2021年杨浦区一模数学试卷(理)含答案

度第一学期高三

数学学科试卷（理科）2015.1.

考生注意：1.答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号，并将核对后的条形码贴在指定位置上.

2.本试卷共有23道题，满分150分，考试时间120分钟.

1.已知sina=g,ae（0,万），贝ija=.

2.设4=伸4》43},8=卜加+14》42加+4,meR},AqB,则，〃的取值范围是.

3.己知等差数列{%}中，4=7，%=3,则通项公式为%=.

4.已知直线/经过点A（l,-2）,3（-3,2）,则直线/的方程是.

5.函数/(x)=X?—l(x<0)的反函数/t(x)=

二项式［x-L）

6.的展开式（按X的降塞排列）中的第4项是,

7.已知条件p:|x+l|42；条件q：x4a,若p是q的充分不必要条件，则。的取值范围

是•

8.向量a=（2,3）石=（-1,2）,若/na+5与”2坂平行，则实数m=.

9.一家5口春节回老家探亲，买到了如下图的一排5张车票：

6排A座6排B座6排C座6排D座6排E座

其中爷爷行动不便要坐靠近走廊的位置，小孙女喜欢热闹要坐在左侧三个连在一起的座

位之一，则座位的安排方式一共有种。

10.在底面直径为6的圆柱形容器中，放入一个半径为2的冰球，当冰球全部溶化后，容器

中液面的高度为.（相同质量的冰与水的体积比为10：9）

11.不等式log2（4'-3）＞x+l的解集是.

a+b+c3a

12.设△ABC的内角A,B,C所对的边长分别为〃"，c,若=0,

ba+b-c

则角c

1r

13.已知口=—+—-/,A=\z\z=l+a）+a>2H------\-a>",ne.N,},集合

2211

B={x\x^z[-z2,z,>z2eA}（4可以等于22）,

则集合B的子集个数为.

14.如图所示，已知函数y=log?4x图像上的两

点、A、B和函数yulog?》上的点C,线段AC

平行于y轴，三角形ABC为正三角形时，点

B的坐标为（p,q）,则p'x2"的值为.

15.程序框图如图所示，若其输出结果是140,则判断框中填写的是（

A.i<7B.z<8

C.i>7D.i>8

16.下列命题中正确的是（）

A.若xeC,则方程d=2只有一个根

B.若％eC,z?eC且Z]-z2>0,则Z[>z?

C.若zeR,则z.z=L『不成立

D.若zwC,且z2<0,那么z一定是纯虚数

17.圆心在抛物线产=2x上，且与x轴和抛物线的准线都相切的一个

圆的方程是（）

A.x2+y2-x-2y+l=0B.x2+y2-x-2y--=0

第15题图

C.x2+y2+x-2>,+l=0D.x2+y2-x-2y+-=0

4

18.对数列{4},{£},若区间[%,〃』满足下列条件:

①［。向,%K［?也］（〃€M）；②映（2-%）=0,

则称｛[%"]｝为区间套。下列选项中，可以构成区间套的数列是（)

Aq=出也=图;

n-\〃+3,〃+2

C,anD•an----,b=

n也0〃+2〃〃+1

19.（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分.

如图，正四棱柱ABC。-44Gq的底面边长为1,异面直线与BG所成角的大小为

60。，求：

（1）线段A到底面ABC。的距离;

（2）三棱椎与-ABG的体积。

20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.

如图，有一块扇形草地0MM已知半径为R,ZMON=上,现要在其中圈出一块矩形场

2

地ABCO作为儿童乐园使用，其中点4、B在弧MN上，且线段AB平行0于线段MN

（1）若点A为弧的一个三等分点，求矩形4BCO的面积S；

（2）当A在何处时，矩形ABC。的面积S最大？最大值为多少？

21.（本题满分14分）第一小题3分，第二小题5分，第三小题6分.

己知函数/（力=黑，是奇函数，a,b,c为常数

（1）求实数c的值；

（2）若a,bsZ,且/⑴=2,/（2）＜3,求/（x）的解析式；

（3）对于（2）中的/（x）,若对尤e（O,+8）恒成立，求实数m的取值

范围.

22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第一小题3分，第二小题7分，第三小题6分

2222

如图，曲线r由曲线G：二+}=i（"＞匕＞0＞0）和曲线一==i（y＞o）组成，

a

其中点不工为曲线C1所在圆锥曲线的焦点，点K，吊为曲线Cp所在圆锥曲线的焦点,

（1）若巴（2,0）,居（-6,0）,求曲线「的方程；

（2）如图，作直线/平行于曲线Q的渐近线，交曲线G于点A、B,求证：弦AB的中点

M必在曲线C?的另一条渐近线上;

（3）对于（1）中的曲线「，若直线（过点工交曲线G于点C、D,求面积的最

大值。

23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小

题满分8分.

数列｛%｝各项均不为0，前〃项和为，b”=a：,2的前〃项和为7；,且7；=S：

（1）若数列｛%｝共3项，求所有满足要求的数列；

(2)求证：a“=M〃eN*)是满足已知条件的一个数列;

(3)请构造出一个满足己知条件的无穷数列{4},并使得a刈$=-2014；若还能构造其他

符合要求的数列，请一并写出(不超过四个)。

理科评分参考

填空题

7C_p.5乃

1.一或一

66

1

2.,0

2

3.

4.x+y+1=0

5.-Jx+1（X>-1）

6.—84%3

7.a>\

1

8.

