关于一阶方程的一个新解

关于一阶方程的一个新解

单元类型可微函数关于微分解的一阶方程：。M(x,y)dx+N(x,y)dy=0(1)若(1)为全微分方程,则方程易于求解。若(1)不是全微分方程,即∂Μ∂y≠∂Ν∂x,这时,可以考虑借助积分因子来求解方程。现假设存在这样的连续可微函数μ(x,y)≠0,使得,显然,(1)与(2)同解。我们知道:方程(2)是全微分方程的充要条件为:∂(μΜ)∂y=∂(μΝ)∂x,即Ν∂μ∂x-Μ∂μ∂y=(∂Μ∂y-∂Ν∂x)μ(3)我们对(3)的求解就是对(1)的求解。可见找到这样的连续可微函数μ(x,y)≠0,有助于求解微分方程的解。下面我们在一阶微分方程的范围内来研讨求解积分因子的方法。1ydx+ydxxyn的积分因子有时,我们用观察法可以得出积分因子,如我们熟悉的微分方程ydx-xdy=0有四种不同形式的积分因子,它们是:-1x2、1y2、-1xy\,-1x2+y2,它们作用到方程后,得到的全微分方程分别是:xdy-ydxx2=d(yx)=0\,ydx-xdyy2=d(xy)=0xdy-ydxxy=d(lnyx)=0、xdy-ydxx2+y2=d(arctanyx)=0同时还有:ydx+xdy=0的积分因子是:1(xy)n,得到的全微分方程是:xdy+ydx(xy)n=d[-1(n-1)(xy)n-1]以及ydy+xdx=0的积分因子是:1(x2+y2)n,得到的全微分方程是:ydy+xdx(x2+y2)n=d[-12(n-1)(x2+y2)n-1]掌握和利用它们可以提高解题效率。让我们来看几道例题。例1:求解微分方程(y-xy2)dx+(x2y2+x)dy=0解:原方程可改写为:(ydx+xdy)+(x2y2dy-xy2dx)=0由于1(xy)2是微分方程的积分因子于是有:ydx+xdy(xy)2+-xy2dx+x2y2dy(xy)2=0故上式可改写为:d(-1xy)=1xdx-dy两边积分得:-1xy=ln|x|-y+C例2:求解微分方程(x-y2)dx+2xydy=0解:由于-y2dx的原函数是:U1=-xy2,2xydy的原函数是:U2=xy2显然U1=-U2,这时在方程两边乘因子1x2原方程可凑成d(y2x+lnx)=0;显然1x2是积分因子通积分为:y2x+lnx=C我们得出结论:形如[A(x)+P(y)]dx+Q(x,y)dy=0的微分方程,如果P(y)dx,Q(x,)dy的原函数互为相反数。此时1x2为其积分因子,原方程可凑成恰当方程。2偏微分方程的积分因子2.1定理2.1.1设方程:M(x,y)dx+N(x,y)dy=0(1)存在形如:μ(x)、μ(y)、μ(x±y)、μ(xy)、μ(x2+y2)、μ(yx)的积分因子的充要条件有:(1)方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0(1)存在仅与x有关的积分因子:μ(x)⇔φ(x)=1Ν(∂Μ∂y-∂Ν∂x)‚φ(x)为仅与x有关的函数。(2)方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0(1)存在仅与y有关的积分因子:μ(y)⇔φ(y)=-1Μ(∂Μ∂y-∂Ν∂x)‚φ(y)是仅与y有关的函数。(3)方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0(1)有形如μ(x±y)的积分因子:(μ是x±y的函数)φ(x+y)=∂Μ∂y-∂Ν∂xΝ-Μ‚φ(x+y)是仅与x+y有关的函数。φ(x-y)=∂Μ∂y-∂Ν∂xΝ+Μ‚φ(x-y)是仅与x-y有关的函数。