2021年浙江省丽水市三溪中学高三数学理月考试卷含解析

2021年浙江省丽水市三溪中学高三数学理月考试卷含

解析

一、选择题：本大题共1（）小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选

项中，只有是一个符合题目要求的

1.等差数列口）的前力项和为凡，$5=10,冬=1叫等比数列中，aL%,

%=与,则%=（）

A.2B.±4C.-4D.4

参考答案：

D

略

2.我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即

杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就，在“杨辉三角''中，第〃行的所有数字之和为

2*,,若去除所有为1的项，依次构成数列2,3,3,4,6,4,5,10,10,5,…，则此

数列的前15项和为（）

1

A.110B.114C.124D.125

参考答案：

B

【分析】

利用二项式系数对应的杨辉上三角形的第R+1行，令工=1,得到二项展开式的二项式系

数的和，再结合等差、等比数列的求和公式，即可求解.

【详解】由题意，”次二项式系数对应的杨辉三角形的第行，

令K=l,可得二项展开式的二项式系数的和

其中第1行为2°,第2行为21,第3行为2‘，•…”以此类推，

即每一行的数字之和构成首项为1,公比为2的对边数列，

则杨辉三角形中前。行的数字之和为12,

若除去所有为1的项，则剩下的每一行的数字的个数为

T-+D

可以看成构成一个首项为1,公差为2的等差数列，则2

令2,解得R=5,

g|](f-1)-13=114

所以前15项的和表示前7行的数列之和，减去所有的1,

即前15项的数字之和为114,故选B.

【点睛】本题主要考查了借助杨辉三角形的系数与二项式系数的关系考查等差、等比数列

的前n项和公式的应用，其中解答中认真审题，结合二项式系数，利用等差等比数列的求

和公式，准确运算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.

3.已知函数f(x)=alnx-ax-3(aGR).若函数y=f(x)的图象在点(2,f(2))处切

线的倾斜角为4，对于任意ten，2］函数g(x)=x3+x2田(x)+2］在区间(t,3)上总

不是单调函数，则实数m的取值范围是()

3737

A.?(-oo,-5)?B.?(-T,-5)?C.(-9,+oo)??D.(-T,-9)?

参考答案：

D

【考点】直线的方向向量；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方

程.

【分析】求出函数的导数，利用切线的斜率求出a,利用函数的单调性，任意任"，2］函

ID

数g(x)=x3+x2［P(x)+2］在区间(t,3)上总不是单调函数，转化为函数由极值，然后

求解函数的值域即可得到结果.

【解答】解：由函数f(x)=alnx-ax-3(aGR).可得f(x)=x-a,

'⑵=亍1得a=-2,对于任意日1,2]函数展""x'+xt*(X)+7]=x3+x2(-

2in

x+2+2）

在区间（t,3）上总不是单调函数，只需gGhx'+l攵"+2）、2-4在㈡，3）上不是单调

函数，

2

TF|P-3乂―4+—

故g'（x）=3x2+（m+4）X-2在（2,3）上有零点，即方程X在（2,3）上有

解，

VC-3X-4+—-9）

而yx在（2,3）上单调递减，故其值域为'3，.

故选：D.

【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的极值以及函数的单调性的判断，考查转化思

想以及计算能力.

4.设等差数列｛aj的前n项和为S”已知as+aJO,则Sm=（）

A.20B.10C.50D.100

参考答案：

C

考点：等差数列的前n项和.

专题：等差数列与等比数列.

分析：利用等差数列的通项公式和前n项和公式求解.

解答：解：•••等差数列｛aj的前n项和为S0，as+a^lO,

岑（ai+ai°）岑（%+&8）10=50

..Sio=z11U-L.

故选：C.

点评：本题考查等差数列的前10项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差

数列的性质的合理运用.

5.已知集合M={x|x2—2x—3<0},N={x|x21},则MGN二

A.(3,+oo)B.(l,3)C.[l,3)D.(-l,+oo)

参考答案：

C

略

6.已知圆4：/+V-U+期.。与圆C,：L+V+号-4.。的公共弦所在直线恒过定点

气*与，且点，在直线皿一"一2=。上，则—的取值范围是()

参考答案：

D

、：J-kx<S与/+y2+ky-40,相减得公共弦所在直线方程：丘+人->「；，即

j2y+4-0

k：x-VIJ2\-4：0,所以由[；+丫-0得K2.\2,

01+!)2I

…一.2m，2n2=0・・・a，n-Lmn<(―)=-

即P(2・2),因此2L选D.

点睛：在利用基本不等式求最值或值域时，要特别注意“拆、拼、凑''等技巧，使其满足基

本不等式中，，正，，(即条件要求中字母为正数)、“定，，(不等式的另一边必须为定值)、“等，，(等

号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.

7.右图是棱长为2的正方体的表面展开图，则多面体48CQE的体积为

A.2B.3C.3D.3

参考答案：

D

多面体应为四棱锥，利用割补法可得其

4_8

-

体积33,选D.

