第02讲有理数与数轴

第02讲有理数与数轴课程标准学习目标①与有理数有关的概念②有理数的分类③数轴的认识④数轴与有理数的关系，数轴上的点的移动。掌握有理数的有关概念，能够对其准确的分类。掌握数轴，熟悉数轴的三要素。掌握数轴与有理数的关系，能够利用数轴表示数。能够利用数轴解决相关题目。知识点01有理数的定义及其分类有理数的概念：有理数：整数与分数统称为有理数。整数包含正整数、负整数、0。分数包含正分数与负分数。自然数：0与正整数都是自然数。非负数包含0与正数。非负整数包含正整数和0。有理数的分类：有理数按照定义分类：有理数按照正负分类：题型考点：①对相关概念的理解。②对有理数进行正确的分类。【即学即练1】1．下列说法中，错误的有（）①是负分数；②1.5不是整数；③非负有理数不包括0；④整数和分数统称为有理数；⑤0是最小的有理数；⑥﹣1是最小的负整数．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：①是负分数；正确；②1.5不是整数；正确，是分数；③非负有理数不包括0；错误，0也为有理数；④整数和分数统称为有理数；正确；⑤0是最小的有理数；错误，负数也为有理数；⑥﹣1是最小的负整数，错误，﹣1为最大的负整数；∴③⑤⑥三项错误．故选：C．2．下列说法正确的是（）A．正数、0、负数统称为有理数 B．分数和整数统称为有理数 C．正有理数、负有理数统称为有理数 D．以上都不对【解答】解：由有理数的分类知，分数和整数统称为有理数．故选：B．【即学即练2】3．把下列各数分类，并填在表示相应集合的大括号内：﹣11，，﹣9，0，+12，﹣6.4，﹣π，﹣4%．（1）整数集合：{…}；（2）分数集合：{…}；（3）非负整数集合：{…}；（4）负有理数集合：{…}．【解答】解：（1）整数集合：{﹣11，﹣9，0，+12…}；（2）分数集合：{，﹣6.4，﹣4%…}；（3）非负整数集合：{0，+12…}；（4）负有理数集合：{﹣11，，﹣9，﹣6.4，﹣4%…}．故答案为：（1）﹣11，﹣9，0，+12；（2），﹣6.4，﹣4%；（3）0，+12；（4）﹣11，，﹣9，﹣6.4，﹣4%．4．把下列各数分别填入相应的大括号内：自然数集合{…}；整数集合{…}；正分数集合{…}；非正数集合{…}；有理数集合{…}．【解答】解：自然数集合：{0，10…}；整数集合：{﹣7，0，10，﹣…}；正分数集合：{3.5，，0.03…}；非正数集合：{﹣7，﹣3.1415，0，﹣3，﹣0.，﹣…}；有理数集合：{﹣7，3.5，﹣3.1415，0，，0.03，﹣3，10，﹣0.，﹣…}．知识点02数轴的定义与数轴的三要素数轴的定义：规定了正方向、原点、单位长度的用来表示数的直线叫做数轴。图示如下：数轴的三要素：原点、正方向、单位长度是数轴的三要素，在画数轴的时候三要素缺一不可。一般情况下规定向右为正方向。单位长度视情况选择大小，同一个数轴的单位长度一定要统一。题型考点：对数轴的理解。【即学即练1】5．关于数轴，下列说法最准确的是（）A．一条直线 B．规定了原点、正方向、单位长度的直线 C．有单位长度的一条直线 D．有原点、正方向的一条直线【解答】解：数轴是一条规定了原点、正方向、单位长度的直线．故选：B．6．下列数轴画得正确的是哪个（）A． B． C． D．【解答】解：A、没有原点；B、单位长度不一致；D、负数排列顺序不正确；故选：C．知识点03数轴与有理数的关系数轴与有理数的关系：①数轴上的点与有理数之间的关系是一一对应关系。即一个有理数在数轴上只能找到1个点来表示它。