(4)方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0(1)有形如μ(xy)的积分因子:(μ是xy的函数)⇔φ(xy)=∂Μ∂y-∂Ν∂xΝy-Μx‚φ(xy)是仅与xy有关的函数。(5)方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0(1)有形如μ(x2+y2)的积分因子:(μ是x2+y2的函数)⇔φ(x2+y2)=∂Μ∂y-∂Ν∂x2Νx-2Μy‚φ(x2+y2)是关于x2+y2的函数。⇔φ(x2-y2)=∂Μ∂y-∂Ν∂x2Νx+2Μy‚φ(x2-y2)是关于x2-y2的函数。(6)方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0(1)有形如μ(yx)的积分因子:(μ是关于yx的函数)⇔φ(yx)=-∂Μ∂y-∂Ν∂xΝy1x2+Μ1x‚φ(yx)是关于yx的函数。证明下面我们证明充要条件(6),其他五个条件的证明类似。设积分因子μ(x,y)是关于yx的函数,注意到:∂μμx=∂μ∂(yx)⋅y⋅(-1x2),∂μ∂y=∂μ∂(yx)⋅1x从而积分因子μ(x,y)满足的偏微分方程有如下形式:Ν∂μ∂(yx)⋅y⋅(-1x2)-Μ∂μ∂(yx)⋅1x=(∂Μ∂y-∂Ν∂x)μ于是可得的一阶线性齐次微分方程如下:dlnμd(yx)=-∂Μ∂y-∂Ν∂xΝ⋅y⋅1x2+Μ⋅1x(4)(4)式的左边只与yx有关,其右边也只与yx有关。即:φ(yx)=-∂Μ∂y-∂Ν∂xΝ⋅y⋅1x2+Μ⋅1x可见,微分方程有形如μ(yx)的积分因子的必要条件就得到了。反过来说,若φ(yx)是关于yx的函数,且μ(x,y)是方程(4)的解。显然μ(x,y)是方程(3)的解,即是方程(1)的积分因子。由(4)可解出:μ(yx)=e∫φ(yx)d(yx)2.2当∂Μ∂y-∂Ν∂x=Νf(x)-Μφ(y)时,我们来看一看微分方程:M(x,y)dx+N(x,y)dy=0的积分因子。实际上,还是在求解偏微分方程:Ν∂μ∂x-Μ∂μ∂y=(∂Μ∂y-∂Ν∂x)μ或Ν∂lnμ∂x-Μ∂lnμ∂y=∂Μ∂y-∂Ν∂x(5)把∂Μ∂y-∂Ν∂x=Νf(x)-Μφ(y)代入(5)式得到:Ν∂lnμ∂x-Μ∂lnμ∂y=Νf(x)-Μφ(y)(6)可以适当选取g(y)使其满足:∂lnμ(x,y)∂y=∂[∫f(x)dx+g(y)]∂y=φ(y)。从而应取:g′(y)=φ(y)即g(y)=∫φ(y)dy+C,故当取C=0时,lnμ(x,y)=∫f(x)dx+∫φ(y)dy。解得积分因子:μ(x,y)=e∫f(x)dx+∫φ(y)dy3阶线性齐次微分方程的积分因子(1)若一阶微分方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0中M(x,y),N(x,y)以及∂Μ∂y‚∂Ν∂x的关系式满足以上六个充要条件之一时,则此方程有形如:μ(x)、(μy)、μ(x±y)、μ(xy)、μ(x2+y2)、μyx的积分因子。并且方程的积分因子μ(xy)都可由一阶线性齐次微分方程dlnμ(x,y)dz=φ(z)求得(其中φ(z)是z的函数)。z可取:x、y、x±y、xy、x2+y2、yx,由此可得μ(z)=e∫φ(z)dz。这种方法可以归结为求积分因子的公式法。(2)若一阶微分方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0满足∂Μ∂y-∂Ν∂x=Νf(x)-Μφ(y),则积分因子:μ(x,y)=e∫f(x)dx+∫φ(y)dy。例4:求解微分方程(x2y3+y)dx+(x3y2-x)dy=0的积分因子。解:由于∂Μ∂y-∂Ν∂x=2‚Ν(x,y)y-Μ(x,y)x=-2xy观察可得:∂Μ∂y-∂Ν∂xΝ(x,y)y-Μ(x,y)x=-1xy是关于xy的函数。