8.已知函数/（X）是定义域为R的偶函数，且/a+D=-/（x）,若/（X）在「L01上是增

函数，那么了仪〉在［1,3］上是（）

A.增函数B.减函数C.先增后减的函数D.

先减后增的函数

参考答案：

C

略

9.我校要从4名男生和2名女生中选出2人担任H7N9禽流感防御宣传工作，则在选出的

宣传者中，男、女都有的概率为（）

_8J.2_4

A.15B.2C.5D.15

参考答案：

A

考点：排列、组合及简单计数问题；古典概型及其概率计算公式.

专题：计算题；概率与统计.

分析：所有的选法共有,6种，其中，男、女都有的选法有4X2种，由此求得男、女都

有的概率.

解答：解：所有的选法共有。6=15种，其中，男、女都有的选法有4X2=8种，

8

故男、女都有的概率为15,

故选A.

点评：本题考查古典概型及其概率计算公式的应用，属于基础题.

10.如图是60名学生参加数学竞赛的成绩（均为整数）的频率分布直方图，估计这次数学

竞赛的及格率（60分及以上为及格）是（）

参考答案:

B

大于或等于60分的共四组，它们是：

[59.5,69.5），[69.5,79.5）,[79.5,89.5）,[89.5,99.5）.

分别计算出这四组的频率，

如[79.5,89.5）这一组的矩形的高为0.025

直方图中的各个矩形的面积代表了频率，则[79.5,89.5）这一组的频率=0.025x10=0.25

同样可得，60分及以上的频率=（0.015+0.03+0.025+0.005）x10=0.75

估计这次数学竞赛竞赛的及格率（大于或等于60分为及格）为75%,

故选：B.

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分，共28分

11.二维空间中圆的一维测度（周长）？=2初，二维测度（面积）£观察发现

p=—m

$'=」；三维空间中球的二维测度（表面积）S=4m<三维测度（体积）3,

观察发现『=己知四维空间中“超球”的三维测度/=8加二猜想其四维测度

时=.

参考答案：

【知识点】类比推理.Ml

【答案解析】2加’解析：...二维空间中圆的一维测度（周长）1=2nr,二维测度

（面积）S=nr:观察发现S'=1,三维空间中球的二维测度（表面积）S=4KN,三维测

4

度（体积）V=3nr\观察发现V'=S,...四维空间中“超球”的三维测度V=8北比猜想

其四维测度W,则W'=V=8Jir3；

.•.W=2nr\故答案为：2nr"

【思路点拨】根据所给的示例及类比推理的规则得出高维的测度的导数是底一维的测度，

从而得到W'=V,从而求出所求.

12.在4xD+9xa=60的两个口中分别填入两个正整数，使它们的倒数和最小，则应分别填上

和。

参考答案：

6?i1J

略

Z1

13.若z尸a+2i,Z2=3-4i,且Z2为纯虚数，则实数a的值为.

参考答案：

同

【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念.

Z1

【分析】把zi=a+2i,zz=3-4i代入Z2,然后化简，复数分子、分母同乘分母的共轨复

数，利用实部等于0,虚部不为0,求出a即可.

立a+2i=(a+2i)(3+4i)=3a-8+(4a+6)i

［解答］解：z2=3-4i=(3-4i)(3+4i)=5"

_8

它是纯虚数，所以3a-8=0,且4a+6W0,解得a=5

_8

故答案为：y

14.已知奇函数/5)是定义在R上的增函数,数列是一个公差为2的等差数列

满足八硝+/(%)+/(为0)+,(电)=°,贝XJOU的值

参考答案：

4003

15.若双曲线a2b2=l(a>0,b>0)的右焦点到渐近线的距离等于焦距的-7倍，则双

曲线的离心率为,如果双曲线上存在一点P到双曲线的左右焦点的距离之差为4,

则双曲线的虚轴长为.

参考答案：

2,473

【考点】KC：双曲线的简单性质.

返

【分析】根据右焦点到渐近线的距离等于焦距的4倍，得到c=2a,根据P到双曲线的左

右焦点的距离之差为4,得到2a=4,然后进行求解即可.

返

【解答】解：•••右焦点到渐近线的距离为b,若右焦点到渐近线的距离等于焦距的4

倍，

b=4?2c=2c,

_3

平方得bMc2=c2-a2,

即aMc2,

则c=2a,则离心率e=a,

・・•双曲线上存在一点P到双曲线的左右焦点的距离之差为4,

.\2a=4,贝ija=2,

从而b=V16Y=2Vi

故答案为：2,473

16.代数式(1-x)(1+x)5的展开式中R的系数为.

参考答案：

0

【分析】

根据二项式定理写出(1+X)5的展开式，即可得到炉的系数.