数轴上一个点也只能表示1个数。②表示正数的点在数轴上的位置一定在原点右侧，表示负数的点一定在原点的左侧。题型考点：①判断数轴上的点所表示的数以及在数轴上找到数的位置。②数轴上点与点之间的距离。③数轴上点的移动。【即学即练1】7．（1）在数轴上表示出下列各有理数：﹣2，﹣3，0，，；（2）指出如图所示的数轴上A、B、C、D、E各点分别表示的有理数．【解答】解：（1）如图所示，（2）由题可得，A表示﹣4，B表示﹣1.5，C表示0.5，D表示3，E【即学即练2】8．在数轴上，到表示﹣1的点的距离等于6的点表示的数是（）A．5 B．﹣7 C．5或﹣7 D．8【解答】解：设在数轴上与﹣1的距离等于6的点为A，表示的有理数为x，因为点A与点﹣1的距离为6，即|x﹣（﹣1）|＝6，所以x＝5或x＝﹣7．故选：C．9．在数轴上与﹣2所对应的点相距4个单位长度的点表示的数是．【解答】解：当该点在﹣2的右边时，由题意可知：该点所表示的数为2，当该点在﹣2的左边时，由题意可知：该点所表示的数为﹣6，故答案为：2或﹣6【即学即练3】10．如果在数轴上点A表示﹣3，从点A出发，沿数轴移动4个单位长度到达B点，则点B表示的数是．【解答】解：∵点A表示﹣3，∴从点A出发，沿数轴向右移动4个单位长度到达B点，则点B表示的数是﹣3+4＝1；∴从点A出发，沿数轴向左移动4个单位长度到达B点，则点B表示的数是﹣3﹣4＝﹣7；故答案为：1或﹣7．11．点A在数轴上距原点3个单位长度，若将点A向右移动4个单位长度，再向左移动1个单位长度，此时点A所表示的数是．【解答】解：∵点A在数轴上距原点3个单位长度，∴点A表示的数为3或﹣3；当点A表示的数是﹣3时，移动后的点A所表示的数为：﹣3+4﹣1＝0；当点A表示的数是3时，移动后的点A所表示的数为：3+4﹣1＝6；综上所述，移动后点A所表示的数是：0或6．故答案为：0或6．题型01有理数的分类【典例1】把下列各数填入相应的集合内：﹣2.5，10，3.14，0，，﹣20，+9.78，+58，，﹣1．整数集合：{…}；负数集合：{…}；正分数集合：{…}；非负数集合：{…}．【解答】解：整数集合：{10，0，﹣20，+58，﹣1…}，负数集合：{﹣2.5，，﹣20，﹣1…}，正分数集合：{3.14，+9.78，…}…}，非负数集合：{10，3.14，0，+9.78，+58，…}，故答案为：10，0，﹣20，+58，﹣1；﹣2.5，，﹣20，﹣1；3.14，+9.78，；10，3.14，0，+9.78，+58，．50．把下列各数填入相应的大括号内：﹣13.5，0，+27，﹣，（1）正数集合：{……}（2）负数集合：{……}（3）整数集合：{……}（4）分数集合：{……}（5）非负整数集合：{……}【解答】解：（1）正数集合：{+27，，3.14……}；（2）负数集合：{﹣13.5，﹣，﹣10……}；（3）整数集合：{0，+27，﹣10……}；（4）分数集合：{﹣13.5，﹣，，3.14……}；（5）非负整数集合：{0，+27……}，故答案为：（1）+27，，3.14；（2）﹣13.5，﹣，﹣10；（3）0，+27，﹣10；（4）﹣13.5，﹣，，3.14；（5）0，+27题型02数轴上点与点之间的距离【典例1】在数轴上，与表示﹣2的点距离为2个单位长度的点表示的数是．【解答】解：在数轴上与表示﹣2的点距离2个单位长度的点表示的数是﹣2+2＝0或﹣2﹣2＝﹣4．故答案为：0或﹣4．变式1：M点在数轴上表示﹣4，N点离M的距离是3，那么N点表示的数为（）A．﹣1 B．﹣7 C．