高职应用数学 1

应第1章基础知识用数学高职1.代数基础知识2.函数的概念3.工程技术中函数的建立本章内容4.经济函数的建立1.1.代数基础知识1.1.1指数及其运算1.1.2对数及其运算1.1.3方程1.1.4不等式1.1.1指数及其运算1．整数指数幂整数指数幂的意义及运算法则，即（1）正整数指数幂：(n为正整数)。（2）零指数幂：。（3）负整数指数幂：(，n为正整数)。（4）整数指数幂的运算法则：(，m，n为整数)2．分数指数幂1）n次根式（1）当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时a的n次方根可以记作。（2）当n为偶数时，正数a的n次方根有两个，它们互为相反数，分别用和表示，其中称为a的n次算术根。负数没有偶次方根。（3）0的n次方根是0，记作。一般地，如果且，则称x为a的n次方根。2）分数指数幂为了实际需要，特规定：（1）（2）（3）整数指数幂的运算法则对于有理数指数幂也同样适用。前提是必须使运算法则中出现的每一个有理数指数幂都有意义。即当，p，q

为有理数时，有例1计算下列各式的值：（1）；（2）；（3）；（4）。（1）解

（2）（3）（4）1.1.2对数及其运算1．对数的概念整数指数幂的意义及运算法则，即如果，那么b称为以a为底N的对数，记作其中，a称为对数的底数（简称底），N称为真数。通常，我们称形如的等式为指数式，称形如的等式为对数式。由对数的定义可知，当时，对数具有如下基本性质：（1）零和负数没有对数，即；（2），即1的对数为0；（3），即底的对数为12．积、商、幂的对数设，则因为所以当时，对数有如下运算法则：例2计算下列各式的值：（1）；（2）；（3）；（4）。（1）解

（2）（3）（4）1.1.3方程1．直线方程如图1-1所示，已知直线l经过点，且斜率为k。设点为直线l上不同于点P0的任意一点，由斜率公式可得1）直线的点斜式方程图1-1整理得由于上述方程是由直线上的一点和直线的斜率确定的，所以称为直线的点斜式方程。如图1-2所示，设直线l与x轴交于点，与y轴交于点，则a称为直线l在x轴上的截距（或横截距）；b称为直线l在y轴上的截距（或纵截距）。2）直线的斜截式方程即上述方程是由直线的斜率和在y轴上的截距确定的，所以称为直线的斜截式方程。图1-2设直线l与y轴的交点为，且直线l的斜率为k，则直线l的方程为例3某直线过点，且在y轴上的截距为-2。试写出该直线的方程。解

因为直线在y轴上的截距为-2，即过点，又因直线过点，所以直线的

斜率为故直线的方程为我们把形如（A，B不全为零）的二元一次方程称为直线的一般式方程。3）直线的一般式方程例4将方程化为直线的一般式方程，并分别求出该直线在x轴和y轴上的截距。解

由可得直线的一般式方程为在一般式方程中，令，则，故直线在x轴上的截距为；令，则，故直线在y轴上的截距为-5。例5已知直线l经过点，斜率为-3，求直线l点斜式方程、斜截式方程和一般式方程。解

因直线l经过点，斜率为-3，则其点斜式方程为将上述方程变形后可得直线的斜截式方程将斜截式方程移项后可得直线的一般式方程2．一元二次方程1）公式法当时，方程的实数根可写为一般地，式子称为一元二次方程根的判别式，通常用希腊字母“”表示，即。的形式，这个式子称为一元二次方程的求根公式。例6用公式法解下列方程：（1）；（2）。（1）解

方程有两个不等的实数根：即（2）方程有两个不等的实数根：2）因式分解法根据上述规律，物体经过多少秒落回地面（结果保留小数点后两位）？设物体经过xs落回地面，这时它离地面的高度为0m，即引例根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上抛，那么物体经过xs离地面的高度（单位：m）为此方程的左边可以因式分解，得所以所以，方程的两个根为这种解一元二次方程的方法称为因式分解法。或这两个根中，表示物体约在2.04s时落回地面，而表示物体被上抛或离开地面的时刻，即在0s时物体被抛出，此刻物体的高度是0m。例7解下列方程：（1）；（2）。解

