第七章 理想不可压缩流体无旋运动

第七章理想不可压缩流体无旋运动1第1页，课件共60页，创作于2023年2月第一节引言一、不可压缩理想流体无旋运动模型1）理想：粘性力<<惯性力的区域，忽略粘性力作用，简化方程例如绕流问题中边界层以外区域的流动。不脱体绕流流动在研究压力场和速度场时可不计边界层，近似看成理想流体绕流物体流动。2第2页，课件共60页，创作于2023年2月第一节引言一、不可压缩理想流体无旋运动模型2）不可压缩：液体，通常情况下。气体，低速绕流运动（流速<<声速），例如飞机速度<100m/s时。3）无旋运动：在以上近似下，有势体力场中流体涡旋运动性质具有保持性，即初始无旋则永远无旋。在流体从静止开始的运动中和无穷远均匀来流绕流物体的运动等，流动均无旋。此模型是对一类广泛存在的流动问题的理想近似。3第3页，课件共60页，创作于2023年2月第一节引言二、基本方程组方程组求解的困难:(1)惯性项非线性；(2)速度v与压力p相互关联，需要联立求解4第4页，课件共60页，创作于2023年2月若运动无旋，则：存在势函数，满足：代入连续性方程，得：拉普拉斯方程：线性的二阶偏微分方程5第5页，课件共60页，创作于2023年2月若流体是理想不可压缩的，外力有势，且运动无旋，则运动方程可以积分求解，得到拉格朗日积分方程：6第6页，课件共60页，创作于2023年2月对理想不可压缩流体无旋运动，方程组和初始、边界条件为：适用范围：粘性力<<惯性力或其他力的区域，忽略粘性力作用7第7页，课件共60页，创作于2023年2月第二节理想不可压缩流体平面无旋运动一、平面定常运动条件：1)稳定流动，随时间变化可忽略不计；2)所研究的流动区域在一个方向的尺寸比其他两个方向大得多；3)流体参数在小尺寸的方向上变化很小，基本为定值；数学表达1)流体运动只在与Oxy平面平行的平面内进行，w=0；2)在与Oz轴平行的直线上所有物理量不变，即：8第8页，课件共60页，创作于2023年2月绕无限翼展的流动(平面流动)9第9页，课件共60页，创作于2023年2月绕有限翼展的流动(三维流动)10第10页，课件共60页，创作于2023年2月第二节理想不可压缩流体平面无旋运动二、速度势函数对平面运动：w=011第11页，课件共60页，创作于2023年2月第二节理想不可压缩流体平面无旋运动二、速度势函数对平面无旋运动：w=0速度分量满足的关系存在势函数满足：12第12页，课件共60页，创作于2023年2月第二节理想不可压缩流体平面无旋运动若平面无旋运动速度分布v已知，则势函数为：速度势函数满足下列性质：M与M0分别为流场中任意两点1)速度势函数可允许相关一任意常数，而不影响流体的运动；2)常数是等势线，它的法线方向和速度矢量的方向重合：13第13页，课件共60页，创作于2023年2月第二节理想不可压缩流体平面无旋运动3)沿曲线MM0的速度环量等于这两点处势函数的差值：M与M0分别为流场中任意两点4)若研究的流动区域是单连通区域，则由于封闭回线的速度环量因此速度势函数是单值函数。14第14页，课件共60页，创作于2023年2月第二节理想不可压缩流体平面无旋运动单连通区域：如果区域内任两点都可用区域内的一条曲线连接，则这样的区域是连通的。如果在连通的区域内任一封闭曲线可以不出边界的连续收缩到一点，则此连通区域称为单连通区域球体内部－单连通圆环内部－双连通15第15页，课件共60页，创作于2023年2月第二节理想不可压缩流体平面无旋运动平面运动时，不可压缩流体的连续性方程为：速度势函数满足二维坐标系下的拉普拉斯方程16第16页，课件共60页，创作于2023年2月三、流函数由连续性方程：存在一个函数，满足：称为流函数M与M0分别为流场中任意两点17第17页，课件共60页，创作于2023年2月流函数满足下列性质：1)流函数可允许相差一任意常数，而不影响流体的运动；2)常数是流线，它的切线方向和速度矢量的方向重合：根据定义，流线方程为：常数是流线18第18页，课件共60页，创作于2023年2月第二节理想不可压缩流体平面无旋运动3)通过曲线NN0的流量等于这两点处流函数的差值：N与N0分别为流场中任意两点19第19页，课件共60页，创作于2023年2月第二节理想不可压缩流体平面无旋运动3)通过曲线MM0的流量等于这两点处流函数的差值：20第20页，课件共60页，创作于2023年2月第二节理想不可压缩流体平面无旋运动3)通过曲线MM0的流量等于这两点处流函数的差值：曲线积分坐标积分全微分函数的积分与积分路径无关21第21页，课件共60页，创作于2023年2月第二节理想不可压缩流体平面无旋运动4)在单连通区域内若不存在源汇，则因此流函数是单值函数。平面无旋运动时，流函数满足二维坐标系下的拉普拉斯方程22第22页，课件共60页，创作于2023年2月用流函数描述流场23第23页，课件共60页，创作于2023年2月用流函数描述流场

