河北2017高职单招数学模拟试题【含答案】

河北2017高职单招数学模拟试题【含答案】河北2017年高职单招数学模拟试题（含答案）选择题（共15小题，每小题3分，共45分）1.设集合$M=\{1,2,3,4,5\}$，$N=\{x|x^2-6x+5<0\}$，则$M\capN=$（）A.$\{1,2,3\}$B.$\{2,3,4\}$C.$\{3,4,5\}$D.$\{2,4,5\}$2.若$a<b$，则下列不等式恒成立的是（）A.$a^2<b^2$B.$ac<bc$C.$\log_2(b-a)>0$D.$2a<2b$3.“$a=b$”是“$\lga=\lgb$”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.下列函数中，是奇函数且在$(2,\pi)$内单调递增的是（）A.$y=\cos(\pi+x)$B.$y=\sin(\pi-x)$C.$y=\sin2x$D.$y=3\sin(x+\frac{\pi}{6})$5.将函数$y=\sin6x$的图像向右平移$4$个周期后，所得的图像对应的函数是（）A.$y=3\sin(x+\frac{\pi}{4})$B.$y=3\sin(x-\frac{\pi}{4})$C.$y=3\sin(x+\frac{\pi}{2})$D.$y=3\sin(x-\frac{\pi}{2})$6.设向量$a=(-1,x)$，$b=(1,2)$，且$a\parallelb$，则$2a-3b=$（）A.$(5,10)$B.$(-5,-10)$C.$(10,5)$D.$(-10,-5)$7.下列函数中，周期为$\pi$的奇函数是（）A.$y=\cosx\sinx$B.$y=\cos2x-\sin2x$C.$y=1-\cosx$D.$y=\sin^2x-\cos^2x$8.在等差数列$\{a_n\}$中，已知$a_3=4$，$a_8=11$，则$S_{10}=$（）A.$70$B.$75$C.$80$D.$85$9.在等比数列$\{a_n\}$中，若$a_2\cdota_7+a_3\cdota_6=4$，则此数列的前$8$项之积为（）A.$4$B.$8$C.$16$D.$32$10.下列四组函数中表示同一函数的是（）A.$y=2\lnx$B.$y=\lnx^2$C.$y=\cos(\frac{3}{2}\pi+x)$D.$y=\sin(\pi-x)$11.等轴双曲线的离心率为（）A.$\sqrt{2}$B.$2$C.$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$D.$1$12.某地生态园有$4$个出入口，若某游客从任一出入口进入，并且从另外$3$个出入口之一走出，进出方案的种数为（）一、选择题1.B2.D3.A4.B5.C6.A7.B8.C9.D10.A11.B12.C13.D14.B15.C二、填空题16.-117.(-∞,2)U(2,∞)18.4<x≤919.f(x)=sinx+1/220.a=1/2,b=-1/221.a1=1,d=3,S6=3322.x=-1/223.π-α24.x-y+3=025.c<a<b26.(7,5)27.90°28.1229.45°30.2/5三、解答题31.因为A∩B={-1}，所以-1既属于A又属于B，即满足6*(-1)+m*(-1)-1=0和3*(-1)+5*(-1)+n=0，解得m=1，n=-8。因此A={x|6x+x-1=0}={1/6}，B={x|3x+5x-8=0}={8/8}={1}，所以A∪B={1/6,1}。32.(1)因为f(x)在(-∞,0)和(2,+∞)上单调递增，在(0,2)上单调递减，所以f(x)的最小值为f(2)=1/2。(2)设f(x)=k，即lg(x^2-x)+1/(x-2)=k。因为x^2-x>0，所以x>1或x<0。当x>2时，1/(x-2)<0；当0<x<2时，1/(x-2)>0；当x<0时，lg(x^2-x)不存在。因此，只需考虑x∈(0,2]的情况。在该区间内，f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,2]上单调递减。因此，f(x)的最大值为f(1)=log2。33.(1)因为f(x)在(-∞,2)上单调递增，在(2,+∞)上单调递减，所以f(x)的最小值为f(2)=1/2。