有限单元法复习参考题

《有限单元法》复习参考题一、简答题：1、简述应用有限单元法解决具体问题的要点。（1）将一个表示结构或者连续体的求解域离散为若干个子域（单元），并通过他们边界上的结点相互结合为组合体。（2）用每个单元内所假设的近似函数来分片地表示全求解域内待求的未知场变量。而每个单元内的近似函数由未知场函数（或及其导数，为了叙述方便，后面略去此加注）在单元各个节点上的数值与其对应的插值函数来表达。（3）通过和原问题数学模型（基本方程、边界条件）等效的变分原理或者加权余量法，建立求解基本未知量（场函数的结点值）的代数方程或者常微分方程组。2、等效积分形式和等效积分“弱”形式的区别何在？为什么等效积分“弱”形式在数值分析中得到更多的应用？在很多情况下对微分方程的等效积分形式进行分部积分可以得到等效积分的弱形式，如下式JcYu）D（u）dQ+jET（G）F（u）dr=O,其中C、D、E、F是微分算子。像这种逋过适当提高对任意■函数u和J的连续性要求，以降低对微分方程场函数u的连续性要求所建立的等效积分形式称为微分方程的等效积分“弱”形式。值得指出的是，从形式上看“弱”形式对函数u的连续性要求降低了，但对于实际的物理问题却常常较原始的微分方程更逼近真正的解，因为原始微分方程往往对解提出了过分的要求。所以等效积分“弱”形式在数值分析中得到更多的应用。3、什么是Ritz（里兹）方法？其优缺点是什么？收敛的条件是什么？基于变分原理的近似解法称为Ritz（里兹），解法如下：a/7（u） ▲ a/7（u） ▲ Ktat=Ft——^=0,等 〜〜 〜网3）求解线性代数方程组一＞'—Au的近似解1）假设近似解：幺ug=£—一—3为待定参数，满足强制边界条件.2）将包代入中。泛函//（«）的极值问题（求函数U）,转化为求多元（a,...... ）函数的极值问题。〜〜优缺点：一般来说，使用里兹方法求解，当试探函数族的范围扩大以及待定参数的数目增多时，近似解的精度将会提高。局限性：（1）在求解域比较复杂的情况下，选取满足边界条件的试探函数，往往会产生难以克服的困难。（2）为了提高近似解的精度，需要增加待定参数，即增加试探函数的项数，这就增加了求解的复杂性，而且由于试探函数定义于全域，因此不可能根据问题的要求在求解域的不同部位对试探函数提出不同精度的要求，往往由于局部精度的要求使整个问题求解增加许多困难。收敛的条件：①试探函数N「N”...，Nn应取自完备函数系列，②试探函数N「N?,...,Nq应满足Cm_1连续性要求。4、什么是最小便能原理？该原理在有限单元分购中的作用是什么？对场函数的试探函数有什么要求？如此公式所示Blip=0,Blip是系统的总位能，它是弹性体变形位能和外力位能之和。该式表明，在所有区域内连续可导的并在边界上满足给定位移条件的可能位移中，真实位移使系统的总位能取驻值。在所有的可能位移中，真实位移使系统总位能取得最小值，因此6rlp=0所表达的称为最小位能原理。利用最小位能原理求得位移近似解的弹性变形能是精确解变性能的下界，即近似的位移场在总体上偏小，也就是说结构的计算模型显得偏于刚硬。要求：最小位能原理的试探函数-位移，应事先满足儿何方程和给定的位移的边界条件。5、有限单元法中单元的住移模式为什么通常采用多项式作为近似函数？选择广义坐标有限元位移模式的一般原则是什么？