具有负刚度特性的超低频隔振系统的特性分析

具有负刚度特性的超低频隔振系统的特性分析

随着工业化的不断发展，振动隔离的要求越来越高。被动隔振器因价格便宜,效果稳定而在工业中广为使用,但典型的线性被动隔振器的有效的隔振频率经常受到隔振器要承受较高的静态载荷因而需要较高的静态刚度的制约。为了扩大隔振范围,又需要尽量减小系统刚度来获取较低的隔振频率,被动隔振器中始终存在着刚度和位移间的权衡问题。非线性隔振器由于具有许多特定的优点,一直以来尤其近年来成为许多科学家的研究热点,Ibrahim对非线性被动隔振器的进展做了充分的总结。非线性隔振的载体形式多种多样,Virgin研究了杆件在临界弯曲附近的非线性特性和隔振效果。Platus使用了具有负刚度的两端受压杆和线性弹簧连接的形式设计实现了超低频隔振器。张建卓等也使用类似的结构实现了对精密仪器的超低频隔振效果。路纯红通过并联正负刚度机构分析并提出了一种新型超低频隔振器。Carrella对三根弹簧的组合进行了静态和动态分析,阐明了系统具有的近似零刚度特性,对零刚度范围进行了优化,并用杜芬方程描述了该系统,之后又讨论了此隔振系统在旋转机器中的应用,得到了更宽的隔振频率范围。非线性被动隔振器因为经常利用部件的临界状态进行有效隔振,所以往往具有不稳定的缺点,也非常难以实际设计应用于工程中。本文由Somnay对非线性滑动梁的隔振研究扩展开来,结合工程实用性,分析并讨论了滑动梁结合线形弹簧组成的系统带来的全新性能特性,包括以下几个部分:第一,静态特性研究,对滑动梁-弹簧系统力-位移和刚度特性进行分析并讨论其近似零刚度特性;第二,动态特性研究,为系统添加粘性阻尼,研究其力传递率,并和等效的线性系统相比较;第三,讨论可能对隔振器的设计产生影响的参数选择。1静态分析1.1未变形梁的力-变形方程(1)Somnay对用刀口支撑的滑动梁作为非线性隔振器的基本理论有了较为详细的研究。对于如图1所示的滑动梁系统,其载荷与中心位移的关系可用拟合的多项式来描述:其中:p为负载力,l为支撑长度,d是梁中心位置距离未变形梁的长度,EI为梁的抗弯刚度,a1,a3,a5,a7,a9,a11为常数,见文献。(2)滑动梁无任何变形时,在其中间加入线形弹簧,在载荷的作用下梁和弹簧一起变形,见图2。此时系统的力-变形方程的推导十分简单:其中:Fc0为系统所承受的总载荷,k为所加弹簧的刚度,其他参数与上相同。方程(2)两边同时除以EI/l2可以得到无量纲的力和变形表达式:其中kn为定义的刚度比,其他参数同上。以无量纲的力Fc0l2为无量纲的位移x/l的函数,画出力-位移曲线如图3所示。图中四条曲线分别对应四种不同的刚度比,可以看出当加上弹簧后,系统的整体承载能力增强,而且随着刚度比的增大,整个系统在一定范围内不会出现位移增加力变小即负刚度的情况。1.2弹簧刚度的影响将方程(3)第一式对无量纲位移x/l进行微分可以得到系统的无量纲刚度:其中为无量纲刚度,为无量纲位移。画出刚度和位移的关系如图4所示,如果未加弹簧,系统在x/l=0.24以后明显具有负刚度特性,随着刚度比的增加,即所加弹簧刚度的增加,系统的最低刚度在相应范围内(0≤x/l≤0.5)不断上移,但图线趋势不变,kn=16时,图4中所示的实线具有近似动态零刚度特性(x/l=0.4),可以预见,如果静态时在负载的作用下,系统平衡的位置在此点,此时若系统在足够小的范围之内工作,则系统将具有理论上极好的隔振效果。2动态建模2.1固有频率的定义系统如图2所示,一定质量m的被隔振物体(通常为机器,设备等)加载于系统之后,系统到达稳定平衡位置时在设备上施加简谐激励,根据牛顿第二定律可列出系统动力学方程:且系统在无激励下处于平衡位置时有:其中,为位移对时间的二次导数,δ为系统加载设备质量m后滑动梁中间向下的位移,m为所加设备质量,g为重力加速度,F0为激励幅值,ω为激励力角速度,其它参数同上。将方程(5)展开,并将方程(6)带入,整理后可得:其中τ=ωnt;Ω=ω/ωn;f0=F0/ωn2ml;为定义的滑动梁-弹簧系统固有频率,其它参数见附录A。将阻尼比加入方程(7)中,得:2.2谐波平衡法求解非负局部约束下的系统响应问题求解方程(8)非常困难,但是对于小位移,高次项所带来的影响可以忽略,先将方程(8)化为:方程(9)被称为Helmholtz-Duffing方程,并有诸多的研究。简化后的恢复力与简化前的恢复力和位移的关系如图(5)所示,位移较小时(<0.1)对方程的简化是非常有效的,随着位移的增大,偏差开始增大,但是总体趋势一致。Kovacic使用谐波平衡法,求解了和方程(9)类似的方程,分析和验证了非对称杜芬系统的双跳变现象,并从刚度变化方面给出了出现双跳变现象的解释。本文同样采用谐波平衡法对其进行求解。对方程(9)做变换x*=x+b2/(3b3)并设方程的解为:将方程(10)带入到变换后的方程,并使得常数项和正弦及余弦项相等,可得:从方程(11)可解除只含有A0的方程:给定系统的阻尼以及各特性参数,由方程(12)可以求得A0,结合(11)便可求得方程(9)的解。据前面的讨论,在kn=16时,系统具有零刚度,具有很低的隔振频率,但同时系统可承受的位移却大大减小,为了使系统能够具有一定的位移而又具有较低的隔振频率,选择kn=20,x/l=0.3作为系统的平衡点。图6(a)和图6(b)是系统响应的两个表达项:常数项A0和简谐项A1随频率比的变化图,即频率响应曲线,激励赋值为f0=0.0015,同时,使用Matlab工具并分为逐渐增加激励频率和逐渐减少激励频率,对方程(8)和方程(9)进行数值求解,然后据傅里叶分解求得A0,A1。从图中看出,简化后的方程使用谐波平衡法求解和对未简化的方程进行数值求解,其误差很小,二者吻合很好,这说明在小幅值激励下,简化是成功的。同时,由图还可以看出,系统在小幅值激励下呈现软特性。系统出现一次跳变。图7(a)和图7(b)是激励幅值增加为f0=0.005时的频率响应曲线。从图中可以看出,对于A0和A1,都出现了二次跳变的现象,系统先表现为软特性,随后表现为硬特性;简化前和简化后的响应在频率比在较低和较高时,吻合的很好,但是在共振区附近,两者有差别。谐波平衡法的求解很好的吻合了数值解。但总体上,无论对于简化前还是简化后的系统,都能很好的预测二次跳变特性。3动力学建模及分析本文对一种新型的非线性被动超低频隔振器的特性进行了研究,通过并联正负刚度机构,设计实现了具有近似零刚度的隔振器,并对系统静态特性进行了分析,得出了梁的等效刚度和附加弹簧比值及所能获取刚度的关系。选定系统的平衡点后,对系统进行了动力学建模,在对动力学方程