故原方程有积分因子:μ(x,y)=e∫-1xyd(xy)=-1xy我们看到:求解积分因子时,需要判断M(x,y),N(x,y)以及它们的偏微分是否满足以上几种关系。若满足,积分因子很快就能得到,所求的微分方程的通积分也就得解了。4y3xxy2dy定理如果μ=μ(x,y)是微分方程(1)的一个积分因子,使得:μM(x,y)dx+μN(x,y)dy=0的左边成为dU,Φ(z)是z的任意可微函数,则μΦ(U)也是方程(1)的一个积分因子。下面我们通过一道例题来体会一下它的思想。例5:求解微分方程y3dx+2(x2-xy2)dy=0解:原方程可改写为:(y3dx-2xy2dy)+2x2dy=0前一组满足:1Ν(∂Μ∂y-∂Ν∂x)=-52x,且仅与x有关故有积分因子:x-52和通积分:y3x-32=C因而有更一般的积分因子:x-52Φ1(y3x-32)后一组显然有积分因子:1x2和通积分:y=C因而有更一般的积分因子:1x2Φ2(y)为了使关系式x-52Φ1(y3x-32)=1x2Φ2(y),只须取Ф1(y3x-32)=(y3x-32)-13=y-1x12,Ф2(y)=1y如此可知原方程有积分因子:1x2y,且1x2y[y3dx+2(x2-xy2)dy]=y2dx-2xydyx2+2ydy=-d(y2x)+2d(ln|y|)=0积分即得:-y2x+2ln|y|=C此外,原方程还有解x=0和y=0.5两种特殊方程的积分因子的推理方法5.1xmm1,x,y我们做代换y=μ(x,y)x,由于M(x,y),N(x,y)的齐次性,可知:M(x,y)=M(x,μ(x,y)x)=xmM(1,μ(x,y));N(x,y)=xmN(1,μ(x,y))此外还有dy=xdu+udx一起代入M(x,y)dx+N(x,y)dy=0得:xm{[M(1,μ)+N(1,μ)μ]dx+xN(1,μ)dμ}=0要把该方程变量分离,只要在等式两边乘以积分因子:μ(x,y)=1xm+1[Μ(1,μ)+μΝ(1,μ)]=1xΜ(x,y)+yΝ(x,y)5.2转化积分因子对于这种形式的微分方程,在此,我们给出其积分因子的形式。μ(x,y)=1φ(x,y),其中φ(x,y)=[f1(xy)-f2(xy)]xy≠0可以证明:μ(x,y)是方程yf1(xy)dx+xf2(xy)dy=0的积分因子。如果μ(x,y)是方程yf1(xy)dx+xf2(xy)dy=0的积分因子,那么,1φ(x,y)[yf1(xy)dx+xf2(xy)dy]=0对上式来说:它应该是全微分方程,现在证明它是全微分方程。因为Μ(x,y)=1φ(x,y)yf1(xy)Ν(x,y)=1φ(x,y)xf2(xy)所以∂Μ∂y=[f1(xy)+y∂f1(xy)∂y]φ(x,y)-f1(xy)y∂φ(x,y)∂yφ2(x,y)=f12xy-f12xy+xy2f1∂f1∂y-xy2f2∂f1∂y-f21xy+f1f2xy-f1xy2∂f1∂y+f1xy2∂f2∂yφ2(x,y)=xy2(f1∂f2∂y-f2∂f1∂y)φ2(x,y)∂Ν∂x=[f2(xy+x∂f2(xy)∂x]φ(x,y)-f2(xy)x∂φ(x,y)∂yφ2(x,y)=-f22xy+f1f2xy+x2yf1∂f2∂x-x2yf2∂f2∂x+f22xy-f1f2xy-f2x2y∂f1∂x+f2x2y∂f2∂xφ2(x,y)=xy2(f1∂f2∂x-f2∂f1∂x)φ2(x,y)我们知道齐次方程有性质:x∂f(xy)∂x=y∂f(xy)∂y。所以,立刻得到关系式:∂Μ∂y=∂Ν∂x,即μ(x,y)是方程的积分因子。在解题过程中,如遇到以上几种有特殊条件限制的微分方程应该马上想到它们积分因子的形式。例6:求解微分方程xy2dx+(2x+x2y)dy=0的通积分。解:x