专题01 三角形的高与三角形的中线结合（含解析）

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专题01三角形的高与三角形的中线结合

1．如图，△ABC中，BD、BE分别是高和角平分线，点F在CA的延长线上，FH⊥BE，交BD于点G，交BC于点H.下列结论：

①∠DBE=∠F；②∠F=∠BAC-∠C；

③2∠BEF=∠BAF+∠C；④∠BGH=∠ABE+∠C．其中正确的有（）

A．1B．2C．3D．4

2．如图，AD，AE分别是的高和角平分线，，，则度．

3．如图：中，，，于D，CE平分，于F，则°．

4．如图，在中，BE平分，于点E，的面积为2，则的面积是．

5．如图，在ABC中，∠ACB=90°，∠CDB=90°，CE是ABC的角平分线．已知∠CEB=105°，求∠ECB，∠ECD的大小．

6．已知，如图，在中，，分别是的高和角平分线，若，，求的度数．

7．如图，AD是的高，CE是的角平分线．若，，求的度数．

8．在中，平分交于点D，，垂足为点H，若，，求的度数．

9．如图，已知是的角平分线，是的边上的高，与交于点，，，求和的度数．

10．如图，△ABC中，AD是高，AE，BF是角平分线，它们相交于点O，∠CAB=50°，∠C=60°，求∠DAE和∠BOA的度数．

11．如图，在中，是边上的高，，分别是和的角平分线，它们相交于点，．求的度数．

12．如图，在中，是高，，分别是，的角平分线，它们相交于点，，，求和的度数.

13．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠B=50°，AE，CF是角平分线，它们相交于为O，AD是高，求∠BAD和∠AOC的度数．

14．如图，在中，，，线段CD和CE分别为的角平分线和高线．求、的大小．

15．如图，在△ABC中，AD是△ABC的高线，AE、BF是△ABC的角平分线，且两条角平分线交于点O，∠BAD＝60°，∠C＝70°．

(1)求∠EAD的度数；

(2)直接写出∠AOB＝．

16．如图，已知，分别是的高和角平分线，，．

(1)求；

(2)若，求的长．

17．如图，在△ABC中，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线，若∠B=30°，∠C=50°．

(1)求∠DAE的度数；

(2)试写出∠DAE与∠C-∠B有何关系关系为：．

18．如图，在ABC中AD、AE、AF分别为△ABC的高、角平分线和中线，已知AFC的面积为10，AD＝4，∠DAE＝20°，∠C＝30°．

（1）求BC的长度；

（2）求∠B的度数．

19．已知：在中，，分别是的高和角平分线，若．你能帮助工人师傅解决下面的问题吗．

（1）求的度数；

（2）试写出与有何关系．（不必证明）

20．如图，在中，是边上的高，是的平分线.

（1）若，，求的度数；

（2）若，，求的度数（用含，的式子表示）

（3）当线段沿方向平移时，平移后的线段与线段交于点，与交于点，若，，求与、的数量关系.

