专题23三角形内接矩形（含解析）

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专题23三角形内接矩形

1．如图，在△ABC中，BC＝8，高AD＝6，点E，F分别在AB，AC上，点G，F在BC上，当四边形EFGH是矩形，且EF＝2EH时，则矩形EFGH的周长为（）

A．B．C．D．

2．如图，在直角三角形ABC中（∠C=90°），放置边长分别3，4，x的三个正方形，则x的值为（）

A．5B．6

C．7D．12

3．如图，已知在中，为直角，，，在内从左往右叠放边长为1的正方形小纸片，第一层小纸片的一条边都在上，依次这样往上叠放上去，则第二层最多能叠放个正方形小纸片.

4．如图，在Rt△ABC中∠C=90°，放置边长分别为4、6、x的三个正方形，则x的值为

5．如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成矩形零件PQMN，使矩形PQMN的边QM在BC上，其余两个顶点P，N分别在AB，AC上．

（1）当矩形的边PN=PQ时，求此时矩形零件PQMN的面积；

（2）求这个矩形零件PQMN面积S的最大值．

6．如图，一块直角三角形木板，其中，现在要把它们加工成一个面积最大的矩形，甲、乙两位木工师傅的加工方法分别如图1、图2所示，请用学过的知识说明哪位师傅的加工方法符合要求．

7．一块直角三角形木料板的一条直角边长，面积为，现要把它加工成一个面积较大的正方形桌面，甲、乙两位同学的加工方法分别如图甲、乙，请你用学过的知识说明哪位同学的加工方法更好（加工损耗忽略不计，结果可保留分数）

8．如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成长方形零件PQMN，使长方形PQMN的边QM在BC上，其余两个顶点P，N分别在AB，AC上，求这个长方形零件PQMN面积S的最大值．

9．已知一块等腰三角铁板废料如图所示，其中AB＝AC＝50cm，BC＝60cm，现要用这块废料裁一块正方形DEFG铁板，使它的一边DE落在△ABC的一腰上，顶点F、G分别落在另一腰AB和BC上，求；

(1)等腰三角形ABC的面积S△ABC；

(2)正方形DEFG的边长．

10．如图，△ABC是一块三角形余料，AB=AC=13cm，BC=10cm，现在要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在△ABC的边上，其余两个顶点分别在三角形另外两条边上．试求正方形的边长是多少？

11．如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成矩形零件PQMN，使一边在BC上，其余两个顶点分别在边AB、AC上．若这个矩形的边PN∶PQ＝1∶2，则这个矩形的长、宽各是多少？

12．一块材料的形状是等腰△ABC，底边BC=120cm，高AD=120cm．

(1)若把这块材料加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上（如图1），则这个正方形的边长为多少？

(2)若把这块材料加工成正方体零件（如图2，阴影部分为正方体展开图），则正方体的表面积为多少？

13．如图1，是一张等腰直角三角形彩色纸，，将斜边上的高四等分，然后裁出3张宽度相等的长方形纸条．

（1）分别求出3张长方形纸条的长度；

（2）若用这些纸条为一幅正方形美术作品镶边（纸条不重叠），如图2，正方形美术作品的面积最大不能超过多少（用含a的代数式表示）．

14．已知：如图，有一块面积等于1200cm2的三角形纸片ABC，已知底边与底边BC上的高的和为100cm（底边BC大于底边上的高），要把它加工成一个正方形纸片，使正方形的一边EF在边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上，求加工成的正方形铁片DEFG的边长．

15．如图，有一块三角形土地，它的底边m，高m，某单位要沿底边BC建一座是矩形的大楼，且使矩形的两个端点D、G分别在AB、AC上，当这座大楼的地基面积为1875时，求这个矩形沿BC边所占的EF的长．

16．课本中有一道作业题：有一块三角形余料ABC，它的边BC=120mm，高AD=80mm．要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．

(1)加工成的正方形零件的边长是多少mm？

(2)如果原题中要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，如图1，此时，这个矩形零件的两条边长又分别为多少？请你计算．

(3)如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图2，这样，此矩形零件的两条边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长．

17．问题提出：数学课本上有这样一道题目：如图①，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC=120mm，高AD=80mm．把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？

初步思考：

（1）试计算出正方形零件的边长；

深入探究：

（2）李华同学通过探究发现如果要把△ABC按照图②加工成三个相同大小的正方形零件，△ABC的边BC与高AD需要满足一定的数量关系．则这一数量关系是：．（直接写出结论，不用说明理由）；

（3）若△ABC可以按照图③加工成四个大小相同的正方形，且∠B=30°，求证：AB=BC．

18．课本中有一道作业题：

有一块三角形余料ABC，它的边BC=120mm，高AD=80mm．要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．问加工成的正方形零件的边长是多少mm？