于是得（1）因式分解，得（2）移项，合并同类项，得因式分解，得于是得1.1.4不等式1．不等式的概念及基本性质用不等号（）表示不等关系的式子称为不等式。性质1（传递性）如果，则。性质2（加法性质）如果，则。性质3（乘法性质）如果，则；如果，

则。不等式具有三条基本性质：例8某工人要在规定的时间内加工400个零件，如果他每小时加工50个便可按时完成任务。但当他加工3个小时后，因有事停工了50分钟，而后继续加工零件，问为了能够按时或提前完成任务，该工人在以后的时间内平均每小时至少要加工多少个零件？解

设该工人在以后的时间内平均每小时至少要加工个零件，根据题意得2．含有绝对值的不等式对于任意实数x，都有，并且1）或型不等式的几何意义为：数轴上表示实数x的点到原点O的距离。由绝对值的几何意义可知，不等式表示的是数轴上到原点的距离小于3的所有点的集合，如图1-5（a）所示；不等式表示的是数轴上到原点的距离大于3的所有点的集合，如图1-5（b）所示。（a）

（b）

图1-5由图1-5可知，不等式的解集为；不等式的解集为

。一般地，不等式的解集为；不等式的解集是

。例9解下列各不等式：（1）；（2）。解

（1）由不等式，得，故原不等式的解集为。（2）由不等式，得，故原不等式的解集为。其解集为2）或型不等式求解不等式时，可先设，则不等式化为即根据不等式的性质，可以求出，即原不等式的解集为。上述这种求解不等式的方法称为“变量替换法”或“换元法”。例10解不等式：。解

由原不等式可得于是即所以原不等式的解集为实数与数轴上的点之间是一一对应的关系，如集合可以用数轴上位于-3与2之间的一条线段（不包括端点）来表示，如图1-6所示3．区间的概念1）有限区间图1-6由数轴上两点之间的全部实数所组成的集合称为区间，其中这两个点称为区间端点。不含端点的区间称为开区间，含有两个端点的区间称为闭区间。图1-7只含左端点的区间称为右半开区间，如集合表示的区间就是右半开区间，记作；只含右端点的区间称为左半开区间，如集合表示的区间就是左半开区间，记作。如图1-6中，集合表示的就是开区间，记作。如图1-7中，集合表示的就是闭区间，记作。综上所述，设a，b为任意实数，且，则有（1）开区间：；（2）闭区间：；（3）右半开区间：；（4）左半开区间：。以上介绍的开区间、闭区间、右半开区间和左半开区间统称为有限区间。集合可以用数轴上位于3右侧的一条射线（不包括端点）来表示，如图1-8所示。2）无限区间图1-8由图可以看出，集合所表示的区间的左端点为3，没有右端点，这时可以将其记作，其中符号“”读作“正无穷大”，表示右端点可以任意大，而并非某个具体的数。综上所述，设a，b为任意实数，且，则有（1）；（2）；（3）；（4）；以上这5种区间统称为无限区间。相比而言，有些集合用区间来表示，更为方便、简单。（5）实数集R如果用区间来表示，可以记作。4．邻域的概念设点与是两个实数，且，则称集合为点的邻域，记作，如图1-9所示．其中称为邻域中心，称为邻域半径。有时还会用到去掉中心的邻域，即集合，称其为点的去心邻域，记作，如图1-10所示。图1-9图1-10只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是二次的不等式，称为一元二次不等式，其一般形式为5．一元二次不等式或。我们知道，对于一元二次方程，它的解按照判别式，，可以分为三种情况。下面，我们按照这三种情况分别讨论对应的一元二次不等式或的解集。（1）当时，方程有两个不相等的实数解和（），对应函数的图像与x轴有两个交点，即，，如图1-11（a）所示。此时不等式的解集为，不等式的解集为。（2）当时，方程有两个相等的实数解，对应函数的图像与x轴只有一个交点，即，如图1-11（b）所示。此时不等式的解集为

