中国石油大学近三年高数期末试题及答案

22222013—2014学年第一学期《高等数学〔2-1》期末考试A卷〔工科类〕参考答案及评分标准〔共5小题，每题3分，共计15分〕“√”，假设正确，请给出证明，假设不正确请举一个反例进展说明.1．假设f(x)在(a,)无界，则limf(x).〔 〕-------------〔1分〕xf(x)xsinx，在1limxsinx.-------〔2〕x2．假设f(x)在x点连续，则f(x)在x点必可导.〔 〕-------------〔1分〕0 0例如：f(x)x，在x0点连续但f(x)x 在x0不行导.------〔2分〕3．假设limxyn n

0，则limxn

0或limyn

0〔 〕〔1〕xn

:1,0,1,0,

y :0,1,0,1,n有limxyn n 分〕

0limxn

n

〔24．假设f(x)0，则f(x)在x 点必取得极值.〔 〕-------------------〔10 0分〕例如：f(x)x3，f(0)0但f(x)x3在x0点没有极值.---------〔2分〕5．假设f(x)在[a,b]有界则f(x)在[a,b]必可积.〔 〕-------------〔1分〕1当x为有理数，例如：D(x)

[01D(x在[01〔2〕 0,当x.〔共3小题，每题7分，共计21分〕f(x)xcotx的连续点，并推断其类型.解f(x)xcotx的连续点为：k,k0,1,2, (3分)当k0,即x0时,limf(x)limxcotxlimxcosx1x0 x0 x0

sinxx0f(x)xcotx的第一类可去2分)xk,k1,2,时,limf(x)limxcotxlimxk xk xk

xcosx,sinxxk,(k1,2,f(x)xcotx的其次类无穷连续点.---------(2分)limx1

1x(1t2)xdtx2 0

解 lim x(1t2)etxdtlim 0

〔3〕xx2 0

x

x2ex

lim

(1x2)ex x(2xx2)ex (3lim

1. x2xx2 〔1〕xyyxyyx

(x0,y0yy(x，求

d2y.dx2xy解1xy

两边取对数，得 1lny1lnx，yxx yyx即 ylnyxlnx ， (2分)x(1lnydy

1lnxdy

1lnx

，-------(2dx dx 1lny分)d2ydx2

dxdx

dy x y dx(1lny)2

----------------------------(2 y(1lny)2x(1lnx)2 .----------------------------------------xy(1lny)3--------(1〔共3小题，每题7分，共计21分〕求不定积分sinxcos3xdx.1sin2x解sinxcos3xdxsinx(1sin2x)d(sinx) 〔2分〕1sin2x 1sin2x〔令sinxt〕 =t(1t2)dt=

t

2t dt

------------------〔2〕1t2t2 1

1t2 ln(1t2C sin2xln(1sin2xC 〔3〕2 2设ln2x 是函数f(x)的一个原函数，求解

xf(x)dx.(ln2x)2lnxf(x) ，x (2f(x)dxln2xC ， (2分)xf(x)dxxdf(x)xf(x)f(x)dx2lnxln2xC. ----(3求定积分

4(x3sinx4cos72x)dx.4 解 4 (x3sinx4cos72x)dx 4 分)

x3sinx4dx

4cos72xdx4

-------(14044 〔2〕

cos72xdx 4240 〔2〕

cos72xdx 〔 令 2xt 〕0

cos7tdt 〔1〕

6!. 7! 〔1〕〔共2小题，每题6分，共计12分〕一个长方形的长l以2cm/sw以3cm/s12cm5cmyy2

-----------------------------------(2两边关于t求导，得2y

dy2ldl2wdw，dt dt dt即 ydy

ldl

wdw 〔1〕dt dt dt(212212252 2, 3,l12,w5,ydt dt

13,代入〔1〕式，得对 角 线 的 增 加 率 ：

dy3dt

〔 cm/s 〕 . (2xct2做直线运动，该物体所受阻力与速度平方成正比，比例系数为1，x0xa时抑制阻力所做的功.解 v(t)dx2ctdt (2分)f(x)k4c2t24c2t24cx , (2W

a4cxdx0

＝ 2ca2 . (2分)〔此题10分〕f(x)x5arctanx，试争论函数的单调区间，极值，凹凸性，拐点，渐近线解 函数的定义域为(,).f(x)1

5 1x2

1x2

，令f(x)0得驻点x2. (1f(x) 10x f(x)0x0.1列表争论函数的单调区间，极值，凹凸性，拐点：x(x(,2)2(2,0)0(0,2)2(2,)f(x)00f(x)0极大值25arctan2微小值25arctan2yf(x)拐点(0,0) (6lim

