2022年全国高中数学联赛模拟题3

2022年全国高中数学联赛模拟题3一试考试时间上午8：00~9：20，共80分钟，满分120分一、填空题（共8题，每题8分，64分）1、若实数、满足条件，则的取值范围是___________________.2、已知为非负数，则的最小值为3、设AB是椭圆（）的长轴，若把AB100等分，过每个分点作AB的垂线，交椭圆的上半部分于P1、P2、…、P99，F1为椭圆的左焦点，则+…的值是4、从一个有88条棱的凸多面体P，切去以其每个顶点为顶点的各一个棱锥，得到一个新的凸多面体Q，这些被切去的棱锥的底面所在的平面在P上或内部互不相交，则凸多面体Q的棱数是。5、设函数，且满足，，，则.6、一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a，则这个球的体积为7、设均为正实数，且，则的最小值为____________________.8、若log4(x+2y)+log4(x-2y)=1，则|x|-|y|的最小值是_________.二、解答题（共3题，共56分）9、（本题16分）设S={1，2，…，n}，A为至少含有两项的、公并非为正的等差数列，其项部都在S中，且添加S的其他元素等于A后均不能构成与A有相同公差的等差数列，求这种A的个数（这里只有两项的数列也看做等差数列）.（全国高中数学联赛，1991年）10、（本题20分）已知为抛物线的焦点，M点的坐标为(4,0)，过点F作斜率为的直线与抛物线交于A、B两点，延长AM、BM交抛物线于C、D两点，设直线的斜率为．（I）求的值；（II）求直线AB与直线CD夹角θ的取值范围．11、（本题20分）已知函数。（I）若方程在内有两个不等的实根，求实数的取值范围．（II）如果函数的图象与轴交于两点，，且。求证：（其中正常数、满足）。2022年全国高中数学联赛模拟题3加试（二试）9：40~12：10共150分钟满分180分平面几何、代数、数论、组合1、（本题40分）在△ABC中，AB＞BC，K、M分别是边AB和AC的中点，O是△ABC的内心。设P点是直线KM和CO的交点，而Q点使得QP⊥KM且QM∥BO，证明：QO⊥AC。2、（本题40分）已知无穷数列满足.（1）对于怎样的实数x，y，总存在正整数,使当时，恒为常数？（2）求数列的通项公式.3、（本题50分）空间六点，任三点不共线，任四点不共面，成对地连接它们得十五条线段，用红色或蓝色染这些线段（一条线段只染一种颜色）.求证:无论怎样染,总存在同色三角形.（1953年美国普特南数学竞赛题）由此，证明有17位科学家,其中每一个人和其他所有人的人通信,他们的通信中只讨论三个题目.求证:至少有三个科学家相互之间讨论同一个题目.

