第三章 分布与抽样分布

第三章分布与抽样分布第1页，课件共23页，创作于2023年2月第一节概率分布一个总体是由一个随机变量的所有可能取值来构成的，而样本只是这些所有可能取值的一部分随机变量中某一个值出现的概率，只是随机变量一个侧面的反映，若要全面了解随机变量则必须知道随机变量的全部值和各个值出现的概率，即随机变量的概率分布■概率和概率分布是生命科学研究中由样本推断总体的理论基础

随机变量的种类很多，每一种随机变量都有其特定的概率分布

连续型随机变量

离散型随机变量

在一定范围内可连续取值的变量在一定范围内只取有限种可能的值的变量正态分布

二项分布、泊松分布

第2页，课件共23页，创作于2023年2月1.正态分布

正态分布（normaldistribution）是德国数学家Gauss率先将其应用于天文学研究，故正态分布又称为Gauss分布（Gaussiandistribution）许多生物学领域的随机变量都服从或者近似服从正态分布，或通过某种转换后服从正态分布；许多其他类型分布基本上都与正态分布有关，它们的极限就是正态分布1.1正态分布的定义

在日常工作中所遇到的变量大多是连续型随机变量，当这一类随机变量呈线性，往往服从正态分布第3页，课件共23页，创作于2023年2月和正态分布相对应的曲线称为正态分布密度曲线，简称为正态曲线

用来描述正态曲线的函数称为正态分布密度函数

μ—总体平均数

σ2—

总体方差π—圆周率3.14σ—总体标准差■任何一个正态分布均由参数μ和σ所决定■如果一个随机变量x服从平均数为μ、方差为σ2的正态分布，可记为

x～N（μ，σ2）第4页，课件共23页，创作于2023年2月1.2正态分布的特点

（1）正态分布曲线以直线x=μ为对称轴，左右完全对称（3）正态分布曲线有两个拐点，拐点座标分别为（μ-σ，f（μ-σ））和（μ+σ，f（μ+σ）），在这两个拐点处曲线改变方向，即曲线在（-∞，μ-σ）和（μ+σ，+∞）区间上是下凹的，在[μ-σ，μ+σ]区间内是上凸的●●●（2）在x=μ处，f(x)有最大值第5页，课件共23页，创作于2023年2月（4）正态分布密度曲线的位置由μ决定（μ为位置参数），形状由σ决定（σ为形状参数）（5）正态分布曲线向两边无限延伸，以x轴为渐进线，分布从-∞到+∞μ的大小决定了曲线在x轴上的位置σ的大小则决定了曲线的胖瘦程度当σ恒定时，μ愈大，则曲线沿x轴愈向右移动μ愈小，曲线沿x轴愈向左移动σ越大表示数据越分散，曲线越胖σ越小表示数据越集中，曲线越瘦第6页，课件共23页，创作于2023年2月1.3标准正态分布正态分布由μ和σ所决定，不同的μ值就决定了不同的正态分布密度函数，因此在实际计算中很不方便的由于x是随机变量，因此u也是随机变量，变换后的正态分布密度函数为：标准正态分布（standardnormaldistribution）均具有μ=0，σ2=1的特性如果随机变量u服从标准正态分布，可记为：u～N（0，1）第7页，课件共23页，创作于2023年2月1.4正态分布的概率计算

根据概率论原理，可知随机变量x在区间（a，b）内取值的概率是一块面积：

曲线

随机变量x在（-∞，+∞）间取值的概率为1，即：■求随机变量x在某一区段内取值的概率就转化成了求由该区段与相应曲线所围成的曲边梯形的面积

第8页，课件共23页，创作于2023年2月由于正态分布的概率密度函数比较复杂，积分的计算也比较麻烦，而这些计算在动物科学研究和生产实践中又经常会用到最好的解决办法：将正态分布转化为标准正态分布，然后根据标准正态分布表（附表1）直接查出概率值（1）标准正态分布的概率计算

附表1列出了标准正态分布随机变量u在区间（

，uα]内取值的概率：第9页，课件共23页，创作于2023年2月例1：若u~N（0，1），求：（1）（2）（3）解：（1）（2）（3）第10页，课件共23页，创作于2023年2月关于标准正态分布，以下几种概率应当熟记：P（-1≤u＜1）=0.6826P（-2≤u＜2）=0.9545P（-3≤u＜3）=0.9973P（-1.96≤u＜1.96）=0.95P（-2.58≤u＜2.58）=0.99P（｜u｜≥1）u变量在上述区间以外取值的概率，即两尾概率：=1-P（-1≤u＜1）=1-0.6826=0.3174P（｜u｜≥2）=1-P（-2≤u＜2）=0.0455P（｜u｜≥3）=1-0.9973=0.0027P（｜u｜≥1.96）=1-0.95=0.05P（｜u｜≥2.58）=1-0.99=0.01第11页，课件共23页，创作于2023年2月（2）正态分布的概率计算