因为多项式运算简便，并且随着项数的增多，可以逼近任何一段光滑的函数曲线，多项式的选择应由低次到高次。1）大多数函数可用泰勒级数展开，根据需要取前几项逼近真实的位移函数解；2）多项式函数可保持各向同性，不偏惠某一坐标方向；3）多项式函数便于积分和微分，使有限元公式简单、直观。4）多项式函数很容易满足收敛准则。一般原则：（1）广义坐标是由结点场变量确定的，因此它的个数应与结点自由度数相等。（2）选取多项式时，常数项和坐标的一次项必须完备。（3）多项式的选取应由低阶到高阶，尽量选取完全多项式以提高单元的精度。6、在有限单元法中，保证有限元解收敛有哪些准则？六节点三角形单元是收致的单元吗？为什么？完备性要求。如果出现在泛函中的场函数的最高阶导数是m阶，则有限元解收敛的条件之一是单元内场函数的试探函数至少是m次完全多项式。协调性要求。如果出现在泛函中的最高阶导数是m阶，则试探函数在单元交界面上必须具有Cm」连续性，即在相邻单元的交界面上函数应有直至阶的连续导数。不是收敛单元，因为不满足完备性要求和协调性要求。7、何谓位移元？为什么位移元解具有下限性？请给出力学上的解释。位移元：以位移为基本未知量，并基于最小位能原理建立的有限元称之为位移元。位移元解具有下限性可以解释如下：单元原是连续体的一部分，具有无限多个自由度。在假定了单元的位移函数后，自由度限制为只有以结点位移表示的有限自由度，即位移函数对单元的形变进行了约束和限制，使单元的刚度较实际连续体加强了，因此连续体的整体刚度随之增加，离散后的K较实际的K为大,因此求得的位移近似解总体上将小于精确解。8、什么是拉格朗日单元和Seiendipity单元？比较这两种单元的各自特点。拉格朗日单元特点：（1）插值函数构造方便；（2）内部结点较多，单元的次数越高相应自由度越高；（3）单元阶次增高，非完全高次项增加。Seienchpity单元作用是：不改变精度的条件下，减少内部结点，即对Lagrange单元简化。9、什么是阶谱单元？如何在有限单元法中采用阶谱单元？相对于通用的标准单元有何好处？阶谱单元：特点：（1）插值函数（阶谱函数）不再具有“0-1特性工（2）高阶单元的单元特性矩阵可承袭低阶单元的单元特性矩阵。在用于自适应分析中可以节省编程的工作量。10、什么是等参变换？在有限单元法中，等参数单元的主要优点是什么？等参变换是指单元的几何形状和单元内的场函数采用相同数目的结点参数及相同的插值函数进行变换。优点是借助于等参元可以对于一般的任意几何形状的工程问题方便地进行有限元离散。•等参元的插值函数是用自然坐标给出的，等参元的一切计算（如单元刚度矩阵、单元载荷列阵等）都是在自然坐标系中规格化的母单元内进行，相关运算大大简化。・不管各个积分形式的矩阵的被积函数如何复杂，都可以采用标准化的数值积分方法计算，从而使工程问题的有限元分析纳入了统一的通用化程序。11、等参元计算中数值积分阶次的选择应遵循哪些原则？如何检查所采用的积分方案是否满足所述的原则？1.保证积分的精度。2.保证结构总刚度矩阵k是非奇异的。对于一个给定形式的单元，如果采用精确积分，则插值函数中所有项次在1人常数的条件下能被精确积分，并能保证刚度矩阵的非奇异性。如果采用减缩积分，因为插值函数中只有完全多项式的项次能被精确积分，因此需要进行刚度矩阵非奇异必要条件的检查。若能通过检查，则可以考虑采用减缩积分方案，以减少计算工作量，并可能对计算结果有所改进。