21．如图①，平分，⊥，∠B=450,∠C=730．

（1）求的度数；

（2）如图②，若把“⊥”变成“点F在DA的延长线上，”，其它条件不变，求的度数；

（3）如图③，若把“⊥”变成“平分”，其它条件不变，的大小是否变化，并请说明理由．

22．如图，在中，是高，是角平分线，，．

（）求、和的度数．

（）若图形发生了变化，已知的两个角度数改为：当，，则__________．

当，时，则__________．

当，时，则__________．

当，时，则__________．

（）若和的度数改为用字母和来表示，你能找到与和之间的关系吗？请直接写出你发现的结论．

参考答案：

1．C

【分析】根据BD⊥FD，FH⊥BE和∠FGD=∠BGH，证明结论正确；

②证明∠DBE=∠BAC-∠C，根据①的结论，证明结论正确；

③根据角平分线的定义和三角形外角的性质证明结论正确；

④根据角平分线的定义和三角形外角的性质证明结论正确．

【详解】①∵BD⊥FD，

∴∠FGD+∠F=90°，

∵FH⊥BE，

∴∠BGH+∠DBE=90°，

∵∠FGD=∠BGH，

∴∠DBE=∠F，

正确；

②

∠ABD=90°∠BAC,

∠DBE=∠ABE∠ABD=∠ABE90°+∠BAC=∠CBD∠DBE90°+∠BAC，

∵∠CBD=90°∠C，

∴∠DBE=∠BAC∠C∠DBE，

由①得，∠DBE=∠F，

∴∠F=∠BAC∠C∠DBE，

②错误；

③∵BE平分∠ABC，

∴∠ABE=∠CBE，

∠BEF=∠CBE+∠C，

∴2∠BEF=∠ABC+2∠C，

∠BAF=∠ABC+∠C，

∴2∠BEF=∠BAF+∠C，

③正确；

④∵∠AEB=∠EBC+∠C，

∵∠ABE=∠CBE，

∴∠AEB=∠ABE+∠C，

∵BD⊥FC，FH⊥BE，

∴∠FGD=∠FEB，

∴∠BGH=∠ABE+∠C，

④正确，

故答案为①③④.

【点睛】本题主要考查三角形内角和定理,三角形的角平分线、中线和高,三角形的外角性质，熟悉掌握是关键.

2．15

【分析】先根据三角形内角和定理求出∠BAC，再根据角平分线定义和直角三角形的两锐角互余求得∠EAC和∠DAC的度数即可解答．

【详解】∵，，

∴．

∵AE是角平分线，

∴．

∵AD是高，，

∴，

∴，

故答案为：15．

【点睛】本题考查三角形内角和定理、三角形的角平分线与高、直角三角形两锐角互余，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．

3．80

【分析】先求解再利用角平分线的定义求解结合三角形的高求解从而可得再利用三角形的内角和定理可得答案.

【详解】解：，，

CE平分，

，，

，

故答案为：

【点睛】本题考查的是三角形的高，角平分线的定义，三角形的内角和定理的应用，熟悉概念，掌握严谨的逻辑推理是解本题的关键.

4．4

【分析】延长AE交BC于D，由已知条件得到，，根据全等三角形的判定和性质可得，利用等底同高找出面积相等的三角形即可得出结论．

【详解】解：延长AE交BC于D，

∵BE平分，

∴，

∵，

∴，

在和中，

，

∴，

∴，

∴，，

∴

故答案为：4．

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，正确的作出辅助线是解题的关键．

5．∠ECB=45°，∠ECD=15°

【分析】由CE平分∠ACB，可得∠ECB的度数，根据CD是AB边的高可知∠CDE=90°，再根据三角形的外角性质有∠CEB=∠CDE+∠ECD，据此得∠ECD的度数．