小颖解得此题的答案为48mm，小颖善于反思，她又提出了如下的问题．

（1）如果原题中要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，如图1，此时，这个矩形零件的两条边长又分别为多少mm？请你计算．

（2）如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图2，这样，此矩形零件的两条边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长．

参考答案：

1．C

【分析】通过证明△AEF∽△ABC，可得，可求EH的长，即可求解．

【详解】∵EF∥BC，

∴△AEF∽△ABC，

∴，

∵EF＝2EH，BC=8，AD=6，

∴

∴EH＝，

∴EF＝，

∴矩形EFGH的周长＝

故选：C．

【点睛】本题考查了相似三角形的应用，根据相似三角形对应边成比例建立方程是解题的关键．

2．C

【分析】根据已知条件可以推出△CEF∽△MOE∽△PFN然后把它们的直角边用含x的表达式表示出来，利用对应边的比相等，即可推出x的值．

【详解】解：如图：

在直角三角形ABC中（∠C=90°），放置边长分别3，4，x的三个正方形，

△CEF∽△MOE∽△PFN

则有,

∴，

解得：x=0(舍)，x=7，

故选C．

【点睛】本题考查相似三角形的性质，在图形中找到相似三角形是解题的关键．

3．7

【分析】求出AB的长后，根据相似三角形的性质求出EF的长度，从而判定可放置的正方形的个数.

【详解】

解：由勾股定理得：AB==13．

由三角形的面积计算公式可知：△ABC的AB边上的高=．

如图所示：根据题意有：△CAB∽△CEF

∴==

∴EF==

∴第二层可放置7个小正方形纸片．

故答案为7.

【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定、正方形的性质等问题，解题的关键是在掌握所学知识点的同时，要具有综合分析问题、解决问题的能力．

4．10.

【分析】根据已知条件可以证明△CEF∽△OME∽△PFN，然后把它们的直角边用x表示出来，利用对应边成比例，即可求解.

【详解】解：在Rt△ABC中∠C=90°，放置边长分别为4、6、x的三个正方形

∴∠OEM+∠FEC=90°，∠OEM+∠EMO=90°，∠C=∠EOM=90°

∴∠EMO=∠FEC

∴△OME∽△CEF

同理可以证得△PFN∽△OME

∴△CEF∽△OME∽△PFN

∵EF=x，MO=4，PN=6

∴OE=x-4，PF=x-6

∴（x-4）：6=4：（x-6）

∴（x-4）（x-6）=24

解得x=10或x=0（舍去）

故答案为：10.

【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，正方形的性质，解题的关键在于能够找到相似三角形进行求解.

5．（1）矩形零件PQMN的面积为2304mm2;（2）这个矩形零件PQMN面积S的最大值是2400mm2.

【分析】（1）设PQ=xmm，则AE=AD-ED=80-x，再证明△APN∽△ABC，利用相似比可表示出,根据正方形的性质得到（80-x）=x,求出x的值，然后结合正方形的面积公式进行解答即可．

（2）由（1）可得，求此二次函数的最大值即可．

【详解】解：（1）设PQ=xmm，

易得四边形PQDE为矩形，则ED=PQ=x，

∴AE=AD-ED=80-x，

∵PN∥BC，

∴△APN∽△ABC，

，

即，

，

∵PN=PQ，

，

解得x=48．

故正方形零件PQMN面积S=48×48=2304（mm2）．

（2）

当时，S有最大值==2400（mm2）．

所以这个矩形零件PQMN面积S的最大值是2400mm2.

【点睛】本题考查综合考查相似三角形性质的应用以及二次函数的最大值的求法．

6．有最大面积是3，两个师傅的做法均符合要求，理由见解析．

【分析】根据相似三角形求矩形的长与宽的函数关系式，然后表示出有关面积的函数关系式并求出其最大值，找到最大的方案即可．

【详解】解：（1）如图1，设，矩形的面积记为，

由题意，，

即：

解得其中

有最大面积是3．

（2）如图2，作于点，交与点

，

设，则

即：

整理得：

故两个师傅的做法均符合要求．

图2

【点睛】此题考查了相似三角形的性质，相似三角形的对应边成比例；解此题的关键是将实际问题转化为数学问题进行解答．

7．甲同学的加工方法更好．

【分析】先根据直角三角形的面积公式、勾股定理求出BC、AC的长，再根据相似三角形的判定与性质求出正方形的边长，然后求出两个正方形的面积，比较大小即可得．

【详解】解：

甲同学：

设正方形的边长为

则

由正方形的性质得：

，即

解得

则正方形的面积为

乙同学：

设正方形的边长为，则

由正方形的性质得：

，即

解得

在和中，

，即

解得

则正方形的面积为

因

则甲同学的加工方法更好．

【点睛】本题考查了正方形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识点，理解题意，掌握正方形与相似三角形的性质结合是解题关键．