1 x x x x5lim[f(x)ax]lim(5arctanx) ,1 x

1 x 2lim\l“_TOC_250000“

f(x)lim(15arctanx)1,2 x x x x5lim[f(x)a2 x

lim(5arctanx) ,x 2渐 近 线 为 ：5yx分)

. (22〔共2小题，每题7分，共计14分〕试求曲线

y xex

(x0)

xx

轴旋转所得到的伸展到2无穷远处的旋转体的体积.2解：Vy2dxxexdx 0 0 〔4〕(x1)ex

lim(x1)ex0 xlimx

x10 ex-----〔3〕y5y4y32x的通解.解

5r40特征根：r1

4,r2

12对应齐次方程的通解为：yCe4x1

Cex (22分)而0不是特征根，可设非齐次方程的特解为y*

AxB1代入原方程可得，A分)

1 11 x 11 ,B . y* .-------------------- 2 8 2 8x 11故所要求的通解为yC1

Cex2

.--------------------------------2 8(1〔此题7分〕表达罗尔(Rolle)中值定理，并用此定理证明：方程a1

cosxa2

cos2xan

cosnx0在(0,)至少有一个实根，其中a,a ,a 为常数.1 2 n(Rolle)中值定理：设f(x)在[ab](ab)可导，f(a)f(b)(a,b) ， 使 得(3分)令 f(x)a

sinx

asin2x2

asinnx n 1 2 n (2在[0,]上连续，在(0f(x)a1

cosxa2

cos2xan

cosnx，f(0)f()0(0,),使得f() a1

cosa2

cos2an

cosn0，即方程a1

cosxa2

cos2xan

cosnx0在(0至少有一个实根.----(2分)各章所占分值如下：第一章函数与极限13%；第二章一元函数的导数与微分16%；第三章微分中值定理与导数的应用20%；第四章不定积分14%；第五章定积分及其应用30%.第六章 常微分方程 7%.2014—2015《高等数学〔2-1》期末考试A参考答案及评分标准各章所占分值如下：第一章函数与极限16%；第二章一元函数的导数与微分16%；第三章微分中值定理与导数的应用14%；第四章不定积分15%；第五章定积分及其应用26%.第六章常微分方程13%.12本题得分〔共3小题，每题4分，共计1212本题得分题后的括号打“√”，假设正确，请给出证明，假设不1．极限limsin1

不存在. 〔 √ 〕x0 x 〔2〕1 1 1证f(x)sinx

xn

，y 2n n

2n2

，(n1,2, )limx 0，limyn n n

0，但limf(x

)limsin

1 limsin2n0，n

n

x nnlimf(yn

)limsin1n yn

limsin(2n)1，n 2由 海 涅 定 理 ， limsin1x0 x

不 存 在 .〔2〕2yf(x)(x0

,f(x0

))点处存在切线，则f(x)x0

点必可导.〔 〕3x 〔23x3x3x

在(00x0y

x0处不行导.〔2〕f(x)在[ab上连续且下凸，在(ab二阶可导，则x(a,b)有f(x)0. 〔 〕 〔2〕例f(x)x4在[23上连续且下凸，但f(0)0..〔2〕18本题得分〔共3小题，每题618本题得分nnn求极限lim(n

