第三章 位姿描述和齐次变换

第三章位姿描述和齐次变换第1页，课件共46页，创作于2023年2月3.列矩阵4.矩阵相等：两同型矩阵（行数和列数都相等）对应元素相等。2.行矩阵第2页，课件共46页，创作于2023年2月（2）矩阵与数相乘：该数与矩阵各元素相乘。5.单位矩阵：主对角线元素为1，其它所有的元素都为0的方阵。6.矩阵的运算（1）矩阵的加法：两同型矩阵的对应元素相加。第3页，课件共46页，创作于2023年2月（3）矩阵与矩阵相乘：（4）矩阵的转置：把矩阵的行换成同序数的列，记为第4页，课件共46页，创作于2023年2月7.矩阵的逆（逆矩阵）8.分块矩阵：分块后的矩阵与普通矩阵的运算相同。第5页，课件共46页，创作于2023年2月9.正交矩阵：如果，则A为正交矩阵。它满足：如果是正交矩阵，则行列式和矩阵的区别：矩阵是按一定方式排成的数表；行列式是一个数。第6页，课件共46页，创作于2023年2月（b）左手坐标系（a）右手坐标系二、直角坐标系

若基矢量相互正交，即它们在原点o处两两相交成直角，则它们构成直角坐标系或笛卡儿坐标系。斜角坐标系若按右手法则绕oz轴转900可以使ox轴转向oy轴，则称为右手坐标系；按左手法则形成的坐标系称左手坐标系。

本课程使用右手坐标系。第7页，课件共46页，创作于2023年2月其中θ是a和b两矢量间的夹角，如图所示。三、矢量的点积（内乘积或标量积）换句话说：一个矢量在另一个矢量上的投影等于该矢量与另一矢量方向上单位矢量的点积。再令a=j（j为a方向上的单位矢量），则即两矢量方向上单位矢量的点乘等于两矢量夹角的余弦。标量积令b=i（i为b方向上的单位矢量），则第8页，课件共46页，创作于2023年2月四、矢量的叉积（矢量积或叉乘积）其中矢量c的模为:其中θ是a和b间小于等于1800的夹角，若将a按右手法则绕c转θ角至b，右手拇指指向为c的正方向（如上图所示），c与a、b两者垂直。则叉乘积若a和b用分量的形式表示为:第9页，课件共46页，创作于2023年2月a和b的点乘为：将点乘和叉乘应用于右手笛卡尔坐标系的单位矢量i，j，k，有：第10页，课件共46页，创作于2023年2月3.2位姿描述与坐标变换3.2.1

刚体位置姿态（位姿）描述第11页，课件共46页，创作于2023年2月a)位置的描述采用直角坐标描述点的位置，因此，刚体F的位置描述，即OB点在{A}中描述可用一个3×1的列矢量（位置矢量）表示，即其中Px、Py和Pz是点OB在{A}系中的三个坐标分量。第12页，课件共46页，创作于2023年2月b)姿态（方位）的描述采用旋转矩阵来表示刚体姿态（方位），即由{B}系的三个单位主矢量相对于坐标系{A}的方向余弦组成：

既表示了刚体F在{A}系中的方位，也描述了{B}系在{A}系中的姿态。其中：xByBzBxA

yA

zA第13页，课件共46页，创作于2023年2月3.2.2坐标变换如图所示，坐标系{B}与{A}方向相同，但原点不重合。坐标平移

一、坐标平移此式称为平移方程。其中是B系中的原点在A系中的表示。第14页，课件共46页，创作于2023年2月二、坐标旋转坐标旋转如图所示，{B}与{A}有共同的坐标原点，但方位不同。令和分别是{A}和{B}中的单位主矢量，点P在两坐标系中各坐标轴上的坐标分量分别为：和第15页，课件共46页，创作于2023年2月利用点乘的性质和上式共同求解得将代入上面三式中并写成矩阵形式得所以有第16页，课件共46页，创作于2023年2月上式简写为：