(2)设f(x)=k，即asinx+1/2=k。因为-1≤sinx≤1，所以-1/2≤asinx≤1/2。因此，f(x)的最大值为f(x)=1。34.(1)因为f(x)在(-∞,0)和(1,+∞)上单调递增，在(0,1)上单调递减，所以f(x)的最小值为f(1)=0。(2)设f(x)=k，即x^2-3x+2+k=0。因为判别式Δ=1-4k<0，所以方程无实根。因此，f(x)的最大值为不存在。35.(1)因为f(x)在(0,+∞)上单调递增，所以f(1)<f(x)<f(2)。因此，f(x)的取值范围是(3/2,5/2)。(2)因为f(x)在(0,+∞)上单调递增，所以f(x)的反函数存在。设f(x)的反函数为g(x)，则g(7)=1，g(10)=2。因此，g(7/2)<x<g(5/2)，即1<g(x)<2。因为f(x)在(0,+∞)上单调递增，所以g(x)在(-∞,+∞)上单调递增。因此，g(9/2)<x<g(11/2)，即2<g(x)<3。36.设三位数为ABC，其中A、B、C都是1、2、3、4、5中的数字，且A≠1。则该三位数为偶数的情况有：B=2,4；C=2,4。因此，共有8种情况，即222、224、242、244、422、424、442、444。从中任选3个数字组成一个无重复数字的三位数，共有5种情况，即234、235、245、345、125。因此，所求概率为5/8。AB{x|x1或x2}∴AB的取值范围为(,1)(2,)，所以m+n=2+5=732.解：如图，设每边折起的长度分别为x和y，则梯形的上底为60-2x，下底为60-2y，高为x+y。由题意得到以下关系式：tan60°=h/(60-2x)->h=(60-2x)√3/3tan60°=h/(60-2y)->h=(60-2y)√3/3又梯形面积为S=(60-2x+60-2y)h/2=2h(60-x-y)，代入h的表达式得：S=2[(60-2x)√3/3+(60-2y)√3/3](60-x-y)S=2(60√3-√3(x+y)-2x√3-2y√3+4xy)对S求偏导数得：∂S/∂x=-2√3(x-y)+4√3y∂S/∂y=-2√3(x-y)+4√3x令偏导数为0，解得x=y，代入S的表达式得到：S=2(60√3-6x√3+4x^2)S=8x^2-12x√3+120√3对S再次求偏导数，得到x=3√3/4时，S取得最大值，此时S=135√3cm²。所以每边折起的长度为3√3cm时，水槽的横截面面积最大，最大面积为135√3cm²。33.解：（1）由已知得到以下关系式：a1+a2=2a3a1+a2+a3+a4+a5=60a3将a1+a2用2a3代入第二个式子得：2a3+a3+a4+a5=60a3a4+a5=57a3由等差数列的通项公式得：a5=a1+4da4=a1+3da3=a1+2da2=a1+d将以上式子代入a4+a5=57a3中得：2a1+7d=57(a1+2d)5a1=43d又已知S5=20，由等差数列前n项和公式得：S5=5(a1+a5)/2=5(a1+2a1+20/5d)/2=15a1+4d代入a1=43d/5得：20=15(43d/5)+4dd=5/3所以a1=43d/5=43/3，代入等差数列的通项公式得：an=43/3+(n-1)5/3（2）由等差数列前n项和公式得：Sn=n(2a1+(n-1)d)/2所以S8~18=S18-S7=18(2a1+17d)/2-7(2a1+6d)/2=11(35a1+85d)/2=11(35×43/3+85×5/3)/2=1100/3。所以数列{an}的第8项到第18项的和为1100/3。34.解：由向量的数量积公式得：a·b=|a||b|cosθ所以cosθ=a·b/|a||b|=（2x+2y）/√(4x²+4y²)。由向量的叉积公式得：|a×b|=|a||b|sinθ所以|a×b|=|(2x-y)i+(x+2y)j|=|5i+3j|=√34。所以22x+y+2x=|a×b|=√(4x²+4y²)√34，化简得到22x+y+2x=2√17(x²+y²)。