12、简述有限元网格划分的基本原则。网格疏密的布置，不连续处的网格自然划分，不同密度划分网格过渡13、什么是自适应分析方法？用什么方法进行自适应的重分析？自适应有限元技术是一种根据中间计算结果自动控制计算过程的求解偏微分方程的方法。它主要利用中间计算结果自动计算所需的网格，选取最佳离散方式，从而逐步对误差做适当调节以达到所需精度。h型改进，p型改进14、为什么双线性四边形单元用于弯曲应力分析时表现出较差的性能？不能有重节点不能出现内角大于180。的情况内角最好介于30。-150。之间（有限变形的情况）15、什么是罚函数法？罚函数法求解近不可压缩弹性力学问题时的有限元方程系数矩阵应具有什么性质？如何保证它具有这样的性质？kl非奇异，k2奇异，kl+ak2非奇异二、计算分析题：1、试写出下述定解问题的等效积分形式和等效积分弱形式，并说明构造“弱”形式的意义。u(x,y)=u(x,y)onu(x,y)=u(x,y)onr=（提示：利用Green公式：▽〃・"如/y=口^-dS-口 ,n为so的单位外法向）1、解答:原定解问题的等效积分形式为JJ）vdxdy+|（w（x,尸）-。（范y））vdS=0Q 6其中，v=v（x9>,）rv=v（a\y）为任意函数？且分别在区域C2及边界0C上可由Green公式可得；JJ▽〃・Vv加力-一，^-dS+5（羽）'）一正（七乃"如=0这里，要求▽口和在区域Q上可积。上式即为等效积分“弱”形式。构造“弱”形式的意义：看课件PPT2、己知：A(。)=普+Q(x)=0(0<x<L)?其中a人fl(0<x<L/2) /ZAXAd(/)Q(x)=1二>二，边界条件为：。(0)=0；-rT°。[0(L/2<x<L) axX=L假设近似函数为。0)=。0+。/+。2/+%/,试用配点法，子域法和伽辽金法求解。2、解答：设欣X)=%十十%/十%/，余量A(/)=L^+C(x)由边界条件。(0)=0,可得劭=0;由”=10可得叫，TOC\o"1-5"\h\zq 2-10=0 (1)(a)配点法：取x=L/3和2L/3为配点，要求：R(L/3)=0 (2)/?(2£/3)=0 (3)曳距:=町+2啊L+3叫L=1。329+2白匚+1=0,2的+4与1=0ei=10+_L>电=-L,也=-122L解方程组(1)-(3),可得％=10+L/2M2=-1，%=：NL(b)子域法：ao<X<Li2^L/2<x<L则山2|R(x)cix=0(5)%R(x2=°(5)o Q2 1 Q2旬+2与L+3的L=10,gL+一包L+_L=0,与L+一心L=0•4 2 4电=1。+!工6=工也=三23L4解方程组⑴,(4),(5),可得©=10+£/2,%=-3/4必=；（b）伽辽金法：取权函数%=x，匕=，，匕=d，则（务工咿。世盟噜-10)x-£-10)=0=0=0r-A(6)⑺(8)2d3L3+l.(2d2（务工咿。世盟噜-10)x-£-10)=0=0=0r-A(6)⑺(8)2d3L3+l.(2d2+l)L2+1a2L2-L^1+2d2L+3d3L2-10=0,卜L5+JL(2«2+1)L4+冬I?・I?(s+2]L+39I?・10)=。,齐广+孑虫+1）「+"己/（旬+2微2.+3。・105 -23 17与二。^与=左丁片=斫16L 32 32L+。解方程组(6)・(8),可得％=10十0=-23/32,^=—32 16L3、某问题的微分方程是空+至+。。+。=0 mQ,边界条件为式l/-■。。onI]-=qon1,，。〃-其中，C和。仅是坐标的函数，证明此方程的微分算子是自伴随的，并建立相应的自然变分原理。3、解答；微分算子为"）=冒十龄十c（）,取任意函数小,dudvdudv十刖，公力+小乃,十“史人）-dxxdydudvdudv十刖，公力+小乃,十“史人）-dxxdy，=Ibd2ud2n02dy2v—nt+v—nit(is4-

