湖南省衡阳市县官埠中学高三数学文期末试题含解析

湖南省衡阳市县官埠中学高三数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知M是抛物线C：y2=2px（p＞0）上一点，F是抛物线C的焦点，若|MF|=p，K是抛物线C的准线与x轴的交点，则∠MKF=（）A．45° B．30° C．15° D．60°参考答案：A【考点】抛物线的简单性质．【分析】设点M（，p），K（﹣，0），则直线KM的斜率k=1，即可求得∠MKF=45°．【解答】解：由题意，|MF|=p，则设点M（，p），∵K（﹣，0），∴kKM=1，∴∠MKF=45°，故选A．2.已知三棱柱的侧棱在下底面的射影与平行,若与底面所成角为,且,则的余弦值为

A.

B.

C.

D.参考答案：C略3.已知则

A．

B．

C．

D．参考答案：C略4.已知函数，将的图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，再将所得图象向右平移个单位，得到函数的图象，则函数的解析式为（

） A． B． C．

D．参考答案：C5.设函数f（x）=ax+sinx+cosx．若函数f（x）的图象上存在不同的两点A、B，使得曲线y=f（x）在点A、B处的切线互相垂直，则实数a的取值范围为（）A． B． C． D．[﹣1，1]参考答案：D【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出原函数的导函数，设出A，B的坐标，代入导函数，由函数在A，B处的导数等于0列式，换元后得到关于a的一元二次方程，结合线性规划知识求得a的取值范围．【解答】解：由f（x）=ax+sinx+cosx，得f′（x）=a+cosx﹣sinx，设A（x1，y1），B（x2，y2），则f′（x1）=a+cosx1﹣sinx1，f′（x2）=a+cosx2﹣sinx2．由曲线y=f（x）在点A、B处的切线互相垂直，得a2+[（cosx1﹣sinx1）+（cosx2﹣sinx2）]a+（cosx1﹣sinx1）（cosx2﹣sinx2）+1=0．令m=cosx1﹣sinx1，n=cosx2﹣sinx2，则m∈[﹣，]，n∈[﹣，]，∴a2+（m+n）a+mn+1=0．△=（m+n）2﹣4mn﹣4=（m﹣n）2﹣4，∴0≤（m﹣n）2﹣4≤4．当m﹣n=时，m+n=0，又a=．∴﹣1≤a≤1．∴函数f（x）的图象上存在不同的两点A，B，使得曲线y=f（x）在点A，B处的切线互相垂直，则实数a的取值范围为[﹣1，1]．故选D．6.已知函数满足，若函数与图像的交点为，则（

）A．10

B．20

C．－10

D．－20参考答案：D7.在中，“”是“”的

（

）

A．充分非必要条件

B．必要非充分条件

C．充要条件

D．非充分非必要条件参考答案：B略8.运行如图所示的程序框图，则输出结果为（

）A．2017

B．2016

C．1009

D．1008参考答案：D输出结果为，选D.

9.已知是双曲线的左右焦点，以为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点M，与双曲线交于点N，且M，N均在第一象限，当直线MF1∥ON时，双曲线的离心率为，若函数，则=（

）A.1

B.

C.2

D.参考答案：C10.下列说法正确的是

A.“若，则”的否命题是“若，则”

B.

在中，“”是“”必要不充分条件C.“若，则”是真命题

D.使得成立参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知角α的终边过点（﹣2，3），则sin2α=．参考答案：【考点】二倍角的正弦；任意角的三角函数的定义．【分析】根据定义求出sinα，和cosα的值，利用二倍角公式可得sin2α的值．【解答】解：角α的终边过点（﹣2，3），根据三角函数的定义可知：sinα=，cosα=，则sin2α=2sinαcosα==，故答案为：．12.已知函数是偶函数，且当时，，则=_______.参考答案：略13.设是定义在R上的周期为2的函数，当时，则

．参考答案：1∵周期为2,∴

14.已知函数在点处的切线方程为，则__________．参考答案：4【详解】，，，则15.在正三角形ABC中，D是BC上的点，AB＝3，BD＝1，则＝＿＿＿参考答案：.16.对大于或等于2的正整数的幂运算有如下分解方式：；根据上述分解规律，若的分解中最小的正整数是21，则___________.参考答案：1017.如果，那么

