概率论课程知识点梳理汇总

第一章概率论的基本概念一、概率的性质(1)0≤P(A)≤1.(3)P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB).(4)P(A)=1-P(A).P(A-B)=P(A)-P(B),P(B)≥P(A).事件之间的关系(4)(2)AUA₂ULUA,=S.P(B)=P(B|A)P(A)+P(B|A₂)P(A₂)+P(B|A(2)AUA₂ULUA,=S.则(2)若已知取得的是红球，则从甲袋放入乙袋的是红球的概率是多少?解：设A;表示从甲袋放入乙袋的一球是红球，则A;表示从甲袋放入乙袋的一球是白球，设A₂表示从乙袋取的一球是红球，则§1.5事件的独立性一、事件的独立性定义.若两事件A,B满足P(AB)=P(A)P(B),则称A,B相互独立。第二章随机变量及其分布一、随机变量与分布函数单值实函数，则称x为随机变量。R定义设x为一个随机变量，x为任意实数，称函数F(x)=P(X分布函数的性质(3)F(x)对自变量x右连续，即对任意实数x,F(x+0)=F(x)§2.2一维离散型随机变量一、离散型随机变量定义离散型随机变量x只可能取有限个或可列个值，设x可能定义设离散型随机变量x可能取的值为x,x..x...,且x取这则称上述一系列等式为随机变量x的分布律。由概率的定义知，离散型随机变量x的概率分布具有以下两个性(1)Px≥0,(k=1,2..)(非负性)(2)(归一性)二、几种常用的离散型分布如果随机变量x只可能取0和1两个值，且它的分布列为P(X=1)=p,P(X=0)=1-p,(0<p<1),则称x服从0—1分布。其分X10Pp2.二项分布如果随机变量x只可能取的值为0,1,2,…,n,它的分布律为P(X=k)=Cp'q"*,(k=01,2…n)其中o<p<1,q=1-p,则称x服从参数为n,p的二项分布，记为x~b(n,p)3.泊松分布如果随机变量x所有可能取的值为0,1,2,…,它取各个值的概率为,其中A>0是常数，则称x服从参数为n的泊松分布，记为x~π(2).例：设X~π(A),P[X=1}=P{X=2},则P(X=1)=.§2.3连续型随机变量的概率密度一、概率密度的概念定义设随机变量x的的分布函数为F(x),如果存在一个非负可积函数f(x),使得对于任意实数x,有：则称x为连续型随机变量，而f(x)称为x的概率密度。由概率密度的定义及概率的性质可知概率密度f(x)必须满足：(4)若f(x)在点x处连续，则有F(x)=f(x).例设随机变量X具有概率密度(1)试确定常数K;得K=3.于是x的概率密度丁丁二、几个常用的连续型随机变量的分布1.均匀分布如果随机变量x的概率密度为则称x服从[a,b]上的均匀分布，记为x~U(a,b)。2.指数分布如果随机变量x的概率密度为则称x服从参数为θ的指数分布。3.正态分布如果随机变量x的概率密度为X～N(μ,a²).特别的，当μ=0,a²=1时，称x服从标准正态分布，即x～N(0,1),概率密度为标准正态分布的分布函数为对于标准正态分布的分布函数，有下列等式例设随机变量X～N(1,4),则P[X≤1}=X-1012Y-3-113例设连续型随机变量x具有概率密度fx(x),求随机变量上式两边对y求导数得于是第三章二维随机变量及其分布§3.1二维随机变量及分布函数定义设s为随机试验E的样本空间，X,γ是定义在s上的随机变量，则称有序数组(x,Y)为二维随机变量或称为二维随机向量。定义设(X,Y)是二维随机变量，对于任意实数x,y,称二元函数F(x,y)=P(X≤x,Y≤y)为二维随机变量(X,Y)的分布函数，或称为二维随机变量的分布函数的性质x<x₂时有F(x,y)≤F(x₂,y);对于任意固定的x,当yi<y₂时有F(x,y₁)≤F(x,y₂).(3)对于任意固定的y,;对于任意固定二维离散型随机变量定义如果二维随机变量(x,Y)可能取的值只有有限个或可列Xx₁xx₂x……二维分布密度具有以下性质：个区域；(4)如果二维连续型随机变量(x,Y)的密度f(x,y)连续，(x,Y)的分布函数为F(x,y),则用性质的题在后面§3.2边缘分布与随机变量的独立性一、边缘分布称分量x的概率分布为(X,Y)关于x的边缘分布；分量γ的概率分布为(x,Y)关于γ的边缘分布。它们的分布函数与密度函数分别记先看离散情况：记,所以关于x的边缘分布律为：XX₁X...Pi.