oxfyJJdn=JJ=JJvL(u)dxdyv^t/.v+?〃故算子是自伴随的。原问题等价于；（假设@己满足「上的边界条件）JJ通「亚ay

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影十犷十c放十Qdxdy-河讨的G（谢）的3（邮）…,一qds+c微伞+c微伞+QW)dxdy+J@5妙加中韵-—-\--c(jf2+Q(/>dxdy+f献艳

2 %=5心器"管1+—ccf)=5心器"管1+—ccf)14-Q6dxdy+Jq(fxis=0等价的自然变分原理为:口砥等价的自然变分原理为:口砥0卜僵）-聘）+”+OC+1产砥就舒圉一砥就舒圉一c/一20液dxdy-Jqt^s4、弹性薄板的控制方程为：t+2及4、弹性薄板的控制方程为：t+2及4d4wd4wdx2dy^2+dy幺，建立周边固支时的自然D变分原理。必富+2嘉+券资心八°,其中“，满足强迫边界条件.JL察次*)"哂+J萼〃命"JJndvdxJex三JL沿演出）必由」『沿町况言），"JJndxdxJexoxJL"输必必'=$净母小"+ ny8wdT=JL羽以羽）心力一而""[["X加出小=-[（鼻汉皿）dM，+fd%加HT^cx2cy2- 乩及即28K,Jdxdy2x=[（互也讥之上）dM，"辿〃冏虫”TdxdydxSy 丁dxdy-dx吐…端嗡卯震金相加得：a%言咤网”必比第密十a2。2卬)一W弧1杰办-J沿&汉?")(“

IJ OXuX〃⑼第"7唔）八a%言咤网”必比第密十a2。2卬)一W弧1杰办-J沿&汉?")(“

IJ OXuX〃⑼第"7唔）八4富〃/年浦同居第十2uy）、（查马2_Z四说,}7g曳沆电）打一户如况包四

dx^yD 1dxdndx7dydndy、，产w7<11,,、八）•十（丁丁）・一看的小=o。3 D■故原问题的自然变分原理为:r,、 「「」刀/'2I ,小卬、2q一.“助=山5（Q）+卧"）一（丽）一万"W"或者口,、ffrQ产卬、）Qn®叽？获"万（羽）”（dxd)^)-qw]dxdy5、如有一问题的泛函为+qw]dx,其中，民/人是常数，q是给定函数，w是未知函数，试导出原问题的微分方程和边界条件。5、解答；泛函的一阶变分为*qw]dx)=£W号(“；尸+ +q^dx其中，民/人是常数，q是给定函数，w是未知函数，试导出原问题的微分方程和边界条件。5、解答；泛函的一阶变分为*qw]dx)=£W号(“；尸+ +q^dx(£7w投/ q苏，d3两次利用分部枳分公式，我们有f£7住茂年dx=Elw6>v山）所以,—EI漳SvJ+0 1»Eh^Swdx=EZw一Elh6十£(£Av<4)+Aw+q)6wdx由苏1=0可得EiwwL=0.Elw3wf=0及Io工+如叶wdx=0上述各式对任给的变分5M及Sw成立，由变分法预备定理可得:微分方程为：EIw^4-痴+q=0边界条件为：E/卬力(I6、考虑如图1所示悬臂梁’设其跨长为/,抗弯刚度为七/,在梁的中部及端点x=/处受集中荷载产作用。（1）若用Ritz（里兹）法计算粱的挠度曲线方程，试问：是否可取如下表达式？卬=o（l_cos?｝）,其中，。为待定常数。《1〉可取挠度曲线表达式为w=a（1-gs华），仅需要验证该挠度函数满足位移边界条件即可，即m嗤）…°显然满足。（2）若是可以，试利用最小位能原理求出相应的挠度曲线方程。 ,X

l_ l_w2 2图1（2）用最小势能原理确定待定常数c。弯矩为：财⑴二-E/会二dx,II粱的应变能为：0=/一口，（一1心二空二/2Efh 4"外力势能为： V=一。（用/一P（m，）i=-3qPx--系统的总势能为：T\=Ui-V=^-a1-3aP由<sn=s（U4/）=o,得：d(U+V)deEE*=0.d(U+V)deEE*=0.即2/3。一3尸=0由此解得："E1N由此解得："E1N6PI'八 7TX:.w= (1-cos——)E/ I7、证明三节点三角形单元的形状函数满足Ni(Xj,y)=丹=0,Ni(Xj,y)=丹=0,N/Nj+N—l乂=士⑼+g・+cj)q=•%N4、,y)=・i»r11%11乂=士⑼+g・+cj)q=•%N4、,y)=・i»r11%11%人,=P'=y-♦%1N乂2」・1\y)・(,3〔一7nl)+(・，，一丫泮)1<»+N+n»+N+n_(、mm…+to'i2A8、设有一弹性平面问题，厚度为f,弹性模量为E,泊松比4=0,对于如图2所示的三节点三角形单元，试计算其单元刚度矩阵。图29、对如图3所示四边形单元，试计算其单元刚度矩阵，写出其基本思路即可。图39、解答:基本思路：（利用等参元计算）步h将此四边形单元变换到边长为2的正方形单元（标准单元），写出相应的儿何变换及其雅可比矩阵；步2:计算在标准单元上的应变矩阵，进而计算原单元上的应变矩阵；步3：将单元刚度矩阵的计算化归为标准单元上进行，即L灯二［［皿丁卬］⑷|J|d。（切10、试用“试凑法”构造图4各节点形函数，要求写出详细的计算过程。10、解答:详见课件PPT11、解答，详见课件PPT