.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐：每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得﹣200分）．设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立．（1）设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列；（2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？（3）玩过这款游戏的许多人都发现．若干盘游戏后，与最初分数相比，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因．参考答案：【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．【分析】（1）设每盘游戏获得的分数为X，求出对应的概率，即可求X的分布列；（2）求出有一盘出现音乐的概率，独立重复试验的概率公式即可得到结论．（3）计算出随机变量的期望，根据统计与概率的知识进行分析即可．【解答】解：（1）X可能取值有﹣200，10，20，100．则P（X=﹣200）=，P（X=10）==P（X=20）==，P（X=100）==，故分布列为：X﹣2001020100P由（1）知，每盘游戏出现音乐的概率是p=+=，则至少有一盘出现音乐的概率p=1﹣．由（1）知，每盘游戏获得的分数为X的数学期望是E（X）=（﹣200）×+10×+20××100=﹣=．这说明每盘游戏平均得分是负分，由概率统计的相关知识可知：许多人经过若干盘游戏后，入最初的分数相比，分数没有增加反而会减少．19.（本小题满分14分）已知函数．（1）求在上的最大值；（2）若直线为曲线的切线，求实数的值；（3）当时，设，且，若不等式恒成立，求实数的最小值．参考答案：（1），…………2分令，解得（负值舍去），由，解得．（ⅰ）当时，由，得，在上的最大值为．…………………3分（ⅱ）当时，由，得，在上的最大值为．……4分（ⅲ）当时，在时，，在时，，在上的最大值为．…………………5分（2）设切点为，则

……………6分由，有，化简得，即或，……………①

由，有，……………②由①、②解得或．

……………9分（3）当时，，由（2）的结论直线为曲线的切线，，点在直线上，根据图像分析，曲线在直线下方．

…………10分下面给出证明：当时，．

，当时，，即．………12分，，．要使不等式恒成立，必须．……………13分又当时，满足条件，且，因此，的最小值为．

…………………14分20.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知bsinA=acosB．（1）求角B的值；（2）若cosAsinC=，求角A的值．参考答案：【分析】（1）由已知及正弦定理可得asinB=acosB，可求tanB=，结合范围B∈（0，π），即可得解B的值．（2）利用三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得sin（2A+）=﹣，结合A的范围，可得2A+∈（，），从而可求A的值．【解答】（本题满分为14分）解：（1）∵由正弦定理可得：bsinA=asinB，又∵bsinA=acosB，∴asinB=acosB，∴tanB=，∵B∈（0，π），∴B=…6分（2）∵cosAsinC=，∴cosAsin（﹣A）=，∴cosA（cosA+sinA）=×+sin2A=，∴sin（2A+）=﹣，∵A∈（0，），可得：2A+∈（，），∴2A+=，可得：A=…14分21.（本题共13分）设关于x的函数的定义域为集合A，函数，的值域为集合B.（Ⅰ）求集合A，B；（Ⅱ）若集合A，B满足,求实数a的取值范围.参考答案：解：（Ⅰ）A=,

==，

….…..……4分

B.

..……………….…...7分（Ⅱ）∵，∴．..….……………9分∴或，∴实数a的取值范围是{a|或}．….………………..…..13分22.已知函数f（x）=|2x+4|+|x﹣a|．（Ⅰ）当a＜﹣2时，f（x）的最小值为1，求实数a的值．（Ⅱ）当f（x）=|x+a+4|时，求x的取值范围．参考答案：【考点】R4：绝对值三角不等式；R5：绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）当a＜2时，写出分段函数，利用函数f（x）的最小值为1，求实数a的值．（Ⅱ）由条件求得（2x+4）?（x﹣a）≤0，分类讨论求得x的范围．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=|2x+4|+|x﹣a|的零点为﹣2和a，当a＜﹣2时，f（x）=，∴f（x）min=f（﹣2）=2﹣4﹣a=1，得a=﹣3＜﹣2（合题意），即a=