1)sin(n!).nn解 lim(nnn

sin(n!)1 〔3〕1n1nnn

1)sin(n!)0. 〔3〕limx

x(1t4)etxdt0 .x4解limx

x(1t4)etxdt0x4

limx

x(1t4)etdt0x4ex

3〕lim

(1x4)ex

lim

1.----------------------------------x(4x3x4)ex-------〔3〕

x4x3x4求极限lim( n n

n ).nn212

22

n2n2解lim( n n n )nn2

12

22

n2n2 1 1 n

i1

1i2 nn

〔3〕1 dx

arctanx 1

.-------------------------------------------01x2 0 4 〔3〕18本题得分〔共3小题，每题618本题得分11．fx

1ex112ex

的连续点并推断其类型.解 x0 是

f(x)

的 间 断 点 ，〔3〕又lim

f(x) lim

11ex

1，lim

f(x) lim

11ex

1，x0

x012e1

2 x0

x012e1xx x0 是xx

f(x)

的 跳 跃 间 断 点 .〔3〕ex21 2．设f(x) ,x

，求f(x 0, x0解x0时，f

(x)

ex22xx(ex

2ex2

ex2

-----------------x2 x2〔3〕x0f(0)lim

f(x)f(0)lim

ex21xx0lim

x0ex21lim

x02xex2

x1，x0 x2

x0 2x ex21f(x)ex

,x0, x2 1, x0.〔3xln(sint) dy d2y设方程 确定y为x的函数，求 与 .ycosttsint

dx dx2解 dyy(t)

tsint ,dx x(t)

〔3〕

ddy

dtsint

dtsintdt

sinttcost

sinttanttsint.dx2

dxdx dx

dt dx

x(t) 〔3〕18本题得分〔共3小题，每题618本题得分求不定积分

ex2lnxdx.解ex2lnxdxex

elnxdxex2xdx-----------------------〔3〕1ex

d(x2)

1ex2

C. 2 2 〔3〕求不定积分xcos2解

xdx.xcos2

1cos2x2

dx -----〔1〕2

1xcos2xdx21 x21xd(sin2x) 14 411xsin211xsin2x144411xsin2x1448 x2

sin2xdx -----〔2〕

x2

cos2xC.------------------------------------〔1〕f(x)在[11上连续，求定积分11

{[f(x)f(x)]sinx

1x1x2解1 1111

{[f(x)f(x)]sinx1x2[f(x)f(x)]sinxdx1x211x2

11x2---〔1

分〕 10

dx 〔上半单位圆的面积〕 〔3〕24

.-----------------------------------------------------------2 〔2〕8分本题得分五〔此题8分〕设由曲线ylnx 与直线xey0 及x8分本题得分求D的面积S4分〕Dxe旋转所得旋转体的体积V.〔4〕解曲线ylnx与直线xey0的交点为(e,1)， 〔1分〕(1)S

1(eyey)dy xyxyxey1ylnxeyDo1e[ey

y2 1e]20 x e 1 2 〔3〕〔VVV1

2 〕1(eey)2dy1(eey)2dy 〔2〕0 0e21(1y)2dy1(e22eeye2y)dy0(1y)33(1y)33

01(e2y2eey10

e2y)120e23

1 e2 (2e ) (5e212e3).---------------------2 2 6〔2〕12本题得分〔共2小题，每题612本题得分R的半球形蓄水池中已盛满水(水的密度为),求将池中水全部抽出所做的功.解过球心的纵截面建立坐标系如图,则 半 圆 方 程 为x2y2R2 〔1〕oxxdxRxx2y2R2x[0,oxxdxRxx2y2R2dWg(R2x2)dxx 〔其中g为重力加速度〕g(R2xx3)dx分〕Wg

R((R2xx3)dx0 4-------〔2〕设有质量为m的降落伞以初速度v0开头降落，假设空气的阻力与速度成正比〔比例系数为k0解设降落伞下降的速度为v(t)，则依据牛顿其次运动定律，有dvm mgkvdt