﹣1或﹣7 D．﹣1或1【解答】解：﹣4+3＝﹣1，﹣4﹣3＝﹣7，故C正确．故选：C．变式2：下列结论正确的是（）A．数轴上表示6的点与表示4的点相距10 B．数轴上表示+6的点与表示﹣4的点相距10 C．数轴上表示﹣4的点与表示4的点相距10 D．数轴上表示﹣6的点与表示﹣4的点相距10【解答】解：A、数轴上表示6的点与表示4的点相距|6﹣4|＝2，故本选项错误；B、数轴上表示+6的点与表示﹣4的点相距|6﹣（﹣4）|＝10，故本选项正确；C、数轴上表示﹣4的点与表示4的点相距|﹣4﹣4|＝8，故本选项错误；D、数轴上表示﹣6的点与表示﹣4的点相距|﹣6﹣（﹣4）|＝2，故本选项错误．故选：B．题型03数轴上点的移动【典例1】数轴上一点P表示的数是﹣2，先把这个点向右移动3个单位长度，再向左移动5个单位长度，则点P表示的数是．【解答】解：﹣2+3﹣5＝﹣4，故答案为：﹣4．【典例2】在数轴上点A表示﹣4，如果把原点O向正方向移动1个单位，那么在新数轴上点A表示的数是（）A．﹣5 B．﹣4 C．﹣3 D．﹣2【解答】解：A点位于远点的左侧，距原点的距离为5，A点表示的数为﹣5，故选：A．【典例3】在数轴上，一动点A向左移动2个单位长度到达点B，再向右移动5个单位长度到达点C．若点C表示的数为1，则点A表示的数为（）A．7 B．3 C．﹣3 D．﹣2【解答】解：设A点表示的数为x．列方程为x﹣2+5＝1，解方程得：x＝﹣2．即点A所表示的数为﹣2．故选：D．【典例4】如图，圆的直径为1个单位长度，该圆上的点A与数轴上表示﹣1的点重合，将该圆沿数轴滚动1周，点A到达点B的位置，则点B表示的数是．【解答】解：C圆＝πd＝π，向右滚动：设B点坐标为x，x﹣（﹣1）＝π，x＝π﹣1，∴B点表示的数为：π﹣1．向左运动：﹣1﹣x＝π，x＝﹣π﹣1，∴B点表示的数为：﹣π﹣1．∴B点表示数为π﹣1或﹣π﹣1．故答案为：π﹣1或﹣π﹣1．题型04数轴的折叠问题【典例1】如图，已知纸面上有一数轴，折叠纸面，使﹣3表示的点与1表示的点重合，则与﹣5表示的点对应的点表示的数是（）A．3 B．4 C．5 D．﹣1【解答】解：∵折叠纸面，使表示﹣3的点与表示1的点重合，∴折痕和数轴交点表示的数是﹣3+＝﹣1，而表示﹣5的点与此交点距离为﹣1﹣（﹣5）＝4，∴与表示﹣5的点对应的点表示的数是﹣1+4＝3，故选：A．【典例2】如图，数轴上点M表示的数为﹣1，经过点M折叠这条数轴，使数轴在点M两侧的部分完全重合．若点M右侧的点P与数轴上表示﹣3的点重合，则点P所表示的数为（）A．3 B．2 C．1 D．0【解答】解：∵﹣1﹣（﹣3）＝2，∴﹣1+2＝1．∴P所表示的数为1．故选：C．【典例3】小超在纸上画了一条数轴后，折叠纸面，使数轴上表示2的点与表示﹣4的点重合，若数轴上A、B两点之间的距离为6（A在B的左侧），且A、B两点经上述折叠后重合，则A点表示的数为（）A．﹣4 B．﹣5 C．﹣3 D．﹣2【解答】解：根据折叠纸面，使数轴上表示2的点与表示﹣4的点重合，得到以﹣1对应的点对折，∵数轴上A、B两点之间的距离为3（A在B的左侧），且A、B两点经上述折叠后重合，∴A表示的数为﹣4，B表示的数为2．故选：A．1．下列各数中，是负整数的是（）A．0 B．2 D．﹣2【解答】解：A．0是整数，不是负整数，故本选项不合题意；B．2是正整数，不是负整数，故本选项不合题意；C．﹣0.1是负分数，故本选项不合题意；D．﹣2是负整数，故本选项符合题意．故选：D．2．下列四个选项，其中的数不是分数的选项是（）A． B． C． D．