，不等式

的解集为R，不等式的解集为。（3）当时，方程没有实数解，对应函数

的图像与x轴没有交点，如图1-11（c）所示。此时不等式

的解集为R，不等式的解集为。（a）

（b）

（c）图1-11例11k为何值时，方程无实数解。解

可化为。依题意知，此方程的判别式，即因此，需要解不等式。解方程得由于二次项系数为，所以不等式的解集为，即当时，方程无实数解。1.2函数的概念1.2.1函数的概念与性质1.2.2基本初等函数1.2.3复合函数1.2.4初等函数和分段函数1.2.1函数的概念与性质1．函数的概念1）函数的定义引例1在自由落体运动中，物体下落的距离s随下落时间t的变化而变化，下落距离s与时间t之间的依赖关系可表示为引例2某儿童玩具的销售价格是每套20元，假设销售量是q套，那么销售收入R与销售量之间的对应关系为定义1设有两个变量x和y，D是一个非空数集，若当变量x在集合D内任取一个值，变量y依照一定法则f，总有确定的值与之对应，则称变量y是x的函数，记为其中，D称为函数的定义域，x称为自变量，y称为因变量。对于确定的，与之对应的y0称为函数在x0处的函数值，记作当x取遍D中的一切数值时，对应的函数值y的集合称为函数的值域，记作M：例1设函数，求。解例2判断下列函数是否为同一函数：（1）；（2）。解2）函数的两要素把函数的定义域和对应法则称为函数的两要素。（1）函数的定义域为，而函数的定义域为，故不是同一函数。（2）两个函数的定义域和对应法则都相同，故是同一函数。例3求下列函数的定义域：（1）； （2）。解（1）因，解得且。所以函数的定义域为（2）因解得，所以函数的定义域为。3）函数的表示法解析法：用数学式子表示函数，也称公式法．由于表达简单，便于理论推导和运算，它在高等数学中是最常见的函数表示法。表格法：用表格的形式表示函数，如表1-1以列表的形式给出了国内生产总值与年份之间的函数关系。函数通常有三种不同的表示方法：表1-1单位：亿元图像法：用图形表示函数，其优点是形象直观，可以看到函数的变化趋势，如某地一天的气温变化曲线图、上证指数K线图等。1）单调性2．函数的性质设函数在区间I内有定义，若对区间I内的任意两点，当时，有，则称在区间I内单调增加，区间I称为单调增区间；当时，有，则称在区间I内单调减少，区间I称为单调减区间。单调增区间和单调减区间统称为单调区间。2）奇偶性设函数的定义域关于原点对称（即若，则），若对于任意的，都有，则称为偶函数；若对于任意的，都有，则称为奇函数。偶函数的图像关于y轴对称，奇函数的图像关于原点对称。3）有界性设函数在区间I上有定义，如果存在一个正数M，使得与任一所对应的函数值都满足不等式，则称函数在I内有界；如果这样的M不存在，则称函数在I内无界。4）周期性设函数在区间D上有定义，若存在常数，对于任意的，恒有，则称是以T为周期的周期函数。1.2.2基本初等函数1．常数函数常数函数的定义域为，对应法则是对于任何，x所对应的函数值y恒等于常数C。其函数图像为平行于x轴的直线，如图1-12所示。图1-122．幂函数（a）

（b）图1-13幂函数的定义域和值域由a而定，但在内都有定义，且其图像都经过点。如图1-13所示给出了几个常见幂函数的图像。3．指数函数指数函数的定义域为，值域为，图像都经过点。当时，单调增加；当时，单调减少。指数函数的图像均在x轴上方，如图1-14所示。图1-144．对数函数对数函数是指数函数的反函数。对数函数的定义域为，值域为，图像都经过点。当时，

单调增加；当时，单调减少。对数函数的图像在y轴的右方，如图1-15所示。

图1-15当时，简记为，它是常见的对数函数，称为自然对数。其中，

为无理数。5．三角函数正弦函数，余弦函数；正切函数，余切函数；正割函数，余割函数。三角函数有：（1）和的定义域为，值域为，都以为周期。是奇函数，是偶函教，如图1-16所示。图1-16（2）的定义域是，的定义域是，它们都以为周期，且都是奇函数，分别如图1-17（a）和（b）所示。（a）