【详解】解：∵平分，，

∴

∵是边的高

∴

而，

∴

【点睛】本题考查三角形的高，角平分线定义以及外角的性质，熟记这些性质是解题的关键．

6．10°

【分析】根据三角形内角和定理为180度，得，根据三角形角平分线平分，三角形高为直角，即可求出的度数．

【详解】∵且，

∴

∵是的角平分线

∴

∴

又∵是的高

∴

∴在中，

∴

∴

∵

∴

∴

【点睛】本题考查三角形的内角和定理，三角形的高、角平分线的性质等知识；解题的关键是掌握，三角形内角和为，角平分线平分角．

7．

【分析】AD是的高，有；由知；CE是的角平分线可得；，；在中，．

【详解】解：∵AD是的高

∴

∵

∴

∵CE是的角平分线

∴

∵

∴

∴在中，．

【点睛】本题考查了角平分线．解题的关键在于正确表示各角度之间的数量关系．

8．

【分析】根据三角形的角平分线算出，再根据三角形内角和定理算出，再根据算出，最后可算出．

【详解】解：∵平分，

∴，

∵，

∴

，

∵，

∴，

∴，

∴．

【点睛】本题考查了三角形的角平分线，三角形内角和定理和直角三角形的两个锐角互余，解题的关键是熟记三角形的角平分线，三角形内角和定理和直角三角形的两个锐角互余．

9．，．

【分析】根据角平分线的定义可得，再根据直角三角形的两锐角互余可得，然后根据三角形的外角性质即可得．

【详解】解：是的角平分线，且，

，

是的边上的高，且，

，

由三角形的外角性质得：．

【点睛】本题考查了角平分线的定义、直角三角形的两锐角互余、三角形的外角性质，熟练掌握角平分线的定义是解题关键．

10．∠DAE=5°，∠BOA=120°

【分析】先利用三角形内角和定理可求∠ABC，在直角三角形ACD中，易求∠DAC；再根据角平分线定义可求∠CBF、∠EAF，可得∠DAE的度数；然后利用三角形外角性质，可先求∠AFB，再次利用三角形外角性质，容易求出∠BOA．

【详解】解：如图：

∵∠CAB=50°，∠C=60°

∴∠ABC=180°50°60°=70°，

又∵AD是高，

∴∠ADC=90°，

∴∠DAC=180°90°∠C=30°，

∵AE、BF是角平分线，

∴∠CBF=∠ABF=35°，∠EAF=25°，

∴∠DAE=∠DAC∠EAF=5°，

∠AFB=∠C+∠CBF=60°+35°=95°，

∴∠BOA=∠EAF+∠AFB=25°+95°=120°，

故∠DAE=5°，∠BOA=120°．

【点睛】本题考查了三角形内角和定理、角平分线定义、三角形外角性质．关键是利用角平分线的性质解出∠EAF、∠CBF，再运用三角形外角性质求出∠AFB．

11．．

【分析】根据角平分线的性质，由，得到，然后得到∠C，由余角的性质，即可求出答案.

【详解】解：，分别是和的角平分线，

，．

，

，

．

是边上的高

，

．

【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形的内角和定理，以及余角的性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确求出，从而求出答案.

12．，

【分析】因为AD是高，所以∠ADC=90°，又因为∠C=∠BAC+20°=70°，所以∠DAC度数可求；因为∠BAC=50°，∠C=70°，所以∠BAO=25°，∠ABC=60°，BF是∠ABC的角平分线，则∠ABO=30°，故∠BOA的度数可求．

【详解】解：

∵，

∴，

∴，

∵在中，是高，

∴在中，，

∵，分别是，的角平分线，

∴，，

∴,

所以，，.

故答案为；.

【点睛】本题考查三角形的内角和定理，高线、角平分线的定义，熟记定义并准确识图，理清图中各角度之间的关系是解题的关键．

13．∠BAD=40°，∠AOC=115°．

【分析】先根据直角三角形的两个锐角互余，求得再根据角平分线的定义，求得最后根据三角形内角和定理，求得中的度数．

【详解】∵AD是高,

中,

∴△ABC中,

∵AE，CF是角平分线，

∴△AOC中,

14．

【分析】根据三角形内角和和得出，再根据角平分线性质求解，再得出，最后根据三角形的一个外角等于不相邻的两个内角和求解即可.

【详解】解：∵在中，，，

∴，

∵CD为的角平分线，

∴，

∴，

∵CE为的高线，

∴，

∵，

∴．

【点睛】本题主要考查三角形的角平分线、高、外角的性质，熟练掌握定义和性质是关键.