整理得到x²+y²=（11x+y）²/289，代入22x+y+2x=2√17(x²+y²)中得到：22x+y+2x=2√17(11x+y)/17x+2y=√17/2(11x+y)/17将x+2y代入x²+y²=（11x+y）²/289中得到：x²+(17/4)(11x+y)²/289=(11x+y)²/2894x²+187x²+34xy+17y²=121x²+22xy+y²90x²+12xy+16y²=045x²+6xy+8y²=05x²+2xy+2y²=0(x+y/2)²+3y²/4=0显然方程无实数解，所以22x+y+2x=0。35.解：（1）设抛物线的方程为y=ax²，由题意得到以下关系式：d=PF=PA*sin(π/2-θ)=PA*cosθd=AB/2*sinθtanθ=2ax将θ用tan表示代入上面两个式子中得：d=PA*cos(arctan2ax)=PA/√(1+4a²x²)AB/2*sin(arctan2ax)=AB/2*2ax/√(1+4a²x²)由于A、B点在直线上，所以它们的纵坐标相等，即：ax²=2ax*sinθax=2sinθ=2sin(π/4-φ)=√2(cosφ-sinφ)其中φ为直线的倾斜角，代入d和AB的表达式中得：PA/√(1+8(cosφ-sinφ)²)=AB/√2(cosφ-sinφ)整理得到：PA²=AB²/2(1+8(cosφ-sinφ)²)/(cosφ-sinφ)²将抛物线的方程代入焦点的坐标中得到F(0,1/4a)。由于直线过点F，所以直线的方程为y=-x/4a。代入焦点和直线的距离公式中得到：1/4a=|a(0)²-0+0|/√(1+a²)a=1/4所以抛物线的方程为y=x²/16，代入焦点的坐标中得到F(0,4)。将焦点坐标代入抛物线方程中得到p=4。所以抛物线的方程为y=x²/16，焦点为F(0,4)，参数p=4，直线的方程为y=-x/4。（2）由于A、B点在直线上，所以它们的横坐标相等，即：ax²=2ax*cosθax=2cosθ=2cos(π/4-φ)=√2(cosφ+sinφ)其中φ为直线的倾斜角，代入d和AB的表达式中得：PA/√(1+8(cosφ+sinφ)²)=AB/√2(cosφ+sinφ)同理可得：PA/√(1+8(cosφ-sinφ)²)=BC/√2(cosφ-sinφ)将两个式子相加得：2PA/√(1+8cos²φ)=AB/√2cosφ将两个式子相减得：2PA/√(1+8sin²φ)=BC/√2sinφ将PA、AB、BC用p和焦距f表示，代入上面四个式子中得：p/√(1+8cos²φ)=(2f-p)/√2cosφp/√(1+8cos²φ)=(2f-p)/√2sinφp/√(1+8sin²φ)=(2f-p)/√2cosφp/√(1+8sin²φ)=(2f-p)/√2sinφ解得：p=4f/3cosφ=3/5sinφ=4/5所以AB=2p/cosφ=8f/3，|AB|=8/3。所以|AB|的长为8/3。36.解：（1）由于PA垂直于平面ABCD，所以PA与平面PAD垂直，即EF垂直于PA。又由于EF是AB、PC的中线，所以EF平分矩形ABCD，即EF平行于平面ABCD。所以EF//平面PAD。（2）由于平面PDC与平面ABCD所成的角为60°，所以它们的法向量垂直，即：n1•n2=|n1||n2|cos60°=1/2|n1||n2|由于平面ABCD的法向量为AD，所以：n1=(0,0,1)|n1|=1由于平面PDC通过点P，所以：n2=(PE,PF,PA)|n2|=√(PE²+PF²+PA²)=√(2EF²+PA²)=2√(EF²+1)所以：n1•n2=|n2|/2=√(EF²+1)又由于EF平行于平面ABCD，所以EF与AD垂直，即：n3=(0,1,0)所以：n3•n2=PF/|n2|=EF/√(EF²+1)所以EF/√(EF²+1)=1/2，解得EF=√3。所以EF的长为√3。37.解：从5名男研究员中选出1人的方案数为C(5,1)=5，从3名女研究员中选出2人的方案数为C(3,2)=3，所以从8名研究员中任选3人的方案数为C(8,3)=56。当选出的3人中女研究员人数为0时，方案数为C(5,3)C(3,0)=10；当选出的3人中女研究员人数为1时，方案数为C(5,2)C(3,1)=30；当选出的3人中女研究员人数为2时，方案数为C(5,1)C(3,2)=15；当选出的3人中女研究员人数为3时，方案数为C(5,0)C(3,3)=1。所以女研究员人数的概率分布为：0的概率为10/56，1的概率为30/56，2的概率为15/56，3的概率为1/56。1.对于第一段，可以将公式改写为“AB=-1/36”，并且添加一些文字解释，例如“根据向量乘法的定义，AB的结果是A向量和B向量的数量积的值。