相似三角形 经典模型总结与例题分类

相似三角形经典模型总结与例题分类相似三角形经典模型总结在相似三角形中，有一些经典的模型，包括平移型、平行型、旋转180°型、翻折180°型、一般型、特殊型、斜交型、双垂直型等。这些模型可以帮助我们更好地理解和解决相似三角形的问题。其中，平移型、平行型、翻折180°型、斜交型和双垂直型都是比较常见的模型。在解决相似三角形的问题时，可以根据具体情况选择相应的模型进行分析。以下是一些例题，可以帮助我们更好地理解相似三角形的模型和应用。例1：如图，EE1∥FF1∥MM1，若AE=EF=FM=MB，则S△AEE:S四边形EEFF:S四边形FFMM:S四边形MMCB=1:1:1:1。例2：如图，AD∥EF∥MN∥BC，若AD=9，BC=18，AE:EM:MB=2:3:4，则EF=27，MN=18。例3：已知，P为平行四边形ABCD对角线，AC上一点，过点P的直线与AD，BC，CD的延长线，AB的延长线分别相交于点E，F，G，H。则PEPH=PFPG。例4：已知：在△ABC中，D为AB中点，E为AC上一点，且AE=2，BE、CD相交于点F。则ABF=2EFD。例5：已知：在△ABC中，AD=11AB，延长BC到F，使CF=BC，连接FD交AC于点E。则①DE=EF②AE=2CE。例6：已知：D，E为三角形ABC中AB、BC边上的点，连接DE并延长交AC的延长线于点F，BD:DE=AB:AC。则△CEF为等腰三角形。例7：如图，已知AB//EF//CD，若AB=a，CD=b，EF=c，则a/b=c/(a+c)。例8：如图，S△ABD:S△BED:S△BCD=1:2:1。例9：如图，四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，M是AC上一点，ME⊥AD于点E，MF⊥BC于点F。则MF/ME+1=BD/AC。例10：如图，在△ABC中，D是AC边的中点，过D作直线EF交AB于E，交BC的延长线于F。则AE·BF=BE·CF。BCF：在线段AB上取一点C，以AC、CB为底在AB同侧作两个顶角相等的等腰三角形ADC和CEB，AE交CD于点P，BD交CE于点Q，证明CP=CQ。解法：首先，由等腰三角形的性质可知，∠ADC=∠CEB，∠ACD=∠BCD，因此△ADC≌△CEB，从而AP=BP，AQ=CQ。又因为P、Q分别在CD、CE上，所以PQ∥DE。又因为AE、BD交于一点，所以PQ交AB于一点，设交点为M，则APMQ为平行四边形，从而CP=CQ。ACB：在给定的锐角三角形ABC中，求作一个正方形DEFG，使D、E落在BC边上，F、G分别落在AC、AB边上。作法如下：首先画一个有三个顶点落在△ABC两边上的正方形D′E′F′G′，连接BF′并延长交AC于点F，过F点作FE⊥BC，垂足为点E，过F点作FG∥BC交AB于点G，过G点作GD⊥BC，垂足为点D，则四边形DEFG即为所求作的正方形。问题：（1）证明上述所作的四边形DEFG为正方形；（2）在△ABC中，如果BC=6+3，∠ABC=45°，∠BAC=75°，求上述正方形DEFG的边长。解法：（1）连接DE、EF、FG、GD，由作法可知，DEFG是平行四边形，所以DE=FG，EF=GD，因此DEFG是正方形。（2）设正方形DEFG的边长为x，则有EF=FG=x，因此AE=AF+FE=AF+x，由正弦定理可知，$\frac{AF}{\sin\angleABC}=\frac{AB}{\sin\angleBAC}$，代入数据可得AF=6，AB=6+3=9，$\sin\angleABC=\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sin\angleBAC=\sin75°=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$，代入可得$x=\sqrt{2}+\sqrt{6}$。梯形ABCD：已知梯形ABCD，AD∥BC，对角线AC、BD互相垂直，则AD+BC=AB+CD。解法：设AD=a，BC=b，AB=c，CD=d，AC=e，BD=f，由勾股定理可知，$e^2=a^2+f^2$，$f^2=b^2+e^2-2be\cos\angleBAC$，$e^2=c^2+d^2-2cd\cos\angleBAC$，代入可得$f^2=b^2+c^2+d^2-a^2-2cd\cos\angleBAC$，由余弦定理可知，$f^2=a^2+b^2+c^2+d^2-2ab-2cd$，即$f^2=a^2+2ab+b^2+c^2+2cd+d^2-2ab-2cd$，整理可得$f^2=a^2+b^2+c^2+d^2$，即$AD+BC=\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{c^2+d^2}=AB+CD$。AOD：当△AOD，以点O为旋转中心，逆时针旋转θ度（0<θ<90），则上述结论不成立。解法：当θ=90°时，A、O、D三点共线，AD=OD，上述结论成立；当θ<90°时，由于旋转后△AOD不再是等腰三角形，因此上述结论不成立。ABCD、BEFG：四边形ABCD和BEFG均为正方形，求AG:DF:CE。解法：由于ABCD和BEFG均为正方形，因此AB=B