【详解】：(l-x)(1+x)5=(1-x)“??》3"^?/"^?第5),

/.(17)(1+X)5展开式中V的系数为

=0

故答案为：0.

【点睛】此题考查二项式定理，关键在于熟练掌握定理的展开式，根据多项式乘积关系求

得指定项的系数.

17.某次测量发现一组数据(丹・必)具有较强的相关性，并计算得5=X+1,其中数据

。,为)，Y)因书写不清，只记得无是。3］内的任意一个值，则该数据对应的残差的绝

对值不大于I的概率为.(残差=真实值一预测值)

参考答案：

■y由.2x+l,蹲"=L1=Z.由于Bt用值为2.|»-2|0.因比1«3.当》(口.3］时.数£对

应的疚发的把XJfll不大于L由于a是内的任意一个假，因虬致口刈应的残差的给电值不大于I的

假率年

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算

步骤

18.(本小题满分12分)

在AABC中，角48c的对应边分别是4瓦。满足匕2+<?=•+/.

(I)求角上的大小；(II)已知等差数列QJ的公差不为零，若《遥。§/=1,且

‘4"

<-------->

4小々，角成等比数列，求数列J的前"项和S*.

参考答案：

【知识点】数列求和D4

nn

【答案解析】(I)A=1(II)»+1

(I)=历+〃，

b2+c2-a2be}1贯

2bc-2bc-2,/.cosA=2,VAe(0,n),.，.A=3.

(ID设{aj的公差为d,

Va1cosA=L且&,a”a#成等比数列，/.ai=cos^4=2,且a/=a2?a«,

(a,+3d)J(ai+d)(a>+7d),且d#0,解得d=2,：.a„=2n,

4111

--...........———-----

.­=〃("I)»"+】，

1211Ij__1__1____n

.'.Sn=(1-2)+(2-3)+(3-4)+…+(n附+1)=1-〃+1="+1.

一be11

【思路点拨】(I)由已知条件推导出―茨―=2bc=2,所以COSA=E,由此能求

n

出A=3.

(II)由已知条件推导出(ai+3d)2=(ai+d)(a1+7d),且dKO,由此能求出an=2n,从

---4--二----1---—1——1-------4--

而得以%%,]nx+1,进而能求出｛Q%*i｝的前n项和S..

19.在中，己知(a+b+c)(a+c-b)=%c

(1)求角B的度数；(2)求28$24+cos(d-C)的取值范围.

参考答案：

解：(1)由(a+b+c)(a+c-b)=3oe得J+cf=w

cos5=-

由余弦定理得2

开

Bn=一

所以角3-----------

6分

A、C2%

A^C=—

(2)由(1)知

2cos24+co$(4-C)=1+co$24+coS(24-券)

=1♦cos24」cos2A♦鱼5皿2A

22

=加(2/+令+1

10分

八，2JT开八，开3万

0A<——<24+一<—

由3得662

-L3+令$1

所以28$24+cos(n-C)的取值范围为[o,2].

20.设定义在(0,+8)上的函数7U)=or++仪。＞0).

(1)求危)的最小值;

(2)若曲线y=/(x)在点(1,/(1))处的切线方程为>=X，求m力的值.

参考答案：

解：(1)(方法一)由题设和均值不等式可知，

“r)=ax++b>2+b.

其中等号成立当且仅当以=1.

即当x=时，取最小值为2+4

(方法二加尤)的导数了(幻=4-=.

当x>时，f(x)>0,7U)在上递增；

当0<x〈时，/(x)<(),<x)在上递减.

所以当x=时，/U)取最小值为2+6.

(2).

由题设知，f(1)=a-=,

解得。=2或。=一(不合题意，舍去).

将a=2代入/(I)=a++6=,解得》=—1,

所以a=2,6=-1.

21.在也西。中，记N"C=x(角的单位是弧度制)，&43c的面积为s,且

AB记=&44SW4、©.

(1)求x的取值范围;

⑵就⑴中x的取值范围，求函数/a)=W$m2x+co$2x的最大值、最小值.

参考答案:

解(1)•.•©(7=X，而希=8,4<S<4^3,

S=-bcsinx

又2

Aecosx=8,S=4tanx,即IWtanxwJ..........4分

；•所求的x的取值范围是

-<x<-

43.7分

—5xS-

(2)43,

/(x)=W5jn2x+cos2x

=2sui(2x+1),

9分

5--.”一5〃1一小”、一小

—42x+—4——工$m(2x+—)W

366,26211分

.H.吗)=I/('=片)=.

14分

略

22.

过双曲线4-3d=3的上支上一点P作双曲线的切线交两条渐近线分别于点.

(1)求证：刀方为定值;

(2)若砺=击，求动点M的轨迹方程.

参考答案：

解析：设汽钞)，则尤=心+3%,

t6x3x

由，=小+3/求导得2g+3/J3+34

尸为=红6一1口，J

切线方程为K即取)・％=3.-3%