15．(1)∠EAD=20°

(2)125°

【分析】(1)根据垂直的定义，角平分线的定义，以及角的和差关系即可求解；

（2）根据角平分线的定义，以及三角形内角和定理即可求解．

【详解】（1）∵AD是ABC的高，∠C=70°，

∴∠CAD=90°-∠C=20°

∴∠BAC=∠BAD+∠CAD=60°+20°=80°

又∵AE是ABC的平分线

∴∠BAE=∠EAC=°=40°

∴∠EAD=∠EAC-∠CAD=40°-20°=20°

（2）∵∠ABC+∠BAC+∠C=180°

∴∠ABC=180°-∠BAC-∠C=180°-80°-70°=30°

又∵BF是ABC的角平分线，

∴∠ABF=°=15°

∵∠ABO+∠AOB+∠BAO=180°

∴∠AOB=180°-∠ABO-∠BAO=180°-15°-40°=125°

【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线定义，解题的关键是熟悉掌握利用角平分线的性质．

16．(1)5°；

(2)4.8cm；

【分析】（1）由角平分线得到，由直角三角形的性质，得到，即可求出答案；

（2）利用三角形的面积公式，即可求出答案．

【详解】（1）解：∵平分，，

∴，

∵⊥，

∴，

∴，

∴；

（2）解：∵，，

又∵，

∴，

∴cm；

【点睛】本题考查了角平分线的定义，直角三角形的性质，三角形的面积公式，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的进行解题．

17．(1)∠DAE=10°；

(2)∠DAE=（∠C-∠B）

【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠CAB，根据角平分线定义求出∠CAE，求出∠ADC=90°，根据三角形内角和定理求出∠CAD，即可得出答案；