(第6届国际数学奥林匹克试题)4、（本题50分）设，证明：（1）对所有；（2）当时，（即互质）参考答案一试1、.提示:令2、2；3、.（方法一）由椭圆的定义知()，由题意知关于轴成对称分布，又，故所求的值为.（方法二）+…（A,,B关于轴成对称分布）4、264，P的所有棱仍是Q的棱，Q中新的棱由切去的棱锥的底面形成，等于从顶点出发的棱的条数，所以Q的棱的条数有88+2×88=264；5、取代入得，即，显然不恒等于常数，∴且，∴，又取代入可得；6、，联想正方体，棱长为，球的半径为7、.提示：令，则，且，其中8、。由对称性只考虑y≥0，因为x>0，∴只须求x-y的最小值，令x-y=u，代入x2-4y2=4，有3y2-2uy+(4-u)2=0，这个关于y的二次方程显然有实根，故△=16(u2-3)≥0。二、解答题9、构造具有如下要求的集合A：把A中的元素按从小到大的次序排好后，在其最大元素后面添上S的任何元素均不能构成具有原公差的等差数列。这时，当A的首项与公差一旦确定，其整个集合A也即确定，不妨设A的首项为a，公差为d，则a=1,d=1,2,…,n－1时的集A有n－1个；a=2,d=1,2,…,n－2时的集A有n－2个；……a=n－1，d=1时的集A有1个.因此，所求A的总个数为1+2+…+（n－1）=10、解：（I）由条件知，设、、、，不妨设．直线的方程为，与联立得所以，．①当时，则，故，，即．直线的方程为，从而；直线的方程为：，与联立得，得，，即．于是，．所以．．②当时，直线AM方程为与抛物线方程联立得，又由，化简上述方程得此方程有一根为x1，所以另一根，．即，同理，．所以，，即．由①、②可知．11、解：(Ⅰ)由＝2求导得到：＝，，故＝0在有唯一的极值点，＝－2－＝―2―，极大值＝＝－1，且知＜，故＝－，在内有两个不等的实根满足：－2－≤－＜－1故的取值范围为(Ⅱ)＝－2－，又－＝0有两个不等的实根、，则，两式相减得到:于是＝－[]＝+∵2≤1，，∴≤0要证：＜0，只需证：+＜0，只需证：①令，0,只需证：+在上恒成立，又∵＝∵，，则，∴，于是由可知，故知∴在上为增函数，则＜＝0，从而知即①成立，从而原不等式成立。二试1、证：作OR⊥AC于R，过P作MK的垂线，交直线OR于Q点（如图）。这样只需证Q’M∥O，因为这时Q和Q’重合。

因为K，M分别为AB和AC的中点，所以KM∥BC，于是∠MPC＝∠BCP＝∠ACB＝∠MCP。因此MP＝MC＝MA，这样一来，P点在以AC为直径的圆周上，且∠APC＝90°。

在四边形APOR中，∠APO＝∠ARO＝90°，所以APOR内接于圆，∠RPO＝∠RAO＝×∠BAC。

在四形边MPQ’R中，∠MPQ’＝∠MRQ’＝90°，所以MPQ’R内接于圆，于是∠Q’MR＝∠Q’PR＝∠Q’PO＋∠OPR＝（90°－∠OPM）＋∠BAC＝（90°－∠ACB）＋∠BAC。

设BO交AC于D，在△BDC中，∠BDC＝180°－∠ACB－∠ABC＝90°＋∠BAC－∠ACB＝∠Q’MR，因此MQ’∥BO，于是本题得证。2、解：由递归方程，得不动点.由不动点方法.令，则.易知，.注意到，其中，，，为斐波那契数列.于是，.故.（1）要使总存在正整数，当时，恒为常数，还需分情况讨论.（i）若，当时，恒为常数.由，，，……有，且.此时，恒为常数1或.（ii）若，当时，恒为常数.首先，当时，如果，由，及，有.注意到.又由，有.于是，由，有，矛盾.此时，只能是，即，所以，，，……于是，，且，且，或，且，.因此，当或，且时，取.当时，恒为常数.其次，当在时不恒为，但当时，使恒为常数，故.则在时恒为常数.显然，，.若且，则，有的分母为0，矛盾.所以，只能或，即或，且时，当时，恒为常数1.综上，当且或且时，总存在正整数，使当时恒为常数1或.（2）注意到.则.故，，.3、证明

设A、B、C、D、E、F是所给六点.考虑以A为端点的线段AB、AC、AD、AE、AF，由抽屉原则这五条线段中至少有三条颜色相同，不妨设就是AB、AC、AD，且它们都染成红色.再来看△BCD的三边，如其中有一条边例如BC是红色的，则同色三角形已出现（红色△ABC）；如△BCD三边都不是红色的，则它就是蓝色的三角形，同色三角形也现了.总之,不论在哪种情况下,都存在同色三角形.证明

用平面上无三点共线的17个点A1,A2,…，A17分别表示17位科学家.设他们讨论的题目为x,y,z,两位科学家讨论x连红线,讨