2022-2023学年江西省赣州市高一下学期期末学情调研数学试题【含答案】

2022-2023学年江西省赣州市高一下学期期末学情调研数学试题一、单选题1．命题“”的否定是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据特称命题的否定相关知识直接求解.【详解】命题“”的否定是“”.故选：C2．已知扇形的面积是9，周长是12，则扇形圆心角的弧度数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】利用扇形的周长和面积公式建立方程组求解即可.【详解】设扇形的半径为，弧长为，则，解得，又圆心角，故选：B.3．（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用诱导公式计算即可.【详解】.故选：A.4．已知向量，不共线，向量，，且，则（

）A．－3 B．3 C．－6 D．6【答案】D【分析】设，从而得到，得到方程，求出的值.【详解】设，则，故．故选：D5．已知向量，且，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据平面向量共线的坐标公式计算即可.【详解】因为，且，所以，所以.故选：C.6．若，且，则（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由已知可得.联立方程组，求解即可得出答案.【详解】由已知可得，，所以，.由可得，.故选：B.7．最大视角问题是1471年德国数学家米勒提出的几何极值问题，故最大视角问题一般称为“米勒问题”．如图，树顶离地面12米，树上另一点离地面8米，若在离地面2米的处看此树，则的最大值为（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】过点作，交于点，设，求得，，然后由，结合三角恒等变换和基本不等式求解．【详解】如图，过点作，交于点，则．

设，在中，．在中，，所以，当且仅当，即时取等号．故选：C.8．三棱锥的四个顶点都在半径为5的球面上，已知到平面的距离为，，记与平面所成角为，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】设为三棱锥外接球的球心，为外接圆的圆心，过点作平面，M为垂足，则，作，垂足为，则四边形MEFG为矩形，求得，进而求得，从而问题可解.【详解】

设为三棱锥外接球的球心，为外接圆的圆心，因为，所以为的中点，平面.过点作平面，M为垂足，则，，作，垂足为，则四边形MEFG为矩形，，故选：A二、多选题9．设复数，，下列说法正确的是（

）A． B．的虚部是 C．是纯虚数 D．【答案】BD【分析】对于A，复数不能比较大小，可判断；对于B，根据复数的虚部的定义可判断；对于C，根据纯虚数的定义可判断；对于D，计算即可判断.【详解】对于A，复数不能比较大小，A错；对于B，的虚部是，B对；对于C，不是纯虚数，C错；对于D，，D对.故选：BD10．已知，则（

）A． B．C． D．【答案】AB【分析】由同角三角函数的关系，两角和的正弦公式，化简可得.【详解】由，得，即，A选项正确，C选项错误；，两边同时平方，得，即，化简得，由，则，，所以，B选项正确，D选项错误.故选：AB11．已知向量，则（

）A．若，则B．若，则C．当时，D．若与的夹角为锐角，则【答案】AC【分析】根据平面向量的平行、垂直的坐标表示，以及数量积的坐标运算求解.【详解】对A，若，则，解得，A正确；对B，若，则，解得或3，B错误；对C，当时，，则，所以，C正确；若与的夹角为锐角，则且与不同向共线，所以解得且，D错误．故选:AC.12．已知正三棱台，，，下列说法正确的是（

）

A．正三棱台体积为B．侧棱与底面所成角的余弦值为C．点A到面的距离为2D．三棱台的外接球的表面积为【答案】BCD【分析】求得正三棱台体积判断选项A；求得侧棱与底面所成角的余弦值判断选项B；求得点A到面的距离判断选项C；求得三棱台的外接球的表面积判断选项D.【详解】设中心为，中心为O，连接，则，在四边形中，过作于D，则，则取中点N，过点N作，交于H，交直线于M，则点M为三棱台的外接球的球心.由，可得，则，由，可得，选项A：正三棱台体积为.判断错误；选项B：设侧棱与底面所成角为，则又，则，则侧棱与底面所成角的余弦值为.判断正确；选项C：设点A到面的距离为h，由，可得又等腰梯形中，，则，则，解之得.则点A到面的距离为.判断正确；选项D：三棱台的外接球的半径为，则三棱台的外接球的表面积为.判断正确.