例2：设x~N（30，102）试求x≥40的概率。对于服从任意正态分布N（μ,σ2）的随机变量，欲求其在某个区间的取值概率，需先将它标准化为标准正态分布N（0,1）的随机变量，然后查表即可解：首先将正态分布

转化为标准正态分布，令:则u服从标准正态分布，故:第12页，课件共23页，创作于2023年2月关于一般正态分布，经常用到以下几个概率：P（μ-σ≤x＜μ+σ）=0.6826P（μ-2σ≤x＜μ+2σ）=0.9545P（μ-3σ≤x＜μ+3σ）=0.9973P（μ-1.96σ≤x＜μ+1.96σ）=0.95P（μ-2.58σ≤x＜μ+2.58σ）=0.99把随机变量x落在平均数μ加减不同倍数标准差σ区间之外的概率称为两尾概率（双侧概率），记作α对应于两尾概率可以求得随机变量x小于μ-kσ或大于μ+kσ的概率，称为一尾概率（单侧概率），记作α／2α0.3173

0.0455

0.0027

0.05

0.01

α/2第13页，课件共23页，创作于2023年2月附表2：给出了满足两尾临界值uα

例3：已知u~N（0，1），试求uα：

（1）（2）解：（1）（2）第14页，课件共23页，创作于2023年2月2.二项分布

二项分布（binomialdistribution）是一种最常见的、典型的离散型随机变量的概率分布由非此即彼的事件构成的总体称为二项总体结果“此”用变量1表示

概率为p

结果“彼”用变量0表示

概率为q

对于n次独立的试验，如果每次试验结果出现且只出现对立事件A与A-中之一，在每次试验中出现A的概率是p（0<p<1），因而出现对立事A-件的概率是1-p=q，则称这一连串重复的独立试验称为n重贝努利试验贝努利试验第15页，课件共23页，创作于2023年2月在n重贝努利试验中，事件A恰好发生m（0≤m≤n）次的概率为：其中：

m＝0，1，2…，n

2.1二项分布的定义

设随机变量x所有可能取的值为零和正整数：0，1，2，…，n，且有其中：

m＝0，1，2…，n

则称随机变量x服从参数为n和p的二项分布，记为x～B（n,p）

■只有两种可能结果的属性资料服从二项分布第16页，课件共23页，创作于2023年2月2.2二项分布的特点

（1）当p值较小且n不大时，分布是偏倚的，随着n的增大，分布逐渐趋于对称p=0.3n=5n=20n=50（2）当p值趋于0.5时，分布趋于对称（3）对于固定的n及p，当m增加时，Pn（m）先随之增加并达到其极大值，以后又下降（4）二项分布在n较大，且np>5，nq>5时，接近正态分布，n→∞时服从正态分布，即二项分布的极限是正态分布（5）二项分布的平均数为：

方差为：标准差为：第17页，课件共23页，创作于2023年2月例4：某奶牛场情期受胎率为0.6，该场对30头发情母牛配种，使24头母牛一次配种受胎的概率为多少？解：2.3二项分布的概率计算第18页，课件共23页，创作于2023年2月课堂练习：用某种常规药物治疗猪瘟的治愈率为0.7，对20头患猪瘟的肥育猪进行治疗，问20头猪中16头猪治愈的概率是多少？

解：第19页，课件共23页，创作于2023年2月3.泊松分布

当二项分布中的n→∞，p→0时，二项分布趋向于一种新的分布——泊松分布（普哇松分布）（Poisson’sdistribution）当试验次数（或称观测次数）很大，而某事件出现的概率很小，则离散型随机变量x服从于泊松分布

3.1泊松分布的定义

若随机变量x（x=m）只取零和正整数值0，1，2，…，且其概率分布为：其中：则称x服从参数为λ的泊松分布，记为x～P（λ）第20页，课件共23页，创作于2023年2月■泊松分布主要是用来描述小概率事件发生的概率单位空间中某些野生动物数畜群中的畸形个体数畜群中某些遗传性疾病的患病数

■泊松分布不是用来描述几乎不可能发生的事件的概率山无棱，天地合南京六月飞雪第21页，课件共23页，创作于2023年2月（1）泊松分布只有一个参数λ，λ=np

3.2泊松分布的特点

λ既是泊松分布的平均值μ，又是方差σ2，即：（2）泊松分布的图形决定于λ，λ值愈小分布愈偏倚，随着λ的增大，分布趋于对称λ＜1时P（x>0）为最大，1＜λ＜2时P（x=1）最大，2＜λ＜3时，P（x=2）最大，以此