2

9.30

11.（log23,-BX）

13.16

14.12^

二、选择题

15.B

16.D

17.D

18.C

三、解答题

19.（本题12分）

解：⑴•.♦AO//8C,

ZCBC,为异面直线AD与BQ所成角，ZCBC,=60。........2分

•.•正四棱柱ABCD-AMCQ1,二4Bj//面ABCDBB,±面A3CO

••・线段B片的长为线段4片到底面A8QD的距离，........4分

•.•RTABCG中，BC=1,ZCBC,=60°,:.BBt=CC）

线段44到底面A5C。的距离为6分

(2)Vsj-AfiQ—匕-叫G，8分

=!■.1.

10分

3

6

20.（本题14分，第一小题6分，第二小题8分）

（1）解：如图，作OH_LAB于点”，交线段CO于点E,连接OA、OB,

7T

:.ZAOB=-,.............2分

6

7T71

：.AB=2Rsin—,O”=Rcos—,

1212

1JT

OE=DE=-AB=Rsin—

212

__(7171

/.EH-OH-0E-Acos-----sin一

I1212

.............4分

jrIJTjr\IjrjrJT

S-AB*EH-2/?sin—7?cos-----sin一=R22sin-cos-----2sin2一

12I1212；1121212

=R2sin—Feos1=R2.............6分

I66J2

(2)设NAOB=e[o<e</).............7分

nnin

则AB=2Rsin-,OH=Reos-,OE=-AB=Rsin-

2222

:.EH=OH-OE=R\cos--sin-\.............9分

I22)

S-AB-EH-27?sin--7?cos---sin—=7?22sin—cos---2sin2—

2I22jI222

R2(sin8+cos6_1)=1?2&sin(e+5)-I

11分

12分

.•.6+工=工即。=工时，13分

424

Sn1ax=（、历一1）收，此时A在弧MN的四等分点处

答：当A在弧MN的四等分点处时，S1mx=（点—1）代14分

21.（本题14分，第一小题3分，第二小题5分，第三小题6分）

.ox2+1_ax2-]-l

⑴・・・〃_力_〃吊1分

,-hx+chx-^-c

.\-bx+c=-bx-c.......2分

:.c=0.......3分

"1=2

(2)v/(l)=2,/(2)<-3,b4分

4〃+1

<3

.2b

a+\=2h4]

「・<4a+l=><3=>—l<tz<2.......5分

--—<3Q+l

2b

aeZ,:.a=0或1.......6分

当a=()时，b=-(舍)........7分

2

V-2+1

当a=l时，b=l,/(x)=............8分

(3)v/(x)=x+—

/.x+—>m-2x=>m<3x+—对X£(0,”)恒成立

XX

V3x+->2y/3,当且仅当X=3时等号成立

x3

/T/i\

即x=--时，3x+—=2y/3

3\XJmin

m<2曲

22.（本题16分，第一小题3分，第二小题7分，第三小题6分）

。2+。2=36,2=20

.............2分

a2-b1=4b1=16

则曲线F的方程为工+±=l(yWO)和工一匕=l(y〉O)。........3分

20162016

(2)曲线C,的渐近线为y=±?x.............4分

a

如图，设直线=........5分

b、

y=-[(x-m)

a22

则<22=>2x-2iwc+-6f)=0.............6分

宗+A

A=(2m)~-4-2-(m2-6z2)=4(2tz2-m2)>0=>->/2tz<m<\[la

又由数形结合知m>a,:.a<m<\[la7分

x}+x2=m

则m2-a2>8分

玉"2二——

x.+xmb,、bm

，Xo=-7^7=不，%=一（毛一m）=一一彳9分

22aa2

bb

厂・%=---玉），即点M在直线y-...x上。•10分

aa

22

(3)由(1)知，曲线G：^+器=i(y4o)，点工(6,0)

设直线4的方程为x="y+6（”>0）

’22

工+乙=1

<2016-n（4〃2+5）/+48〃y+64=010分

x-ny+6

222

A=（48/?）-4-64-（4n+5）>0=>n>l•11分

设。（毛,％）,。（%，%）

一48〃

由韦达定理：，12分

64

；』为一”|=+=16©.

，4〃二+3

加郎=|1哂-5.6卜小工卜|%-”|=；81669"=646^^

乙乙IfIIJIIJ

13分

令r=J〃2-l>0,〃2=r+i,

SACI）F=64小-=6475.—.............14分

A。*'、4r+94f+2

t

naAa

vr>0,.\4r+->12,当且仅当£=一即〃=乂一时等号成立.......15分

t22

,\/1~3,°/人区116j^八

，〃==厂时，，SAC仍=64^5-—=——.............16分

22123

23.（本题18分，第一小题4分，第二小题6分，第三小题8分）

（1）〃=1时，（=S；na；=a；nq=l（q=0舍去）...1分

〃=2时，（=S；=>a；+£=（4+4）~=>1+域=（1+。2）

=>々2=2或%=-1（々2=。舍去）........2分

〃=3时，4=S；=>@=（q+冬+qJ

当%=2时，l+8+£=（1+2+%丫

=>q=3或%=—2（q=0舍去）

2

当。2=-］时，1-1+《=0-1+%）=>。3=1（%=0舍去）.......3分

所以符合要求的数列有：1,2,3；1,2,21,-1,1.............4分

（2）an=n,即证13+23+33+...+〃3=（i+2+3+—+“y,

用数学归纳法证：

1.〃=1时，r=r成立........6分

2.假设〃=3尸+23+33+…+二=（1+2+3+…+女丫成立......7分

323

则〃=左+1时，l3+23+33+---+A:3+（）t+l）'=（1+2+3+—・+左）一+化+1）、

r_12r-|2r-]2

=^±+化+1)3=苧,+4&+4b(1+早+2)

--12