顾樵数理方程课件02 Definite Solution Problem

数学物理方程的建立

顾樵

(Qiao

Gu)

InternationalInstituteofBiophysics,Germany

gu-qiao@gmx.de

建立数学物理方程1.统计法：对所考察的问题进行统计学研究，分析考察量的变化规律，写出它所满足的微分方程。这种方法具有非常广泛的用途，包括生物学、生态学、经济学、社会学等。人口增长问题众多的生物学及社会学问题

(Malthus模型)

(Logistic模型)建立数学物理方程2.微元法：在系统中分出一个微元，分析它与附近部分的相互作用，写出作用规律的数学表达式（比如牛顿第二定律表达式），它就是系统的微分方程。弦振动问题传输线问题热传导问题（波动方程)(热传导方程)建立数学物理方程3.规律法：直接利用物理学规律写出考察量所遵循的数学物理方程，比如利用电磁波的麦克斯韦方程，写出电位、电场强度、磁场强度等物理量的微分方程。(电磁场方程)(电位的泊松方程:有源场)(电位的拉氏方程:无源场)用于激光的半经典理论用于电磁场与电磁波的理论器件技术等问题

数学物理方法的表述

顾樵

(Qiao

Gu)

InternationalInstituteofBiophysics,Germany

gu-qiao@gmx.de

数学物理方法：完整表述泛定方程定解条件定解问题数理方程：泛定方程数理方程包括常微分方程和偏微分方程等。由于同一个方程可以广泛描述多种物理作用，故称为“泛定方程”。如果函数

u

和它的各阶导数都是一次幂，称为线性微分方程。波动方程：热传导方程：人口增长方程：孤立波方程：拉普拉斯方程：冲击波方程：线性非线性数理方程：定解条件初始条件，边界条件，还可以有衔接条件等，统称“定解条件”。例如：

初始条件:

(初始位移)

(初始速度)（弦振动）

(初始温度分布)(热传导)

边界条件:（弦振动）

(起点固定)

(终点被微扰)

衔接条件:

（光由空气入水电场强度切向分量相等）数理方程：初始条件泛定方程只含一阶微商，只有一个初始条件： 泛定方程含二阶微商，需要两个初始条件:

泛定方程不含时间变量，不涉及初始条件（例如

拉普拉斯方程）

数理方程：边界条件

第一类边界条件：直接给出考察量在边界S上的值：

第二类边界条件：给出考察量的导数在边界上的值：

第三类边界条件：给出考察量及其导数的线性组合：

（均为已知函数）数理方程：边界条件

分别称为第一类，第二类，第三类齐次边界条件

分别称为第一类，第二类，第三类非齐次边界条件

数理方程：定解问题定解问题分为三类：初值问题：只有初始条件，没有边界条件的定解问题边值问题：只有边界条件，没有初始条件的定解问题

混合问题：既有初始条件，又有边界条件的定解问题

定解问题：例1一个泛定方程与相应的定解条件构成“定解问题”。例如弦振动的一个定解问题（两端固定，初始位移是任意的，初始速度为零）可以表示为

定解问题：例2

长度为L的均匀杆，侧面绝热。设杆一端的温度为零，另一端有恒定热流q进入

(即单位时间内通过单位面积流入的热量为q

)，已知杆的初始温度分布为，试写出相应的定解问题。

解：泛定方程：初始条件：

边界条件：0Lxx0Lq定解问题定解问题：例3(课本P17)长为L的弦两端固定（设其质量密度为），开始时击弦上的点x=c（0<c<L）,使弦获得冲量

k，写出相应的定解问题。

xLcu解：冲量定理（动量的变化等于冲量）:

初速度冲量冲量密度冲量作用于范围定解问题定解问题定解问题：例4有界杆的长度为L，其左端保持绝热,

右端自由散热(设外界介质温度为摄氏零度)。已知杆内初始温度分布为函数，写出杆内任意时刻的温度分布的定解问题。(1)(2)(3)？？边界条件自由散热定义:散失的热量正比于热体表面温度与外界介质温度之差:是外界介质温度定解问题医学：传染病模型人类传染病

(天花、麻疹、SARS…)

模型在老鼠传染病模型的基础上进一步考虑：一.对病人的治疗；二.病愈后的人有免疫力，不会再次感染。

整个系统任意时刻有三类人：

1.目前是病人，但可能痊愈或死亡

2.目前是健康的，但可能感染

3.移出者（治愈的+死亡的）传染病模型：非线性方程组移出者(治愈的

+

死亡的)疫情分析：每周死亡人数20世纪初在印度孟买发生的一次瘟疫中，几乎所有的病人都死亡了。有关部门记录了每天死亡的人数。Kermack等人用上述模型分析了实际统计数据，发现二者相吻合。051015202530Time(w)

800600400200(每周新增加的死亡人数)疫情分析：SARS疫情指标2003年中国发生了SARS疫情。事后，研究者用上述模型对实际数据进行了分析。特别考察“疫情指标”分布曲线f(t)，发现它与模型吻合。:每日新增死亡人数:每日新增确诊人数:每日新增疑似人数权重因子：0.80.60.40.2020304050607080

Time(d)实时分析？

以上分析是在疫情发生后进行的。如果在疫情进行当中，利用最新的数据进行曲线拟合，以便及时掌握疫情的程度和进程。这将会对控制疫情、减轻灾难起到极大的作用。数理方程：定解问题的适定性

定解问题作为一个理论模型，是否能准确无误地描述实际过程，需要对结果进一步检验，即考察解的“适定性”：

1.存在性：定解问题的解是否存在

2.唯一性：实际问题的解往往是唯一的，但数学解可能不

唯一，需要舍去没有实际意义的数学解

3.稳定性：定解条件或驱动项的微小变化是否导致解的性

质的改变

如果一个定解问题的解是存在的，唯一的，稳定的，则称这个定解问题是适定的。二阶线性偏微分方程:通式和分类

（双曲型）如一维波动方程（抛物线型）如一维热传导方程（椭圆型）

如二维拉氏方程

线性方程的“算符形式”波动方程：热传导方程：拉普拉斯方程：L:算符线性方程:函数

u

及它的各阶导数都是一次幂线性算符线性方程的算符L称为线性算符。其基本特点：线性算符：微分算符，积分算符…非线性算符：…叠加原理叠加原理:对于一个线性微分方程:

如果均是它的解,即则的线性组合也是该方程的解。证明：叠加原理为求解定解问题提供了有力的工具叠加原理:一个例子对于线性偏微分方程它的一个特解为故由叠加原理，原方程有一般解量子力学:薛定谔方程薛定谔方程是描述微观粒子运动规律的偏微分方程,其中m