（2）根据三角形内角和定理求出∠CAB，根据角平分线定义求出∠CAE，求出∠ADC=90°，根据三角形内角和定理求出∠CAD，即可得出答案．

【详解】（1）解：∵∠B=30°，∠C=50°，

∴∠BAC=180°-∠B-∠C=100°，

∵AE是∠BAC的平分线，

∴∠CAE=∠BAC=50°，

∵AD是△ABC的高，

∴∠ADC=90°，

∵∠C=50°，

∴∠CAD=90°-∠C=40°，

∴∠DAE=∠CAE-∠CAD=50°-40°=10°；

（2）解：∠DAE=（∠C-∠B），

理由是：∵∠B+∠C+∠CAB=180°，

∴∠BAC=180°-∠B-∠C，

∵AE是∠BAC的平分线，

∴∠CAE=∠BAC=（180°-∠B-∠C）=90°-（∠B+∠C），

∵AD是△ABC的高，

∴∠ADC=90°，

∴∠CAD=90°-∠C，

∴∠DAE=∠CAE-∠CAD=90°-（∠B+∠C）-（90°-∠C）

=（∠C-∠B）．

故答案为：∠DAE=（∠C-∠B）．

【点睛】本题考查了角平分线定义，三角形的高，三角形的内角和定理等知识点，能求出∠CAE和∠CAD的度数是解此题的关键．

18．（1）10；（2）70°

【分析】（1）求出△ABF和△ACF的面积相等，根据三角形的面积求出BF，再求出BC即可；

（2）求出∠AED的度数，根据三角形的外角性质求出∠CAE，根据角平行线的定义求出∠BAC，根据三角形内角和定理求出∠B即可．

【详解】解：（1）∵AF是△ABC的中线，

∴BC＝2BF＝2CF，BF＝CF，

∴△ABF和△ACF的面积相等，

∵△AFC的面积为10，

∴∠ABF的面积为10，

∵AD＝4，

∴＝10，

∴BF＝5，

∴BC＝2BF＝10；

（2）∵AD是△ABC的高，

∴∠ADC＝90°，

∵∠DAE＝20°，

∴∠AED＝180°﹣90°﹣20°＝70°，

∵∠C＝30°，

∴∠CAE＝∠AED﹣∠C＝40°，

∵AE是△ABC的角平分线，

∴∠BAC＝2∠CAE＝80°，

∴∠B＝180°﹣∠BAC﹣∠C＝180°﹣80°﹣30°＝70°．

【点睛】本题考查了三角形的角平分线、中线、高，三角形的内角和定理，三角形的外角性质，三角形的面积等知识点，能求出BF的长和∠CAE的度数是解此题的关键．

19．（1）10°；（2）

【分析】（1）先根据三角形内角和定理求出的度数，再利用角平分线的定义求得的度数，然后由直角三角形两锐角互余求出的度数，两角相减即可得解；

（2）先根据三角形内角和定理用含、的式子表示出的度数，再利用角平分线的定义求得的度数，然后由直角三角形两锐角互余求出的度数，两角相减即可得解．

【详解】解：（1）∵

∴

∵是的角平分线

∴

∵是的高，

∴

∴．

（2）同（1）的思路，

∵，

∴．

故答案是：（1）；（2）

【点睛】本题考查了三角形内角和定理、角平分线定义以及直角三角形两锐角互余等知识点，属基础题目，两问解题思路是一样的，体现了从特殊到一般的思想方法．

20．（1）∠DCE＝18°；；（2）(β－α)；（3）∠HGE＝(β－α)．

【分析】（1）根据三角形的内角和得到∠ACB=64°，根据角平分线的定义得到∠ECB=∠ACB=32°，根据余角的定义得到∠DCE=90°-∠DEC=184°，于是得到结论；

（2）根据角平分线的定义得到∠ACB=180°-α-β，根据角平分线的定义得到∠ECB=∠ACB=（180°-α-β），根据余角的定义得到∠BCD=90°-∠B=90°-β，于是得到结论；

（3）作出平移图，因为GH∥CD，所以∠HGE＝∠DCE，由（2）得到∠DCE＝(β－α)，进而得到∠HGE＝(β－α)

【详解】解：（1）∵∠A＝40°，∠B＝76°，

∴∠ACB＝180°－∠A－∠B＝180°－40°－76°＝64°，

∵CE平分∠ACB，

∴∠ACE＝∠ACB＝×64°＝32°，

∴∠DEC＝∠A＋∠ACE＝40°＋32°＝72°，

∵CD是AB边上的高，

∴∠CDE＝90°，

∴∠DCE＝90°－∠DEC＝90°－72°＝18°；

（2）∵∠A＝α，∠B＝β，

∴∠ACB＝180°－∠A－∠B＝180°－α－β，

∵CE平分∠ACB，

∴∠ACE＝∠ACB＝(180°－α－β)＝90°－α－β，

∴∠DEC＝∠A＋∠ACE＝α＋90°－α－β=90°＋α－β，

∵CE是AB边上的高，

∴∠CDE＝90°，

∴∠ECD＝90°－∠DEC

＝90°－(90°＋α－β)＝β－α

＝(β－α)；

（3）如图，由平移知GH∥CD，所以∠HGE＝∠DCE，

由（2）知∠DCE＝(β－α)，

所以∠HGE＝∠DCE＝(β－α)，

即∠HGE与α，β的数量关系

为∠HGE＝(β－α)．

【点睛】本题考查了三角形的内角和，角平分线的定义，熟练掌握三角形的内角和是解题的关键．

21．（1）∠DAE=14°；（2）∠DFE=14°；（3）∠DAE的大小不变，∠DAE=14°，证明详见解析.

【分析】（1）求出∠ADE的度数，利用∠DAE=90°-∠ADE即可求出∠DAE的度数．

（2）求出∠ADE的度数，利用∠DFE=90°-∠ADE即可求出∠DAE的度数．

（3）利用AE平分∠BEC，AD平分∠BAC，求出∠DFE=15°即是最好的证明．

【详解】（1）∵∠B=45°，∠C=73°，

∴∠BAC=62°，

∵AD平分∠BAC，

∴∠BAD=∠CAD=31°，

∴∠ADE=∠B+∠BAD=45°+31°=76°，

∵AE⊥BC，

∴∠AEB=90°，

∴∠DAE=90°-∠ADE=14°．

（