·关于γ的边缘分布列为：YP.jP·下面看连续型的情形：定理设f(x,y)是(X,Y)的联合概率密度，则分别是(X,Y)关于x,r的边缘概率密度函数。D.PP₁2…Pj…P21P22…P2j……:…P₂P.jP₁P₂…P.j…x,r的概率分布，则x,r相互独立的充要条件是：对所有的i,j,YX0110123%27试求(x,Y)关于x和关于y的边缘分布，并判断x,γ是否相互独立?解由表中可按行加得p.,按列加得p.,得关于X的边缘分布X0123P.P8及关于Y的边缘分布Y0123P.j89,而,所以x,γ互不独立。例设二维随机变量具有密度函数(1)常数c;(2)(X,Y)落在如图2—4所示的三角区域D内的概率；(3)关于x和关于γ的边缘分布，并判断x,γ是否相互独立。图2-4解(1)所以C=4;(3)关于x的边缘概率密度函数为第四章随机变量的数字特征一、离散型随机变量的数学期望定义设离散型随机变量x的分布律为则称其为随机变量x的数学期望，记为二、连续型随机变量的数学期望定义设连续型随机变量x的分布密度函数为f(x),若积分绝对收敛，则称其为x的数学期望或均值.记为E(X),例设随机变量x服从[a,b]上的均匀分布，求E(X).解由于均匀分布的密度函数为因而·记住：0-1分布，二项分布，泊松分布的数学期望均匀分布，指数分布，正态分布的数学期望。x是离散型随机变量，分布律为p₄=P(X=x),k=1,2…;若级数绝对收敛，则有.(2)x是连定理设z是随机变量(x,Y)的连续函数z=g(x,Y),(1)(x,Y)是则有.(2)(X,Y)是二四、数学期望的性质1.设c是常数，则有E(c)=c.2.设x是随机变量，设c是常数，则有E(cX)=cE(X).3.设x,γ是随机变量，则有E(X+Y)=E(X)+E(Y).4.设x,γ是相互独立的随机变量，则有E(XY)=E(X)E(Y),,,一、方差的概念记为D(X)即D(X)=E{[X-E(X)]²},称√D(X)为标准差.二、方差的计算例设随机变量x服从[a,b]上的均匀分布，求D(X).解由于均匀分布的密度函数为,三、方差的性质1、设c是常数，则有D(cX)=c²D(X);2、设x,Y是相互独立的随机变量，则有D(X+Y)=D(X)+D(Y);px=0;px=0;定义设有二维随机变量(X,Y),如果E[X-E(X)][Y-E(Y)]存在，则称EX-E(X)IY-E(Y)]为随机变量x与y的协方差.记为2.相关系数的性质(2)若x与γ相互独立，则时，\Px|=1,(4)|Pw|=1的充要条件是，存在常数a,b使P(Y=aX+b}=1.设x,,X₂L,x,为总体x的样本，则下列各量均是统计量，它们定义设Xx,x₂L,x,为相互独立的随机变量，它们都服从标准正服从自由度为n的x²分布，记作γ~x²(n).定理设x~x²(n),则E(X)=n,D(X)=2n。定义设x~N(0,1),y~x²(n),x第七章参数估计二、极大似然估计第一步，写出似然函数a)对于离散型总体x,设它的分布律为p(x;θ),θ未知，其中为似然函数。b)当总体x是连续型随机变量时，若x的概率密度为第二步求0∈0(O是参空间),使得LO)达到最大，此0即为所求的参数o的极大似然估计。为了计算方便，我们常对似然函同一0处达到极大，因此，这样做不会改变极大点。c)对对数似然函数InLθ)关于θ求导，再令之为0,即得o的最大似然估计值。例：已知总体x服从指数分布，概率密度为区间估计粗略地说是用两个统计量6,0₂(0₁≤0₂)所决定的区间[6,0.]作为参数θ取值范围的估计。P6₁≤θ≤02}=1-α则称区间[6,0,]是0的一个区间估计或置信区间，6,0分二、单个正态总体参数的区间估计设x,,X,L,X,为N(μ,a²)的样本，对给定的置信水平1-α,0<α<1,我们来分别研究参数μ与α²的区间估计。解下面分两种情况a)α²已知，选取的统计量为,由有/√n,X+u.2C1/√n未知，选取的统计量为,有由第八章假设检验§7.1假设检验思想概述例一台包装机装洗衣粉，额定标准重量为500g,根据以往经验，包装机的实际装袋重量服从正态N(μ,σ),其中σ。=15g,为检验包装机工作是否正常，随机抽取9袋，称得洗衣粉净重数若取显著性水平α=0.05,问这包装机工作是否正常?首先，我们根据以往的经验认为，在没有特殊情况下，包装机工作应该是正常的，由此提出原假设和备选假设：然后对给定的显著性水平α=0.05,构造统计量，来进行检验。