8．这个长方形零件PQMN面积S的最大值是2400mm2

【详解】试题分析：设长方形零件PQMN的边PN=a，PQ=x，则AE=80﹣x，利用△APN∽△ABC得相似比，用相似比可得出用含x的式子表示a，故S=xa，从而得出二次函数解析式，根据解析式及自变量取值范围求S的最大值．

试题解析：设长方形零件PQMN的边PN=a，PQ=x，则AE=80﹣x．∵PN∥BC，

∴△APN∽△ABC．

∴=．

因此，=．

解得a=120﹣x．

所以长方形PQMN的面积S=xa=x（120﹣x）=﹣x2+120x．

当x=﹣=40时，a=60．

S最大值=40×60=2400（mm2）．

所以这个长方形零件PQMN面积S的最大值是2400mm2.

点睛：本题主要运用了相似三角形的性质，对应边的比等于对应高的比，同时考查了二次函数最值的求法，解题时灵活运用相似三角形的判定与性质解题是关键.

9．(1)S△ABC＝1200cm2

(2)正方形DEFG的边长为

【分析】（1）过A作AH⊥BC于H，根据等腰三角形的性质得到BH＝BC＝30（cm），根据勾股定理得到AH＝＝＝40（cm），由三角形的面积公式即可得到结论；

（2）过B作BM⊥AC交FG于N，根据三角形的面积公式得到BM＝48（cm），根据正方形的性质得到FG∥DE，根据相似三角形的性质即可得到结论．

【详解】（1）过A作AH⊥BC于H，

∵AB＝AC＝50cm，BC＝60cm，

∴BH＝BC＝30（cm），

∴AH＝＝＝40（cm），

∴S△ABC＝BCAH＝60×40＝1200（cm2）；

（2）过B作BM⊥AC交FG于N，

则S△ABC＝ACBM＝1200，

∵AC＝50cm，

∴BM＝48（cm），

∵四边形DEFG是正方形，

∴FG∥DE，

∴BN⊥FG，△BFG∽△BAC，

∴＝，

∴，

∴FG＝，

∴正方形DEFG的边长为．

【点睛】本题考查了相似三角形的应用，正方形的性质，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．

10．这个正方形的边长为cm或cm

【分析】分正方形的边在BC和AC上两种情形，结合相似三角形的判定和性质求解即可解决问题；

【详解】解：①当正方形的边在BC上时，过点A作AN⊥BC

∵△ABC中，AB=AC=13cm，BC=10cm，

∴在Rt△ABN中，AN=12，

∵四边形DEFG是正方形，

∴ED∥BC，DE=GF，

∴△AED∽△ACB，

又∵AN⊥BC，

∴AN⊥DE，DG=ED=EF，

∴，

设DE=x，则AM=12﹣x，

∴，

解得：x=．

②当正方形的边在AC上时，作BK⊥AC于N交DG于M，

设EF=x，

则BK=，

∵GD∥AC，

∴，解得x=

答：这个正方形的边长为cm或cm．

【点睛】本题考查相似三角形性质的应用．解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．

11．矩形的长为mm，宽是mm．

【分析】根据PQ∥BC证明△APQ∽△ABC，设PN为xmm，则PQ为2xmm，列出比例关系求解即可．

【详解】解：∵PQMN是矩形，

∴PQ∥BC，

∴△APQ∽△ABC，

设边PN为xmm，则PQ为2xmm，

即

∵AD是高，

∴PN∥AD，

∴△PBN∽△ABD，

∴

即，，

∵AP+BP＝AB，

∴＝1，

解得x＝，2x＝．

即长为mm，宽为mm．

答：矩形的长为mm，宽是mm．

【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，解题关键是熟练运用相似三角形的判定，证明三角形相似，列出比例式求解．

12．(1)这个正方形的边长为60cm；

(2)正方体的表面积为3456cm2

【分析】（1）设正方形的边长为xcm，证明△AEH∽△ABC，利用相似三角形的性质得到，然后代值求出x值即可；

（2）设正方体的棱长为acm，同样证明△AMN∽△ABC，利用相似三角形的性质得到，然后代值求出a值即可．

【详解】（1）解：设正方形的边长为xcm，

∵四边形EFGH是正方形，

∴EH∥BC，EF=EH=xcm，又AD⊥BC，

∴∠AEH=∠ABC，∠AHE=∠ACB，AD⊥EH，DK=EF=xcm，

∴△AEH∽△ABC，

∴，

∵BC=120cm，AD=120cm，

∴，

解得：x=60，

答：方形的边长为60cm；

（2）解：设正方体的棱长为acm，

由题意知：MN∥BC，AP⊥MN，MN=a，PD=4a，

∴△AMN∽△ABC，

∴，即，

解得：a=24

∴正方体的表面积为6×242=3456cm2．

【点睛】本题考查相似三角形的应用举例，涉及正方形的性质、平行线的性质、相似三角形的判定与性质、正方体的展开图和表面积等知识，熟练掌握相似三角形的性质是解答的关键．

