初中数学整式的乘法与因式分解培优训练题(附答案详解)

初中数学整式的乘法与因式分解培优训练题(附答案详解)1.计算20162-2015×2017的值。答案：C.2014解析：将2015×2017先计算出来，再用20162减去结果即可得到答案2014。2.若a、b、c为△ABC的三边长，且满足a2+ab-ac-bc=0，b2+bc-ba-ca=0，则△ABC的形状是什么？答案：B.等腰三角形解析：将两个式子分别移项，得到a2=ac+bc-b2，b2=ab+ac-c2。将第一个式子代入第二个式子中，得到b2=ab+bc-a2。将这个式子变形，得到a2+b2=ab+bc，即△ABC为等腰三角形。3.下列计算正确的是什么？A.x+x=x2B.x3·x3=2x3C.(x3)2=x6D.x3÷x=x3答案：A.x+x=x2解析：这个式子可以化简为x=0或x=1，因此等式成立。4.若m为整数，则m2+m一定能被哪个数整除？A.2B.3C.4D.5答案：A.2解析：m2+m可以因式分解为m(m+1)，其中m和m+1中必有一个是偶数，因此m2+m一定能被2整除。5.若m为大于0的整数，则(m+1)2-(m-1)2一定是什么？A.3的倍数B.4的倍数C.6的倍数D.16的倍数答案：B.4的倍数解析：将式子展开，得到4m。因此，(m+1)2-(m-1)2一定是4的倍数。6.若，则等于什么？A.B.C.D.答案：D.解析：将式子展开，得到16m2。因此，等于16的倍数。7.计算：7ab2的值是多少？(28a2b2-21ab2)÷(4a2-3b)答案：A.4a2-3b解析：将分子分母都因式分解，得到7ab2=(7a)(b2)，(28a2b2-21ab2)÷(4a2-3b)=7ab2÷(4a2-3b)=(7a)(b2)÷(4a2-3b)=7ab2÷(4a2-3b)×a÷a=7b2÷(4a2-3b)×7a=49a÷(4a2-3b)×b2。由于分母为(4a2-3b)，因此可将分子中的a和分母中的4a2合并，得到49a÷(4a2-3b)×b2=49a×b2÷(4a2-3b)=4a2b2-3ab2÷(4a2-3b)=4a2-3b。8.下列各式中，从左到右的变形，是因式分解的是什么？A.2a-2b+1=2(a-b)+1B.(a-b)(a-b)=a-2ab+b2C.a(5x+y)=5ax+ayD.x(a-b)-y(b-a)=(x+y)(a-b)答案：B.(a-b)(a-b)=a-2ab+b2解析：将(a-b)(a-b)展开，得到a2-2ab+b2，因此可以将a2-2ab+b2因式分解为(a-b)(a-b)。9.算式99903+88805+77707之值的十位数字是什么？A.1B.2C.6D.8答案：D.8解析：将三个数相加，得到266515，因此十位数字为8。10.把代数式2x2-12x+18分解因式，结果正确的是什么？A.2(x-9)B.2(x-3)C.2(x+3)(x-3)D.2(x+3)答案：C.2(x+3)(x-3)解析：将2x2-12x+18因式分解，得到2(x-3)(x-3)，即2(x+3)(x-3)。11.下列各式是完全平方式的是什么？A.x2-x+1/4B.x2+2xy+1C.x2-4x+2D.x2-2x-1答案：A.x2-x+1/4解析：将x2-x+1/4化简，得到(x-1/2)2，因此x2-x+1/4是完全平方式。12.下列计算正确的是什么？A.x2x4=x8B.(x2)5=x10C.x2+x2=2x2D.(3x)2=9x2答案：B.(x2)5=x10解析：将(x2)5展开，得到x10，因此等式成立。13.已知10n=3，10m=4，则10n+m的值是什么？答案：10n+m=120解析：将10n和10m分别取对数，得到n=log103和m=log104。将n和m代入10n+m，得到103×104=120。14.分解因式：。答案：(a+b)(a-b)解析：将式子展开，得到a2-b2，因此可以将其因式分解为(a+b)(a-b)。15.现有一张边长为a的大正方形卡片和三张边长为b的小正方形卡片(a<b<a)，如图1，取出两张小正方形卡片放入“大正方形卡片”内拼成的图案如图2，再重新用三张小正方形卡片放入“大正方形卡片”内拼成的图案如图3。已知图3中的阴影部分的面积比图2中的阴影部分的面积大2ab-9，则小正方形卡片的面积是什么？答案：(a-b)2=4ab-9解析：将图2中的阴影部分的面积计算出来，得到a2-2ab。将图3中的阴影部分的面积计算出来，得到a2-2ab+3b2。因此，2ab-9=(a2-2ab+3b2)-(a2-2ab)=(3b2-2ab)，解得b2-2ab+9=0，即(b-a)2=9-4ab，因此小正方形卡片的面积是(a-b)2=4ab-9。16.(1)因式分解：-9a2b+12ab-4b=_____；(2)若m-11<0，则m2-22m+121=_____。答案：(1)-4b(3ab-4a+1)(2)0解析：(1)将-9a2b+12ab-4b因式分解，得到-4b(3ab-4a+1)；(2)将m2-22m+121因式分解，得到(m-11)2，因为m-11<0，所以m2-22m+121=0。3，则$m^2+2=\frac{m}{m}$。这个式子可以简化为$m^3+2$。17.对于正整数$m$，如果$m=pq$（其中$p\geqq$且$p$、$q$为整数），那么当$p-q$最小时，$pq$被称为$m$的“最佳分解”，并规定$f(m)=\frac{q}{p}$（例如：$12$的分解有$12\times1$，$6\times2$，$4\times3$，其中$4\times3$是$12$的最佳分解，因此$f(12)=\frac{3}{4}$）。关于$f(m)$，有以下判断：①$f(27)=\frac{1}{3}$；②$f(13)=\frac{11}{4}$；③$f(2018)=\frac{1}{2}$；④$f(2)=f(32)$。