故选：BCD三、填空题13．已知i是虚数单位，若，则.【答案】/【分析】根据复数的除法运算，化简可得，，求模即可得出答案.【详解】，所以，.故答案为：.14．如图，在任意四边形中，，分别为，的中点，，，边与所成角为，则线段的长度是

【答案】【分析】根据向量加法的几何意义便可得到：，从而①②便可得出，再根据数量积的运算律计算可得.【详解】因为，，分别是四边形的边，的中点，，，①②得，，又，，边与所成角为，，，线段的长度为．故答案为：15．如图，在有五个正方形拼接而成的图形中，β﹣α＝

【答案】【分析】根据已知条件，结合正切函数的两角差公式，即可求解．【详解】由图可得，且都为锐角，且，，，.故答案为：16．如图正三棱柱的底面边长为，高为2，一只蚂蚁要从顶点沿三棱柱的表面爬到顶点，若侧面紧贴墙面（不能通行），则爬行的最短路程是．

【答案】【分析】利用正三棱柱侧面展开图，结合两点间的最短距离是线段来求解即可．【详解】正三棱柱的侧面部分展开图如图所示，

图1，连接与交于点，则爬行的最短路程时沿着爬行，此时，图2，连接，过作AB的垂线交于点，则，则，所以，∵，∴爬行的最短路程是.故答案为：.四、解答题17．已知向量满足.(1)求及的值；(2)求向量与夹角的余弦值.【答案】(1)；(2)【分析】（1）根据数量积的运算律可求得，根据向量模的计算即可求得；（2）求出的值，根据向量的夹角公式即可求得答案.【详解】（1）因为，所以，即；；（2）由题意得，故18．已知复数，是实数，其中是虚数单位，．(1)求的值；(2)若复数是关于的方程的根，求实数和的值．【答案】(1)(2)，【分析】（1）化简，由是实数可得，求解即可；（2）由（1）可得，由方程的根可得，再根据复数相等的条件可得，求解即可.【详解】（1）因为，所以，因为是实数，所以，解得，故的值为.（2）由（1）可知，所以，因为方程的根，所以，即，由，解得，．故实数和的值分别为.19．已知函数(1)求函数的最小正周期和单调递增区间；(2)求函数在区间上的最值，并指出此时对应的的值．【答案】(1)，(2)函数最大值为，此时；函数最小值为，此时.【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式化简函数，再利用正弦函数的周期公式和单调性即可求解；（2）通过换元并结合三角函数的单调性求出最值.【详解】（1）由已知得，则函数的最小正周期,由，解得，所以函数的单调递增区间为.（2）由（1）知且.设，则，所以原函数化为且.从而在上递增，在上递减.所以当时函数取得最大值，此时.又时，；时，；所以时函数取得最小值，此时.20．的角的对边分别为的面积为.(1)若，求的周长；(2)设为中点，求到距离的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据条件得出和，联立求得，进而求得，结合余弦定理求出的值，进而求得结果.（2）利用面积公式和基本不等式求最值，即可得出结果.【详解】（1）因为，得①，又因为的面积为，所以有②，显然，由①②得，所以，代入得，在中，因为，所以，得，所以的周长为.

（2）因为为边上的中点，所以，因为，所以，因为，当且仅当时取等号，所以.设点到直线距离为，因为，所以，即点到直线距离最大值为.21．已知函数的部分图象如图所示.

(1)求的解析式；(2)将的图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，求函数在内的零点.【答案】(1)(2)零点为0与.【分析】（1）由图象可得，，即，再代入点即得解；（2）先通过图象变换得到，再令可得答案.【详解】（1）由图象可得，，则，即，∴，由图象得，即，∴，，则，，又，∴，故；（2）将的图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位长度，得到函，∴，令，则或，解得，，或，，又，∴或，即函数在内的零点为0与.22．如图，在斜三棱柱中，为的中点，为上靠近A的三等分点，为上靠近的三等分点．

(1)证明：平面//平面．(2)若平面，，与平面的距离为，，，三棱锥的体积为，试写出关于的函数关系式．(3)在（2）的条件下，当为多少时，三棱锥的体积取得最大值？并求出最大值．【答案】(1)证明见详解(2)(3)16【分析】（1）根据线面、面面平行的判定定理分析证明；（2）根据题意可知平面，进而可得，结合锥体的体积公式运算求解；（3）整理得，结合二次函数分析求解.【详解】（1）由题意可得：，//，则为平行四边形，可得//，且平面，平面，所以//平面，取的中点，连接，因为分别为