13．（1），，；（2）

【分析】（1）利用相似三角形的性质求出每个纸条的长；

（2）将（1）中相关数据相加，易得纸片的宽度，从而计算出正方形的边长，从而计算面积即可．

【详解】解：（1）如图1，是等腰直角三角形，，是斜边上的高，

，是斜边上的中线，

，

∵将斜边上的高CD四等分，

于是纸条的宽度为：，

，

．

同理，，，

张长方形纸条的长度分别为：，，；

（2）由（1）知，3张长方形纸条的总长度为．

如图2，图画的正方形的边长为：，

面积为

答：正方形美术作品的面积最大不能超过．

【点睛】此题考查了相似三角形的应用，不仅要计算出纸条的长度，还要计算出宽度，要仔细观察图形，寻找隐含条件．

14．24cm

【详解】试题分析：作AM⊥BC于M,交DG于N,设BC=acm，BC边上的高为hcm，DG=DE=xcm，根据题意得出方程组求出BC和，再由平行线得出由相似三角形对应高的比等于相似比得出比例式，即可得出结果．

试题解析：作AM⊥BC于M,交DG于N,如图所示：

设BC=acm，BC边上的高为hcm，DG=DE=xcm，

根据题意得：

解得：或(不合题意,舍去)，

∴BC=60cm，AM=h=40cm，

∵DG∥BC，

∴△ADG∽△ABC，

即

解得：x=24，

即加工成的正方形铁片DEFG的边长为24cm.

15．当EF的长为62.5或37.5米时，最大面积为1875平方米

【分析】设DE的长为x，先证△ADG∽△ABC，根据相似三角形的对应高的比等于相似比得，得，再根据面积列出，求出x即可．

【详解】解：设DE的长为x，

∵矩形DEFG的边EF在△ABC的边BC上，

∴DG∥BC，

∴△ADG∽△ABC，

∵AH⊥BC，

∴AM⊥DG

∴，

∴，

∴，

∴矩形DEFG面积为：，

解得：x＝30或50，

EF＝DG＝62.5或37.5．

∴当EF的长为62.5或37.5米时，最大面积为1875平方米．

【点睛】本题考查相似三角形的应用，解题关键是理清题意正确地找到相似三角形．

16．加工成的正方形零件的边长是；这个矩形零件的两条边长分别为，；的最大值为，此时，．

【分析】（1）设正方形的边长为xmm，则PN＝PQ＝ED＝x，AE＝ADED＝80x，通过证明△APN∽△ABC，利用相似比可得到，然后根据比例性质求出x即可；

（2）由于矩形是由两个并排放置的正方形所组成，则可设PQ＝x，则PN＝2x，AE＝80x，然后与（1）的方法一样求解；

（3）设PN＝x，用PQ表示出AE的长度，然后根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式并用x表示出PN，然后根据矩形的面积公式列式计算，再根据二次函数的最值问题解答．

【详解】（1）如图，

设正方形的边长为，则，

∴，

∵，

∴，

∴，即，

解得．

∴加工成的正方形零件的边长是；

如图，

设，则，，

∵，

∴，

∴，即，

解得：，

∴，

∴这个矩形零件的两条边长分别为，；

如图，

设，矩形的面积为，

由条件可得，

∴，

即，

解得：．

则，

故的最大值为，此时，．

【点睛】本题考查了相似三角形的应用，二次函数的最值问题，根据相似三角形对应高的比等于对应边的比列式表示出正方形的边长与三角形的边与这边上的高的关系是解题的关键．

17．(1)正方形零件的边长为48mm．(2)AD=BC，(3)证明见解析．

【分析】（1）设正方形零件的边长为xmm，则KD=EF=x，AK=80﹣x，根据EF∥BC，得到△AEF∽△ABC，根据相似三角形的性质得到比例式，解方程即可得到结果；

（2）BC=AD，如图2由已知条件得：EF∥GH∥BC，通过△GBN≌△EGM，得到EG=BG，根据△AEF∽△AGH，得到比例式，证得AE=EG，于是得到AE=EG=GB，再由△AEF∽△ABC，得到比例式，即可得到结论．

（3）如图3，过点A作AD⊥BC于D，分别交EF、GH于点M、N，设每个正方形的边长为