80%【解答】解：A、﹣是分数，不符合题意；B、是分数，不符合题意；C、是无理数，不是分数，符合题意；D、80%＝是分数，不符合题意．故选：C．3．在﹣15，5，﹣0.23，0，7.6，2，﹣，314%．这八个有理数中非负数有（）A．4个 B．5个 C．6个 D．7个【解答】解：在﹣15，5，﹣0.23，0，7.6，2，﹣，314%．这八个数中，非负数为5，0，7.6，2，314%，有5个．故选：B．4．如图，数轴上的两个点分别表示数a和﹣2，则a可以是（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．2【解答】解：根据数轴得：a＜﹣2，∴a可以是﹣3．故选：A．5．如图，被墨迹污染的数可能是（） 【解答】解：根据图示，被墨迹污染的数大于﹣1且小于0，∵1.5＞0，∴选项A不符合题意；∵0.5＞0，∴选项B不符合题意；∵﹣1.5＜﹣1，∴选项C不符合题意；∵﹣1＜﹣0.5＜0，∴选项D符合题意．故选：D．6．在数轴上表示负数a的点与原点O的距离是1，则负数a等于（）A．1 B．﹣1 C．±1 D．0【解答】解：∵数轴上点a与原点的距离等于1，则|a|＝1，∴a＝±1，∵a是负数，∴a＝﹣1，故选：B．7．如图，数轴上A，C位于B的两侧，且AB＝2BC，若点B表示的数是1，点C表示的数是3，则点A表示的数是（）A．0 B．﹣2 C．﹣3 D．﹣1【解答】解：∵点B表示的数是1，点C表示的数是3，∴BC＝2，∵AB＝2BC，∴AB＝4，有数轴可知：点A表示的数小于点B表示的数，∴1﹣4＝﹣3，即点A表示的数为﹣3，故选：C．8．如图1，点A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为﹣5，b，4，某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点Bcm，点Ccm．则数轴上点B所对应的数b为（）A．3 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣3【解答】解：∵5.4÷（4+5）＝0.6（cm），∴1.8÷0.6＝3，∴﹣5+3＝﹣2，故选：C．9．在+8，+，0.275，2，0，﹣1.04，，﹣8，﹣100，﹣中，负分数有．【解答】解：在这几个数中﹣1.04，﹣是负分数．故答案为：﹣1.04，﹣．10．已知数轴上A、B两点间的距离为3，点A表示的数为1，则点B表示的数为．【解答】解：若点B在A的左侧，则1﹣3＝﹣2，即点B表示的数为﹣2，若点B在A的右侧，则1+3＝4，即点B表示的数为4，故答案为：﹣2或4．11．如图，在数轴上，点A表示的数是2，将点A沿数轴向左移动3个单位长度得到点P，则点P表示的数是．【解答】解：由题意得，2﹣3＝﹣1，故答案为：﹣1．12．如图，数轴上有A、B、C三点，A、B两点表示的有理数是分别是﹣2和8，若将该数轴从点C处折叠后，点A和点B恰好重合，那么点C表示的有理数是．​​【解答】解：由题意得点C是线段AB的中点，∴点C表示的有理数是：（﹣2+8）÷2＝6÷2＝3，故答案为：3．13．把下列各数填在相应的表示集合的大括号里．﹣3，2.5，1，﹣0.58，0，，，﹣1.01001000⋯；整数集合{⋯}分数集合{⋯}正有理数集合{⋯}负有理数集合{⋯}【解答】解：整数集合{﹣3，1，0⋯}；分数集合{2.5，﹣0.58，，⋯}；正有理数集合{2.5，1，，⋯}；负有理数集合{﹣3，﹣0.58⋯}．故答案