图411、利用构造变结点数单元插值函数的方法，构造如图5所示8结点单元的插值函数。4（口1） 73（L1）4（口1） 73（L1）6l（h-l）5 2（1广1）图5(因为单元的边是直线，可用4个结点定义单12、(1)图6所示为二次四边形单元，试计算6乂/及和加2/个在自然坐标为(1/2,1/2)的点(因为单元的边是直线，可用4个结点定义单12、(1)Case1;几何变换采用4个点：在单元内有x=XA//,x=XA//,■二iJ=X凡H■一工Jacobi矩阵为J=J（f，7）=用=31+矮)。+，町)』=123,4小何小一期ax一段包即一--I一工€0+“7,）%Eso+w/Jkr=i i=iX乙a+为况E々a+后）.匕1=1 J=1-4一一oo265562,12.1一1-4175114一0-10-(-1)1-(-1)=入-4一一oo265562,12.1一1-4175114一0-10-(-1)1-(-1)=入1-铲川+，7）厘6=；（1-3（1一/）,Ns=^（i+^）（i-?r）8N1 1八、1- 、 1Z1,、dN、1Z1八1八小、1Z1一—=-(l+;7)+-^(l+7)--(l-rZ-)5-=-(l^)--(l-r)+-7d^)当』=：，犯_飒.9当』=：，犯_飒.9蕊一百一记cN2二-如神+抑+〃）+；（"/），膏小-"%一）+58）当占= 如=工-12阴16助16cN-

.ox刎二ox刎二69"^7=~4760当…弓Case2:几何变换采用8个点:=0.0257当=0.0018拈祠后乂=(1+/(1+研力〃-1)/4N?=(1-/(1+1)/4N3=(l-J)(l-〃)(一J-〃-1)/4'4)(1-硕…-1)/4N-X"的2M=("3X1+夕/2k=£n内)'=£njQ (121⑵

