二次函数与一元二次方程（导学案）九年级数学上册系列（人教版）

学习目标1理解二次函数与一元二次方程之间的联系，能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。2通过图象理解二次函数与一元二次方程联系的过程中，体会综合运用函数解析式和函数图象的数形结合思想。重点难点突破二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的三种情况与一元二次方程根的关系：核心知识二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的三种情况与一元二次方程根的关系：思维导图新知探究以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有关系：h=20t–5t2.[问题一]球的飞行高度能否达到15m?若能，需要多少时间？[问题二]球的飞行高度能否达到20m?若能，需要多少时间？[问题三]结合图形，你知道为什么在问题一中有两个点符合题意，而在问题二中只有一个点符合题意？[问题四]球的飞行高度能否达到20.5m?若能，需要多少时间？[问题五]球从飞出到落地要用多少时间？[问题六]结合此问题，你发现二次函数与一元二次方程的联系.【问题】以下二次函数图象与x轴有公共点吗？如果有公共点的横坐标是多少？当x取公共点的横坐标时，函数值是多少？由此你能得出相应一元二次方程的根吗？1)y=x2+x-22)y=x2-6x+93)y=x2-x+1.【问题】利用函数图象求方程x2典例分析典例1．若抛物线y=k−1x2−2x+1与x轴有交点，则【针对训练】1．已知抛物线y=2mx2−4mx+c与x轴交于点A−1,0、Bx2,02．抛物线y=x2−3x−4与x3．若对称轴为直线x=−2的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点典例2．抛物线y=−x2−3x+3与y【针对训练】1．抛物线y=−x2+4x−42．平面直角坐标系xOy中，抛物线y=−x2+8与y轴的交点为B点，则例3．二次函数y＝x2+bx+c的图象如图所示，则其对称轴方程是，方程x2+bx+c＝0的解是．【针对训练】1．已知抛物线y=x2+bx+c的部分图像如图所示，则方程典例4．根据下面表格中的对应值：判断方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a，b，c为常数)的一个解x的范围是() 【针对训练】1．根据下列表格的对应值，判断方程ax2+bx+c=0（a≠0,a,b,cA．3<x<3.23 B．3.23<x<3.24 C．3.24<x<3.25 D．3.25<x<3.262．根据抛物线y=x2+3x−1A．x2+3x−1=0 C．3x2+x−1=0典例5．已知抛物线y=x2+求证：无论m为何值，抛物线与x轴总有两个公共点．【针对训练】1．若二次函数y=x2+b−1x+4典例6．如图，已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A（-1，0），B（1，-2），与x轴的另一个交点为C(1)求该图象的解析式；(2)求AC长．【针对训练】1．已知关于x的一元二次方程x2−4x+m=0．(1)若方程有实数根，求实数m的取值范围．(2)若方程两实数根为x1，x2，且满足5x1+2直击中考1．（2023·湖南郴州真题）抛物线y=x2−6x+c与x轴只有一个交点，则2．（2022·黑龙江大庆中考真题）已知函数y=mx2+3mx+m−1的图象与坐标轴恰有两个公共点，则实数m课堂小结1.本节课学了哪些主要内容？2.简述二次函数与一元二次方程的联系？【参考答案】新知探究以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有关系：h=20t–5t2.[问题一]球的飞行高度能否达到15m?若能，需要多少时间？解：当h=15时，20t-5t2=15，解得，t1=1，t2=3.当球飞行1s和3s时，它的高度为15m.[问题二]球的飞行高度能否达到20m?若能，需要多少时间？当h=20时，20t-5t2=20，解得，t1=t2=2.当球飞行2s时，它的高度为20m.[问题三]结合图形，你知道为什么在问题一中有两个点符合题意，而在问题二中只有一个点符合题意？飞行高度达到20m时，小球正好运动到抛物线的顶点。[问题四]球的飞行高度能否达到20.5m?若能，需要多少时间？当h=20.5时，20t-5t2=20.5，化简得，t2-4t+4.1=0，因为（-4）2-4×4.1<0，所以方程无实根.故球的飞行高度达不到20.5m.[问题五]球从飞出到落地要用多少时间？当h=0时，20t-5t2=0，解得，t1=0，t2=4.当球飞行0s和4s时，它的高度为0m，即0s时，球从地面飞出，4s时球落回地面.[问题六]结合此问题，你发现二次函数与一元二次方程的联系.从上面发现，二次函数与一元二次方程联系紧密。如：已知二次函数y=-x22+4x=3(即x2-4x+3=0).反过来，解方程x2-4x+3=0，就是已知二次函数y=x2-4x+3的值为0，求自变量x的值.【问题】以下二次函数图象与x轴有公共点吗？如果有公共点的横坐标是多少？当x取公共点的横坐标时，函数值是多少？由此你能得出相应一元二次方程的根吗？1)y=x2+x-22)y=x2-6x+93)y=x2-x+1.【问题】利用函数图象求方程x2解：如右图它与x轴的公共点的横坐标大致为-0.7，2.7。所以方程x2x1≈典例分析典例1．若抛物线y=k−1x2−2x+1与x轴有交点，则k的取值范围是【针对训练】1．已知抛物线y=2mx2−4mx+c与x轴交于点A−1,0、Bx2,02．抛物线y=x2−3x−4与x轴的交点坐标为−1，03．若对称轴为直线x=−2的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点(1,0)，则一元二次方程ax2典例2．抛物线y=−x2−3x+3与y【针对训练】1．抛物线y=−x2+4x−42．平面直角坐标系xOy中，抛物线y=−x2+8与y轴的交点为B点，则例3．二次函数y＝x2+bx+c的图象如图所示，则其对称轴方程是x=-1，方程x2+bx+c＝0的解是x1＝﹣3，x2＝1【针对训练】1．已知抛物线y=x2+bx+c的部分图像如图所示，则方程x2+bx+c=0典例4．根据下面表格中的对应值：判断方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a，b，c为常数)的一个解x的范围是(C) 【针对训练】1．根据下列表格的对应值，判断方程ax2+bx+c=0（a≠0,a,b,c为常数）的一个解xA．3<x<3.23 B．3.23<x<3.24 C．3.24<x<3.25 D．3.25<x<3.262．根据抛物线y=x2+3x−1与xA．x2+3x−1=0 C．3x2+x−1=0典例5．已知抛物线y=x2+求证：无论m为何值，抛物线与x轴总有两个公共点．【详解】证明：∵Δ=m−1∴无论m为何值，抛物线与x轴总有两个公共点．【针对训练】1．若二次函数y=x2+b−1x+4【详解】解：∵二次函数y=x2+∴Δ=b−1解得：b=5或-3．典例6．如图，已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A（-1，0），B（1，-2），与x轴的另一个交点为C(1)求该图象的解析式；(2)求AC长．（1）把点A−1,0,B1,−2得1−b+c=01+b+c=−2，∴二次函数的解析式为：y=（2）对于二次函数y=令y=0，得∴A∴AC=OA+OC=1+2=3.【针对训练】1．已知关于x的一元二次方程x2(1)若方程有实数根，求实数m的取值范围．(2)若方程两实数根为x1，x2，且满足5x1+