， 其 中 g 为 重 力 加 速 度 ， 〔2〕分别变量，得

dv dt ，mgkv m两端积分

dt，mgkv m1lnmgkv tC ， lnmgkv ktkC，k m 1 m 1kt mgkvCem

〔 其 中

Ce

kC1 ， mgkv0 〕 〔2〕由v(0)v，代入上式，得Cmgkv，0 0故vmg

mg)ekt. mk 0 km-----〔2〕6本题得分〔此题6分〕求微分方程y5y6y6x210x6本题得分解r2

5r60r1

2,r2

3.对 应 齐 次 方 程 的 通 解 为 ：yC1

e2xC2

e3x. 〔3〕而0不是特征根，可设非齐次方程的特解为y1

Ax2

BxC，----------------〔1〕y2AxBy2A,代入原方程得，1 12A5(2AxB)6(Ax2BxC)6x210x2，6Ax2(6B10A)x2A5B6C6x210x2,6A6,比较同次幂的系数，得6B10A10,2A5B6C2.解之得，A1, B0,C0. y x2.1故 所 要 求 的 通 解 为yC1e2xC2e3xx2. 〔2〕8本题得分〔此题8分设L(x,y)(x8本题得分y轴上的截距，且L经过点(试求曲线L的方程；

1,0).2L位于第一象限的一条切线，使该切线与L以及两坐标轴所围图形的面积最小.解〔1〕L上点(x,y)处的切线方程为：YyyXx，x2y2X0y轴上的截距：Yx2y2由题意，得分〕

yxy，即

ydy，(x0) 〔211 y2x1u2令yu1u2

dx

, (x0) du

dx

, (x0)xln(u

x x1u2)lnxlnCx(u 1u2)C1u2

11u2代入并化简，得xx2y2y CL经过点(10)x1y0，得Cx2y22 2 2xx2y2故 曲 线 L 的 方 程 为 ： y1

, 即2y x2 〔2〕41〔2〕曲线L：y x2在点(x,y)处的切线方程为：Yyy(Xx)，141 1 1即Y( x2)2x(Xx)，亦即Y2xXx2 (0x )，4 4 2x21切线与 x 轴及 y 轴的交点分别为：( 4 ,0) ，2x1(0,x2 ). 〔2〕141(x2 )211 4 1 1所求面积S(x) 2( x2)dx，(x0)2 2x 0 41 1S(x)1

4x2(x2

)2(x2 )24 4

1 (x2

1)(3x2

1)，(x0)4 x2 4x2 4 4令S(x)0，得S(x)符合实际意义唯一驻点：x 3，6即x 3为S(x)在(0,1

)的最小值点，故所求切线方程为：6 2Y2

3X

31 , 即Y

6 36 4X1. 〔2〕AA卷2015—2016《高等数学〔2-1答案及评分标准专业班级姓 名学 号开课系室 根底数学系考试日期 2016年1月11日题题号一二三四五六七八总分此题总分值1218181881295此题得分阅卷人留意事项：1．请在试卷正面答题，反面及附页可作草稿纸；答题时请留意书写清楚，保持卷面清洁；100分；试卷本请勿撕开，否则作废；812本题得分〔共3小题，每题4分，共计12分〕推断以下命题是否正确？在题后的括号打“12本题得分函数f(x)在(a,b)的驻点肯定是极值点. 〔 〕 〔2〕fx)x3x0f(00x0x0fx)在(-1,1)的极值点．分〕

----------------------------〔22 ． 反 常 积 分

1 dx

1是 发 散 的 .1〔 √ 〕

1x 〔2〕证明：由于1

1dx=01dx+11dx，又

11dx=lnx1

limlnx，故反常积分1x

1x 0x

0x

x011 dx1

发 散 .1x 〔2〕f(x)、g(x)x0x0f(x)g(x)的高阶无穷小，x0x0

f(t)sintdt是xtg(t)dt的高阶无穷小. 〔 √ 〕0 〔2〕x0f(x)g(x)的高阶无穷小，即limx0

f(x)0，则g(x)xlim 0

f(t)sintdt

f(x)sinx0x0x

f(t)sintdt是xtg(t)dt的高x0

xtg(t)dt0

x0

xg(x) 0 0阶 无 穷 小 . 〔2〕18本题得分〔共3小题，每题618本题得分求极限limx0

x2(et21)dt0 .x2(1cosx)2x0分〕

x2(et21)dt0x2(1cosx)2

4x2(et2=lim 0x0 x6

1)dt

-------------〔1=lim4(ex41)2xx0 6x5

-------------〔3〕=lim8x5x06x5

4. -------------〔2〕3xacos3t,

dy d2y求由参数方程 所确定的函数的一阶导数 及二阶导数 .yasin3t解 ：

dxdydy=dtdx dxdt

dx23asin2tcost3acos2tsint

tant, 〔3〕d(dy)