X±N.Ak Q(121/2)TOC\o"1-5"\h\zT I4=£"=15.625 〃=£”,=5I I以-yM—n3.125 >•-VNy.|5，i *i【〃=yj=ri5.62551【〃=%广[3.12515J即叫:卜圈5T即叫:卜圈5T1ro.56251sfo.02571I5J[0,5625)"(0.0321J阳的阳•［噂5T阳的阳•［噂5T1JO.18751J0.01I41I5j[O.O625J10.0018](2)图7所示为二次三角形单元，试计算6N4/及和MJ②在点尸(L5,2.0)的数值。(2)3N.~dx(I5.2.0)图612=(2)3N.~dx(I5.2.0)图612=--0.24549叫=-*2.-034751c 49乂=«2乙-1)乂=«2乙-1)BN,於必 M.OL. Ifht b.4，”- -、----十一1一・4£a-L+科一■■一、心,，儿)次 以dr 批dr2A 2A (2A)20(2Ag♦2A|b.)=』[0(2Ag♦2A|b.)=』[4x(-2HS>4)=0.245(2d) 14ava—1=——ava—1=——t(2Axi*2A1c,)=力(2Ar 1:二[4K(-3H5x(-1)]=-0.M714-13、对如图8所示的四边形单元（见左图）（1）写出将该单元变换到一边长为2的正方形单元（见右图）的坐标变换。13、解答，（1）坐标变换为:>==N］为+N；x2+ML+NgT—）”加2十如以1-加9十加次十加8T1一尔十加3y=y优为）=+Nm+n3y3+n.*8）吐加2+如加一机3+加以1+加9+33）（1+机8（2）计算该单元的雅可比（Jacobi）（2）计算该单元的雅可比（Jacobi）矩阵。要求写出详细计算过程。图8<2>雅可比矩阵为:5，ar而力-即/I5，ar而力-即/I--也可以写为V7V714、有一个三角形单元，受有如图9所示的分布载荷，试计算该单元的等效节点载荷列阵。要求写出详细的计算过程。14、解答：设单元等效节点载荷列阵为｛畤。，它由12边的等效节点载荷列阵为｛Rn\e及23边的等效节点载荷列阵为｛&F叠加而成,即首先，计算怵鬲一依据公式，有对三节点三角形单元，恒有M二4，N?=JN3=L.这样，X,=lOOzjN3s=100fJL处利用面积坐标的箱函数在三角形某一边上的积分公式可求得％;5OJ类似地，有.=50,因此，｛AJ，0,50f,0,50/,0,0]「，其中，为厚度。其次,计算;冬丁，完全类似于上述方法，可得｛2=|0,0,100/,0,200^,0T，其中E为厚度。最后，计算网'俨J+画F=（0,50/,100r,50r,200/,0]r15、图10为一给定的六节点三角形单元，在力〃边上作用有线性分布的面载荷（x方向），假设单元厚度为1，试用两种不同的方法求单元等效节点载荷列阵。要求写出详细的计算过程。（给出均布测压的等效节点载荷计算的例子：图示结点三角形单元的124边作用有均布侧压力q,单元厚度为3求单元的等效结点荷载。3(xjJl(Wi)解答；Ni=Li(2Lrl)；N2=L2(2L2-I)；N3=Lj(2L>-I)；N4=4I.2k；Ni=4L2L5;N6=4LaLi；在三角形142边上L&R;可得NlNlNsR,3(xjJl(Wi)解答；Ni=Li(2Lrl)；N2=L2(2L2-I)；N3=Lj(2L>-I)；N4=4I.2k；Ni=4L2L5;N6=4LaLi；在三角形142边上L&R;可得NlNlNsR,因此有:在三加形142边上建立局部坐:标系如图:-10 42节点在局部坐标系下的形函数为,=;(1+期所以土八=其中,I为三用形142边的边长;/cos。/sin0其中,.4KJ八3与仇2，=一q1、3/sin3/cosd2=—qtJ3yi-Vif2€OS0./；sin6r ■/cost?Jsin0U为q与水平方向的夹角Q将上述应用于该题可得到计算结果OOCOOO16、图11为一边长为2的八节点正方形单元，它的边界平行于整体坐标轴，在边152上受有均布表面荷载，P、=P0,假设单元厚度为/,试求单元等效节点载荷。要求写出详细的计算过程。图11图1116.解答：等效节点我荷为:00｝二的00｝二的,(Pj)=.(pj)=[0G>3)=(P<1=(P&}={P/=仇)=，/其中,取a=l即为本答斑。17、考虑如图12所示受均布载荷作用的悬臂梁，将其剖分成两个单元，单元和节点编号如图所示，设节点位移和节点力分别为（匕，2）t和C，M,）T,j=l,2,3,已知平面梁单元单元刚度矩阵为E1[灯=产12

61

-12

E1[灯=产12

61

-12

6/6/4尸-61

2/2-12-6/12-6/6/2广-6/

4/2lm2②lm2②其中，/为长度，E/为抗弯刚度，试求节点2和节点3的位移值，要求写出详细计算过程。2kN/m1①1m图1217、解答：依题意可知，单元（1）的位移列阵为｛d产二（匕⑼,心,&尸,｛用⑴=（片,％储,%）丁，它们满足平衡方程：［灯Dm一—一｝⑴单元（2）的位移列阵为⑵=（叱M,%苗尸，节17、解答：依题意可知，单元（1）的位移列阵为｛d产二（匕⑼,心,&尸,｛用⑴=（片,％储,%）丁，它们满足平衡方程：［灯Dm一—一｝⑴单元（2）的位移列阵为⑵=（叱M,%苗尸，节｛尸｝⑵，它们满足平衡方程：［幻⑵.严=｛尸产整个结构的位移列阵为3｝=3八四,巧,心,匕同），节点力列阵为点力列阵为仍二（不必々＞2，鼻，%）\它们满足平衡方程：［K］｛d｝=｛F｝经计算可得，两个单元的刚度矩阵为■12 6