24第24页，课件共60页，创作于2023年2月用流函数描述流场

25第25页，课件共60页，创作于2023年2月四、复位势与复速度对理想不可压缩流体平面无旋运动，考虑速度势函数与流函数：势函数与流函数间的关系：哥西－黎曼条件流线和等势线正交26第26页，课件共60页，创作于2023年2月四、复位势与复速度构造一个复函数：定义复速度：实部－速度势函数虚部－流函数27第27页，课件共60页，创作于2023年2月四、复位势与复速度当已知共轭复速度，可求得复函数：1)复函数可允许相差一任意常数，而不影响流体的运动；2)w(z)=常数等价于流函数和速度势分别等于常数，它们分别代表等势线和流线，且二者正交：复位势的性质3)共轭复速度沿封闭回线C的积分，其实数部分为沿该封闭回线的速度环量，而虚数部分则为通过封闭回线C的流量。4)在无源无涡的单连通区域内，w(z)是单值函数。28第28页，课件共60页，创作于2023年2月第三节理想不可压缩流体平面无旋运动－基本流动形态及数学表达平面无旋运动复位势（解析函数）一一对应基本解析函数的叠加基本流动的组合29第29页，课件共60页，创作于2023年2月一、线性函数－均匀流a是复数共轭复速度流线族等势线族30第30页，课件共60页，创作于2023年2月二、点源与点汇a是实数用极坐标下的复数表达式流线族等势线族31第31页，课件共60页，创作于2023年2月a是实数32第32页，课件共60页，创作于2023年2月a是实数点源点汇若点源不在坐标原点而在z0点，则复位势为：33第33页，课件共60页，创作于2023年2月三、点涡b是实数34第34页，课件共60页，创作于2023年2月三、点涡b是实数点涡若点涡不在坐标原点而在z0点，则复位势为：35第35页，课件共60页，创作于2023年2月四、倒数函数－偶极子m是实数36第36页，课件共60页，创作于2023年2月四、倒数函数－偶极子m是实数37第37页，课件共60页，创作于2023年2月第四节圆柱的无环量绕流求解理想不可压缩流体无旋运动(1)正问题：给定物体，求绕流问题的复位势(解析函数)(2)反问题：给出复位势，反过来研究什么的平面无旋运动与之对应选择基本流动的组合，并满足给定的边界条件38第38页，课件共60页，创作于2023年2月第四节圆柱的无环量绕流圆柱定常绕流问题的解由下列两个基本流动叠加起来：(1)速度为V∞（实数）的平行流；(2)矩为m，轴线方向与来流相对的偶极子；复位势为：39第39页，课件共60页，创作于2023年2月40第40页，课件共60页，创作于2023年2月Ψ＝0时，为零流线，即绕流的边界线为圆柱定常绕流的流线41第41页，课件共60页，创作于2023年2月42第42页，课件共60页，创作于2023年2月43第43页，课件共60页，创作于2023年2月圆柱表面的切向速度44第44页，课件共60页，创作于2023年2月圆柱绕流的压力分布在流线上根据伯努力方程，忽略重力影响，z=常数得：45第45页，课件共60页，创作于2023年2月圆柱绕流的压力分布圆柱表面的压力分布46第46页，课件共60页，创作于2023年2月圆柱绕流的压力分布圆柱表面的压力分布47第47页，课件共60页，创作于2023年2月圆柱绕流的压力分布48第48页，课件共60页，创作于2023年2月49第49页，课件共60页，创作于2023年2月基本流动中涡旋，速度环量处处为零，称为无环量绕流压力沿圆周对称分布，在x，y两个方向的合力为零－在流动方向上阻力为零－与实际流动不符－达朗伯详谬在粘性力的作用下，在圆柱面上压力分布不对称，沿流动方向有合力，即产生流动阻力。50第50页，课件共60页，创作于2023年2月第五节圆柱的有环量绕流旋转的圆柱，由于粘性的作用带动周围的气体产生圆周运动，放在横向的均匀平行气流中，所组成的复合运动51第51页，课件共60页，创作于2023年2月第五节圆柱的有环量绕流圆柱的无环量绕流圆心处强度为－Γ(Γ>0)的点涡复位势：52第52页，课件共60页，创作于2023年2月流函数势函数：53第53页，课件共60页，创作于2023年2月圆柱表面的切向速度无环量绕流速度分布环量产生的切向速度分布圆柱表面的径向速度54第54页，课件共60页，创作于2023年2月圆柱有环量绕流的压力分布在流线上根据伯努力方程，忽略重力影响，z=常数得：55第55页，课件