其中，正确判断的序号是$2,3$。18.化简：$6(7+1)^5+1=6\times8^5+1=2,985,984$。19.已知$a+b=2$，$ab=2$，求$\frac{1}{3}(ab+a^2b^2+ab^3)$的值为$\frac{10}{3}$。20.已知$x+y=5$，$xy=6$，则$x+\frac{y}{2}$的值等于$\frac{13}{2}$。21.已知$x^2+(m-1)x+25$是完全平方式，则$m$的值为$7$。22.若$a^2+b^2=19$，$a+b=5$，则$ab=-2$。23.填空：(1)$(4x^2-3x+6)\times\frac{1}{2}=2x^2-\frac{3}{2}x+3$。(2)$a(2-a)-2(a+1)=-(a-2)^2$。24.$x^2-x+\frac{1}{4}=(x-\frac{1}{2})^2$。25.化简：$[(a+2b)(a-2b)-(a+4b)^2]\div(4b)=\frac{-3a^2-8ab}{4b}$。26.阅读材料并解答问题：七年级第一学期课本中有这样一个思考题：“你能根据图1中的图形来说明完全平方公式吗？”说明如下：图1中的面积可以表示为$(a+b)^2$，图1中的面积又可以表示为$a^2+2ab+b^2$；所以这个图形说明了完全平方公式。除了完全平方公式可以用图形的面积来表示，实际上还有一些代数恒等式也可以用这种形式表示。(1)$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac$。(2)画一个边长为$a+b$的正方形，然后在它的四个角上各画一个边长为$a$或$b$的正方形，如图3所示，那么整个图形的面积就是$(a+b)^2$。27.已知$a$、$b$、$c$是$\triangleABC$的三边长，试判断代数式$(a^2+b^2-c^2)^2$与$4a^2b^2$的大小。由余弦定理，$c^2=a^2+b^2-2ab\cosC$，所以$(a^2+b^2-c^2)^2=(2ab\cosC)^2=4a^2b^2\cos^2C\leq4a^2b^2$，因为$\cosC\leq1$，等号成立当且仅当$C=0$，即$\triangleABC$是直角三角形。28.已知$a+b=5$，$ab=-2$，求下列代数式的值：(1)$a^2+b^2=21$；(2)$2a^2-3ab+2b^2=29$。29.已知有理数$a$、$b$互为相反数且$b\neq0$，$c$、$d$互为倒数，有理数$m$和$-1$在数轴上表示的点相距$4$个单位长度，求$|m|-1$。由于$a$、$b$互为相反数，所以$m$和$-m$在数轴上相距$4$个单位长度，因此$|m-(-1)|=4$，即$|m+1|=4$，所以$|m|=3$，$|m|-1=2$。30.计算：(1)$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$；(2)$aa+(-a)a=0$；(3)$(-x-y)-(x+y)=-2y$；(4)$(a-2b-3)(a+2b-3)=a^2-9$。31.先化简计算再求值：求3223（1）xy-2xy+xy的值，其中x-y=1，xy=2。解：化简得2xy=4，代入原式得3223（1）xy-2xy+xy=3xy=6。所以答案为6。解不等式组：解不等式组4x-7<5(x-1)和x-2/3≤3-3/2。将不等式组化简得-x<2和x≤7/3。因此解集为(-∞,2)和(-∞,7/3]，整数解为{x|-2≤x≤2,x=0,1,2}。32.分解因式：（1）-4a3b2+10a2b-2ab=-2ab(2a-5a2+b)；（2）-7ax+14axy-7ay=-7a(x-y)(1-2y)；（3）25(a-b)-16(a+b)=9(a-b)(a+b)；（4）(x+y)-4xy=(x-y)2；（5）a4-8a2b2+16b4=(a2-4b2)2；（6）a2+2ab+b2-1=(a+b-1)(a+b+1)。33.阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：1+x+x(x+1)+x(x+1)2=(1+x)[1+x+x(x+1)]=(1+x)(1+x)=(1+x)（1）上述分解因式的方法是，共应用了3次。（2）若分解1+x+x(x+1)+x(x+1)+…+x(x+1)n的结果是(1+x)(1+x+…+x(n+1))，其中n为正整数。（3）分解因式：1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)n的结果是(1+x)(1+x+…+x(n+1))(1+x+…+x(n+2))，其中n为正整数。34.计算：（1）102×98=10000-4=9996；（2）(2a+b)(2a-b)=4a2-b2；（3）(x-1)-(x+4)(x-4)=-x2+5x+15；（4）(-xy2/2x2y)÷(x6y6/4)=-1/8x3y4。35.先因式分解，再计算求值：(2x-1)2(3x+2)+(2x-1)(3x+2)2-x(1-2x)(3x+2)，其中x=1。化简得-2x3-2x2+4x+9，代入x=1得答案为9。36.计算：（1）(15x2y-10xy2)÷5xy=3xy-2y；（2）(2x-1)2-(2x+5)(2x-5)=-24x-24。将所求式子展开并整理，得到一个关于x的二次方程，解出x的值即可得到答案．【详解】将所求式子展开并整理得到：x2-20x+100=121即：x2-20x-21=0解得：x=11或x=-9故答案为：11或﹣9．【点睛】本题考查了二次方程的解法，需要掌握求根公式或配方法等解法．本文介绍了因式分解-提公因