（b）图1-176．反三角函数（1）反正弦函数是正弦函数在区间上的反函数，其定义域为，值域为，如图1-18（a）所示。（a）

（b）图1-18（2）反余弦函数是余弦函数在区间上的反函数，其定义域为，值域为，如图1-18（b）所示。（3）反正切函数是正切函数在区间内的反函数，其定义域为，值域为，如图1-19（a）所示。（4）反余切函数是余切函数在区间内的反函数，其定义域为，值域为，如图1-19（b）所示。（a）

（b）图1-191.2.3复合函数定义2设y是u的函数，u是x的函数。如果的值域与的定义域的交集不是空集，则y通过u构成x的函数，称为x的复合函数，其中u称为中间变量。例4写出下列函数的复合过程：（1）； （2）。解（1）（2）1.2.4初等函数和分段函数1．初等函数定义3由基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的复合构成，并且用一个式子表示的函数叫做初等函数。2．分段函数例52016年北京出租车的基本收费标准是：起步价为3公里收费13元，计程标准每公里2.3元，燃油附加费全部运次加收1元。那么行驶里程数x公里与费用y元之间的关系为例5已知分段函数（1）求；（2）求其定义域，并画出其图像。解（1）（2）其定义域为。图像如图1-20所示。图1-20常用的分段函数有：1）绝对值函数绝对值函数的图像如图1-21所示。图1-212）符号函数符号函数的图像如图1-22所示。图1-221.3工程技术中函数的建立例1建筑工程中采石或取土时，常用炸药包进行爆破．实践表明，爆破部分呈倒立圆锥形状，如图1-23所示．圆锥的母线长度即爆破作用半径L，它是一定的，圆锥的底面半径即漏斗底半径为r，试求炸药包爆破体积与埋藏深度之间的函数关系。解图1-23由图1-23可知因为圆锥的体积公式为，所以将代入体积公式，可得炸药包爆破体积与埋藏深度之间的函数关系为解图1-24由已知可得例2一条横断面为等腰梯形的排水渠道，底宽为，边坡1∶1（即坡角），如图1-24所示．在过水断面（即垂直于水流的横断面）的面积A一定的条件下，试建立渠道的湿周L（即水流与界壁接触的长度）与水深h之间的函数关系。因为又因为过水断面的面积A一定，即A为常量，所以可求得将上式代入湿周L的表达式，便得到湿周L与水深h的函数关系式，即为由于底宽b总是取正，即，即，则或，又由于水深h总是取正的，即，因此湿周L与水深h的函数定义域为。例3电力部门规定：居民每月用电量不超过30度时，每度电按0.5元收费；当用电量超过30度但不超过60度时，超过的部分每度按0.6元收费；当用电量超过60度时，超过部分按每度0.8元收费。试建立居民月用电费G与月用电量W之间的函数关系。解当时，；当时，；当，。所以例4弹簧在汽车悬吊系统中广泛应用，在弹性限度内，弹簧伸长量与受力大小成正比。现在有一弹簧受力4N，伸长了0.01m，求该弹簧的伸长量与受到的力之间的函数关系。解由此得伸长量l与受到的力F之间的函数关系为设弹簧受力为FN时，其伸长量为lm，由题意可知（k为比例常数）将已知条件时，，代入上式，得1.4经济函数的建立1.4.1需求函数1.4.2供给函数1.4.3成本函数1.4.4收入函数与利润函数1.4.5单利与复利1.4.1需求函数常见的需求函数有如下三种函数模型：线性函数；二次函数；指数函数。例1某计算器售价80元/台时，月销售量是1000台；当价格调整为85元/台，月销售量600台，求该商品的线性需求函数。解所求的需求函数为设该商品的线性需求函数为。由题意可知，当时，；当时，。代入上式得某商品的市场供给量S受商品价格的制约，价格上涨将刺激生产者向市场提供更多的商品，使供给量增加；价格下跌将使供给量减少。供给量S是商品价格p的函数，称为供给函数，记为。供给量S是价格p的单调增函数。一般地，使某种商品的市场需求量与供给量相等的价格称为均衡价格。1.4.2供给函数当价格时，商品供不应求，商品的价格有提高的趋势；当价格时，商品供过于求，商品的价格有下降的趋势；当价格在p0

处时，供给量等于需求量。这就体现了价格的市场调节作用。总成本C是指用于生产的总费用。它由固