热传导方程及其定解问题的导出

第一章热传导方程本章介绍最典型的抛物型方程—热传导方程,在研究热传导,扩散等物理现象时都会碰到这种方程.§1热传导方程及其定解问题的导出1.1热传导方程的导出物理模型在三维空间中,考虑一平均,各向同性的物体,假定它内部有热源,而且与四周介质有热互换,需要来研究物体内部温度的散布和变化.以函数u(x,y,z,t)表示物体在地点(x,y,z)度不一样,产生热量的传达,它们按照能量守恒定律.

实时刻

t的温度

.物体内部因为各部分温能量守恒定律物体内部的热量的增添等于经过物体的界限流入的热量与由物体内部的热源所生成的热量的总和.在物体内随意截取一块D.此刻时段[t1,t2]上对D使用能量守恒定律.设uu(x,y,z,t)是温度(度),c是比热(焦耳∕度·千克),是密度(千克/米3),q是热流密度(焦耳/秒·米2),f0是热源强度(焦耳/千克·秒).注意到在dt时段内经过D的界限D上小块dS进入地区D的热量为qndSdt(n是D的外法向),进而由能量守恒律,我们有t2t2c(u|tt2u|tt1)dxdydzdtqndsdtf0dxdydz,（1.1）Dt1t1DD大家知道,热量流动的原由是因为在物体内部存在温差.依照传热学中的傅立叶实验定律,在必定条件下,热流向量与温度梯度成正比qku,（梯度ugraduu,u,u）（1.2）xyz这里负号表示热量是由高温向低温流动,k是物体的导热系数.uqnkunk,n进而(1.1)式可改写为c(u|tt2u|tt1t2dtkudSt2)dxdydzdtf0dxdydz(1.3)Dt1Dnt1D假定u(x,y,z,t)在柱体(0,)内拥有连续微商

u,2u2,2u2,2u2.则应用散度定txyz理(或高斯公式)立得:t2dtudxdydzt2(ku)f0dxdydz,t1cdtDtt1D因为被积函数在(0,)内连续,以及[t1,t2],D的随意性,又因为物体平均,各向同性,c,,k都是常数,立得:cu(ku)f0,tuk(u)f0,tcc(u),,uuuuuu,,xxyyzzxyzxyz2u2u2u记为u,x2y2z2令a2k,ff0,是三维Laplace算子,则ccua2uf,（1.4）t称为热传导方程.当f0时表示热源,当f0时表示热汇.为了详细确立物体内部的温度散布,我们还需要知道物体的初始温度散布以及经过物体的界限受四周介质的影响.初始条件u(x,y,z,0)(x,y,z),(x,y,z)界限条件有三类:已知界限上的温度散布ug(x,y,z,t),这里[0,).特别当g常数时,称物体的界限保持恒温.2.已知经过界限的热量ug(x,y,z,t),n(n为上的单位外法向量),g0表示流入,g0表示流出,特别当g0表示物体绝热.3已知经过界限与四周介质有热互换.ku0g0u,或uug(x,y,z,t),nn这里g0表示四周介质温度,00表示热互换系数.k定解问题为了详细确立物体的温度场,我们需要求解热传导方程的某一特定的定解问题.设是空间R3中的有界开地区.第一初边值问题ua2uf,(x,y,z,t)(0,)tu(x,y,z,0)(x,y,z),(x,y,z)ug(x,y,z,t)第二初边值问题ua2uf,(x,y,z,t)(0,)tu(x,y,z,0)(x,y,z),(x,y,z)ug(x,y,z,t)n第三初边值问题ua2uf,(x,y,z,t)(0,)tu(x,y,z,0)(x,y,z),(x,y,z)ug(x,y,z,t)un初值问题(或称Cauchy问题)ua2uf,(x,y,z,t)R3(0,)tu(x,y,z,0)(x,y,z),(x,y,z)R3什么是定解问题的解(讲解一下)考证u1u(x,t)22u22u0的一个解;2atx是方程a2tx1x22u0的一个解.uu2(x,t)te4a2t,t0(是参数)是方程a22atx2数学物理方程的主要问题,在推导出方程以后,求出方程的解.但是求出一个偏微分方程的精准解一般是困难的.附注1方程ua2uf固然往常称为热传导方程,但绝不仅用来表述热传导现象.事实t上,自然界还有好多现象相同可用这个方程来刻划,一个重要的例子是考虑某类分子在介质(如空气,水,)中的扩散.浓度u的不平均产生疏子运动(扩散),它按照质量守恒定律.依据Nernst实验定律:分子运动速度与浓度的梯度成正比:vDu,D称为扩散系数.进而相同可导出分子浓度u合适的方程ua2uf,这里a2是一个与扩散系数成正比的常数,f表t示反响项.所以人们往常把方程ua2uf称为扩散方程,而a2u称为扩散项.t附注2对某些三维问题,假如依据问题的某些性质,适入选用坐标系,能够化归为或近似地化归为一维或二维问题来办理.这样的简化关于求解定解问题,特别是求问题的近似解带来方便.例1.假如物体可当作一根细杆,它的侧表面绝热,它与四周介质的热互换只在杆的两头x0,l进行;假如在随意一个与杆的轴线垂直的截面上,初始温度和热源强度的变化很小,那么我们能够近似地以为杆上的温度散布只依靠于截面的地点.所以假如取杆的轴线为轴,那么方程(1.4)可改写为u22uf(x,t)（1.5）a2tx我们称它为一维热传导方程.相同,如考虑薄片物体上的热传导,薄片的侧面绝热,可得二维热传导方程.例2考虑一半径为R的球体,它经过球表面与四周介质有热互换.假如在球面上全部各点所受四周介质的影响都相同,且球内随意一点的初始温度和热源强度只依靠于它到球心的距离而与它的方向没关,那么假如我们选择以球心为坐标原点并引进球坐标,进而球内的温度uu(r,t)合适方程ua22u2uf(r,t)tr2rr这是因为uu(x,y,z,t)v(r,t),rx2y2z2.uvrvx,xrxrr2uxvx2vx2vx2vx2r2x2v,x2rrr2r2rxrr2r2r3r同理2u2vy2r2y2v,y2r2r2r3r2u2vz2r2z2v,z2r2r2r3r于是2u2u2uu2y2z2x2vx2y2z23r2x2y2z2vr2r2r3r2v2vr2r.r我们称它为球对称问题的热传导方程.例3考虑一高为H,半径为R的圆柱形物体.引入柱坐标系,取柱体的轴线为z轴,下底落在z0平面上,假定在柱体的侧表面和上下底上给出的界限条件只分别依靠于z和r(点到轴线的距离),且柱体初始温度和内部热源亦不过r,z的函数.这样在柱体内温度uu(r,z,t)合适方程ua22u1u2uf(r,z,t)tr2rrz2这是一个二维轴对称问题的热传导方程.这是因为uu(x,y,z,t)v(r,z,t),rx2y22u2vx2r2x2vx2r2r2r3r2u2vy2r2y2vy2r2r2r3r2u2u2v1vx2y2r2rr若进一步假定柱长无量,且经过柱体侧表面受四周介质的影响是相同的,又若柱体的初始温度的内部热源只依靠于r,这样在柱体内温度uu(r