法一A＝{x|x2－5x＋6＝0}＝{2,3}，由B⊆A，得B＝∅，或B＝{2}，或B＝{3}，或B＝{2,3}，因为Δ＝(2a＋1)2－42－4a所以B必不为空集．当B＝{2}时，需2a＋1＝4和a