将A向量和B向量的坐标代入计算，得到AB=-1/36。”2.对于第二段，可以将文字排版调整为更加清晰易读的形式：“设每边折起的长度为xcm，则等腰梯形的下底为(60-2x)cm，上底为3xcm。根据三角形余弦定理，可以得到(60-2x)+2x*cos60=(60-x)cm，因此梯形的高为2/(2*sqrt(3)/3)=2.1333cm。梯形的面积可以表示为S=[(60-2x)+(60-x)]*x=-1*(x-20)^2+3003，因此横截面面积最大值为3003cm^3，当每边折起的长度为20cm时达到最大值。”3.对于第三段，可以将两种解法分别列出来：“解法1：根据等差数列的通项公式，可以得到an=7-n。又因为a1+2d=4，因此可以解得d=a3-2d=6，a4=3。因此an=7-n。根据等差数列的求和公式，可以得到a8+a9+...+a18=11(a8+a18)/2=-66。解法2：同样根据等差数列的通项公式可以得到an=7-n。又因为a1+2d=4，因此可以解得d=a3-2d=6，a4=3。因此an=7-n。根据等差数列求和公式，可以得到a8+a9+...+a18=S18-S7=18(a1+a18)/2-7(a1+a7)/2=-66。”4.对于第四段，可以将文字排版调整为更加清晰易读的形式：“设点A的坐标为(-1,cosθ)，点B的坐标为(sinθ,2)，且AB垂直。因此有-sinθ+2cosθ=0，解得tanθ=2。根据抛物线的性质，可以得到焦距为p=2/3π。圆心为(-1,-1/2)，因此可以得到直线的方程为x+y+1=0。又因为抛物线的对称轴与直线重合，因此抛物线的方程为y=-2px，代入p=2/3π得到方程y=-4x/3π。”5.对于最后一段，可以将文字排版调整为更加清晰易读的形式：“根据圆的标准方程可以得到圆心为(-1,1/2)，半径为√2/2。因此可以得到直线的方程为x+y+1=0。设两点为A(x1,y1)和B(x2,y2)，则由直线和圆的性质可以得到x1+x2=-2，y1+y2=-1，x1^2+y1^2=x2^2+y2^2=1/2。因此可以列出方程组求解，得到x1=-3/4，y1=1/4，x2=-5/4，y2=-3/4。”根据抛物线的定义可知，$|AB|=|x_1|+|x_2|+p=\sqrt{x_1^2}+\sqrt{x_2^2}+p=\sqrt{x_1^2+x_2^2+2x_1x_2}+p=\sqrt{(x_1+x_2)^2}+p=|x_1+x_2|+p=6+2=8$。因此，$|x_1|+|x_2|=6$。解法2：设抛物线的方程为$2y=-4x$，则$p=-\frac{1}{2}$。由圆的方程$x^2+y^2+2x+y=0$可知圆心为$(-1,-\frac{1}{2})$，因此抛物线的焦点为$(-1,-1)$。（1）由韦达定理可得$x_1+x_2=-6$，$x_1x_2=1$。由抛物线的性质可知$p=-\frac{1}{2}$，因此$p=\frac{2}{3}\pi$。直线过点$(-1,-1)$，倾斜角为$4$，因此直线的方程为$x+y+1=0$。（2）设$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$。由抛物线的方程可知$y_2=-4x_2$，由直线的方程可知$y_2=-x_2-1$，因此$x_2=2$，$y_2=-8$。由韦达定理可得$x_1=-3$，$y_1=6$。因此$AB=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}=8\sqrt{2}$。（3）证明：取PD中点M，连结AM，MF。由中点定理可知$MF=\frac{1}{2}DC$，$AE=\frac{1}{2}DC$。又因为四边形ABCD是矩形，$E$是$AB$中点，因此$AE//DC$。又因为$M$，$F$分别是$PD$，$PC$的中点，因此$MF//DC$。因此四边形AEMF是平行四边形，$EF//AM$。又因为$AM$在平面$PAD$中，$EF$不在平面$PAD$中，因此$EF//平面PAD$。解：由同样的方法可得$PD\perpDC$，因此$\anglePDA$是平面$PDC$与平面$ABCD$所成的角，$\anglePDA=60^\circ$。在直角三角形$PAD$中，$P