此式称为坐标旋转方程。其中旋转矩阵表示了坐标系{B}相对于{A}的方位，正好与刚体姿态的描述相同。同理也可得和都是正交矩阵，因此满足由与互逆，可得第17页，课件共46页，创作于2023年2月旋转矩阵的几何意义：旋转矩阵在几何上表示了发生相互旋转的两坐标系各主轴之间的相互方位关系。若把写成行向量的形式，则其中每一个元素都是一个列向量。容易得出满足六个约束条件（称正交条件）：第18页，课件共46页，创作于2023年2月因此写出三个基本的旋转矩阵，即分别绕x、y和z轴转θ角的旋转矩阵：x’y’z’xyzx’y’z’xyzx’y’z’xyz第19页，课件共46页，创作于2023年2月例3.1若从基坐标系({B})到手爪坐标系({E})的旋转变换矩阵为。（1）画出两坐标系的相互方位关系（不考虑{E}的原点位置）；（2）如果给出OE({E}系的原点）在{B}中的位置矢量为（1，2，2），画出两坐标系的相对位姿关系；（3）求a，b，c的值。解：xEyEzExByBzB(1)(2)(3)a=0，b=1，c=0第20页，课件共46页，创作于2023年2月三、一般变换一般的情况：坐标系{B}的原点既不与{A}重合，方位也不相同。{C}系与｛Ｂ｝系原点重合，但方位不同，所以得{C}系与｛A｝系原点不重合，但方位相同，所以得进而有和第21页，课件共46页，创作于2023年2月例3.2已知坐标系{B}初始位姿与{A}重合，首先{B}相对{A}的zA轴转30°，再沿{A}的xA轴移动10个单位，并沿{A}的yA轴移动5个单位。求位置矢量和旋转矩阵。若,求。解：第22页，课件共46页，创作于2023年2月所以有：最后得：第23页，课件共46页，创作于2023年2月3.3齐次坐标与齐次变换复合变换式可以表示成等价的齐次变换式。简写成综合地表示了平移和旋转变换。第24页，课件共46页，创作于2023年2月3.3.1齐次坐标一般来说，以N+1维矢量表达N维位置矢量的方法称为齐次坐标表示法。在三维直角坐标系中，一个点可以表示为，它的齐次坐标就是，即满足Px=ωPx/ω，Py=ωPy/ω，Pz=ωPz/ω（ω是非零整数）。可以看出，在三维直角坐标系中，由于ω取值的不同，一个点的齐次坐标的表达不唯一。第25页，课件共46页，创作于2023年2月齐次坐标不仅可以规定点的位置（ω为非零整数），还可以用来规定矢量的方向（第四个元素为零时）。列向量(）表示空间的无穷远点，a，b和c称为它的方向数。分别代表了ox，oy和oz轴的无穷远点，用它们分别表示这三个坐标轴的方向。另外，代表坐标原点，没有意义。注意：位置矢量究竟是3×1的直角坐标还是4×1的齐次坐标，应根据上下文而定。第26页，课件共46页，创作于2023年2月在机器人研究中，齐次变换矩阵T为：3.3.2齐次变换齐次变换矩阵是4×4的矩阵，它的完整形式可以看成是由四个子矩阵组成：第27页，课件共46页，创作于2023年2月

纯旋转的齐次变换矩阵中P3×1为零矩阵，即，因此写出绕x，y和z轴旋转θ角的基本齐次变换矩阵为：

纯平移的齐次变换矩阵中R3×3=I3×3（单位阵），因此可以写出沿x，y和z轴移动Px，Py和Pz单位的基本平移变换阵：第28页，课件共46页，创作于2023年2月从而定义复合变换。给定坐标系{A}，{B}和{C}，已知{B}相对{A}的描述为，{C}相对{B}的描述为，则有同理得出：即一个坐标系变换至另一坐标系的齐次变换矩阵等于依次经历中间坐标系各齐次变换矩阵的连乘积。第29页，课件共46页，创作于2023年2月例3.4已知，画出{A}和{B}的相互位姿关系图。结论：齐次变换不仅可以表示同一点相对不同坐标系{B}和{A}中的变换，也可用来描述坐标系{B}相对于另一坐标系{A}的位姿，同时还可用来作为点的运动算子。例：书上P20例2.4。第30页，课件共46页，创作于2023年2月3.4齐次变换的性质1、绕固定坐标系依次进行的坐标系转换，各齐次变换矩阵按“从右向左”依次相乘原则进行运算（右乘）。一.变换过程的相对性=

RPY角RPY第31页，课件共46页，创作于2023年2月RPY角反解：第32页，课件共46页，创作于2023年2月2、绕动坐标系依次进行的齐次变换，按“从左向右”的原则依次相乘(左乘）。=z-y-x欧拉角：第33页，课件共46页，创作于2023年2月相对于固定坐标系运动相对于活动坐标系运动齐次变换的相对性第34页，课件共46页，创作于2023年2月齐次坐标变换过程是可逆的.若有，则逆变换。二.变换过程的可逆性所以有对应元素相等得第35页，课件共46页，创作于2023年2月所以得第36页，课件共46页，创作于2023年2月三.变换过程的封闭性因此有由上面两式得变换方程：画出空间尺寸链图为:第37页，课件共46页，创作于2023年2月例3.5如图所示，从{0}系到{3}系依次经过{1}系和{2}系的变换,①用两种方法求和，第一种根据齐次变换矩阵的几何意义求解，另一种采用坐标系依次变换的方法；②求（用两种方法）；③画出{0}到{3}的空间尺寸链图。第38页，课件共46页，创作于2023年2月空间尺寸链图：第39页，课件共46页，创作于2023年2月3.5旋转变换通式一.旋转变换通式

如果不是，要采用其对应的单位方向矢量令是过{A}系原点的单位矢量，求绕K旋转θ角到{B}系的旋转矩阵R(K,θ)，即。第40页，课件共46页，创作于2023年2月因此将上式展开得尺寸链图第41页，课件共46页，创作于2023年2月把上式右端相乘，并利用旋转矩阵的正交性质进行化简整理后得其中，sθ=sinθ;cθ=cosθ;Versθ=(1-cosθ)。

如果与坐标轴重合，则可得到绕x,y和z轴旋