dt dx

sec2t

sec4t

. ------------------------dx2

dx dx

dx 3acos2tsint dt〔3〕

aarctanx，求dy〔其中abb0〕.x2x2b2yln(xa

a x ln(x2 b2) arctan ，则 -----------------〔1分〕 b b1y 1

x a

b =

+

故 -----------------〔4分〕1xa x2b2 b x21b

xa x2b2 dy= 1

ax

dx. -----------------〔1〕xa x2b218本题得分〔共3小题，每题618本题得分fx 1．设函数fx 1．设函数 x

x0,x0处可导，试确定常ax,

x0ab的值.f(x)x0f(x)x0处连续，又-----------------〔1分〕f(0+)limx2sinx0+

lim(axbb，故x x0-由f(0)f(0)f(0)，得b0. -----------------〔2分〕f(0)lim

axa，f(0)lim

x2sin1x

0， -----------------〔2 x0 x x0 x分〕由f(0)f(0)，得a0. -----------------〔1 分〕x求导，得3x23y2ycos(y)(x1)sin(yx求导，得3x23y2ycos(y)(x1)sin(y)y0，-----------------〔3分〕又当x1时，解得y2，代入上式得y| 1，故-----------------〔2分〕x1y23(x1)，即3xy10.-----------------〔1分〕x1 3yax3bx2cxd中的abcdx2处曲线有水平切线，(1,10)为拐点，且点(2,44)在曲线上.x2处曲线有水平切线，(1,10)为拐点，0， -----------------〔2分〕x2 x1y3ax22bxcy6ax2b，可得12a-4bc=06a2b0， -----------------〔1〕又由于(1,10)为拐点，且点(2,44)在曲线上，可得abcd10,8a4b2cd44，-----------------〔2〕18本题得分联立解得a1,b3,c24,d16. -----------------〔1分〕四〔共3小题，每题618本题得分设

xf(x)dxarcsinxC，求不定积分 dx .f(x)1x2解：不定积分两边求导得：xf1x2

1x 1x2，即fx 1x2dx故f(x)

=x 1x2dx1(1x2)3232

C.

〔3〕-----------------〔3〕4x22 4x2求定积分 x2

dx.2 1x6 解：由定积分的对称性质，可得

2 x2sin3xdx=0，-----------------〔2〕2 1x64x24x22

dx=22x20

dxx2sint，则dx2costdt，4x2 〔4x2x0t0x2t，故24x4x2

1 3 x20

dx=162sin2tcos2tdt162(sin2tsin4t)dt=16( ) ,0 0 2 8 2 〔2分〕故22分〕

sin3x4x2x24x21x6xax

dx=2. 〔1lim 2xe2xdx，求a的值.xxa

a axalim1 axax

x0 x

ea解由于lim = e2a， -------------〔3分〕xxa

xa ealim1aa

xx0 x 2xe2xdx=a

xde2xxe2xa

e2xdxa1 1limxe2xae2a e2x (a )e2a，

-------------〔2x

2 a 2分〕分〕

1 1=1，得a= . -------------〔12 28本题得分〔此题8分〕设D为曲线yex与直线x1，x轴、8本题得分D的面积S4分〕Dy轴旋转一周所得的旋转体体积V.〔4〕〔〕S=1exdxe0

1e1. -------------〔4〕02〕V=1xexdxe0

1exdx. -------------〔4分〕10 01或Veeln2ydye(yln2ye2eylny1dy)1 1 1 yeeelnydyylnyeey1dy

2.1 1 1 y12本题得分〔共2小题，每题612本题得分10m和6m，高20m，较长的底边与水面相齐，计算闸门的一侧所受到的水压力，其中水的密度为g.解：建立坐标系〔原点在顶端中点，x轴竖直向下，y轴水平向右，设x为水深，选x为x[