第三章 行列式

第三章行列式第1页，课件共33页，创作于2023年2月设关于x1,x2的二元一次方程组为(1.1)其中a11,a12,a21,a22,b1,b2均为已知参数.用中学的消元法解此方程组.(1.2)将它代入第一个方程并化简,得(1.3)式(1.2)和(1.3)给出了两个变量两个方程的方程组(1.1)的求解公式(当a11a22

a12a21

0时).下面介绍一种更简单的记法表示求解公式(1.2),(1.3).一、二元一次方程组的求解公式第2页，课件共33页，创作于2023年2月二、二阶行列式的概念定义1二阶行列式主对角线副对角线其中横排称为行,竖排称为列.数aij(i,j=1,2)表示第i行第j列的元素.

在方程组中,若令第3页，课件共33页，创作于2023年2月公式(1.4)与公式(1.2)及(1.3)表示的是同一式子,但显然公式(1.4)简单易记得多.1其中D称为系数行列式,则当系数行列式D

0时,上述方程组的解可简记为(1.4)公式(1.4)称为解两个方程两个未知量的二元一次方程组的克莱姆(Cramer)法则.例设2x1+3x2=5,

3x1+x2=3,解此方程组.1例1解

=2+9=110,=4,在§1中我们利用二阶行列式已得到了二元一次方程组的求解公式.但实际问题中,往往要解多个变量的一次方程组(称为线性方程组),其中最简单、最重要的是未知量的个数与方程的个数相同的线性方程组.因此有必要引入高阶行列式的概念.第4页，课件共33页，创作于2023年2月一、排列的概念定义2将前n个自然数1,2,…,n按照某一顺序排成一行,就称为一个n级排列.其中若某两数之间大数在前而小数在后,则称它们构成一个逆序.一个排列中所有逆序数的总数称为该排列的逆序数.为了得到n阶行列式的定义和讨论其性质,先引入排列和逆序数的概念.n级排列(i1

i2…in)的逆序数记为τ(i1i2…in),简记为τ

.例如,四级排列2314中,2与1,3与1构成逆序,故τ(2314)=2;再如六级排列243516中,2与1,4与1,3与1,5与1,4与3均构成逆序,故τ(243516)=5.第5页，课件共33页，创作于2023年2月奇偶排列：有偶数个反序的排列叫做一个偶排列；有奇数个反序的排列叫做奇排列。如四级排列2314是偶排列，而六级排列243516为奇排列.对换：将一个排列中两个位置上的数互换而其余不动,则称对该排列作了一次对换.如排列31524是排列21534经过2与3对换而得,而τ(21534)=3,τ(31524)=4,即经过对换后排列的奇偶性改变了.第6页，课件共33页，创作于2023年2月定理2每一次对换改变排列的奇偶性.证由上述定理可知,在n级排列中,奇偶排列各占一半,即各有(n!/2)个.第7页，课件共33页，创作于2023年2月

先考察相邻两个数字的对换.设排列(“…”表不动的数字)经j,k的对换…k

j…显然这时排列中除j与k两数顺序改变外,其它任意两数的顺序并没有变,而j与k之间,若j<k,则经对换后构成逆序使排列的逆序数增加1,若j>k,则经对换后成自然顺序而使排列的逆序数减少1,总之，排列的奇偶性改变了.…jk…变成排列再看一般情形的对换.设排列…ji1i2

…im

k…经j与k对换变成排列…k

i1i2

…im

j…这可看作是通过一系列相邻对换得到的.从排列…ji1i2

…im

k…出发把k与im

对换,再与im1对换,一位位地向左移动,经m次相邻对换就变成了排列…j

k

i1i2

…im…,再把j一位一位地右移,经m+1次相邻对换就变成…k

i1i2

…im

j…,总共经过2m+1(奇数)次对换.排列的奇偶性也改变了.证第8页，课件共33页，创作于2023年2月一、三阶行列式定义1三阶行列式其中aij(i,j=1,2,3)表示第i行第j列上的元素.三阶行列式的计算可如下图:

+++第9页，课件共33页，创作于2023年2月例如求三阶行列式解原式=32+4+012(16)0=32+412+16=40.以后我们将证明三元一次方程组的解将与它的系数行列式密切相关.第10页，课件共33页，创作于2023年2月三、n阶行列式的定义利用排列与逆序数的概念,可以看出三阶行列式τ(123)=0τ(312)=2τ(231)=2τ(321)=3τ(132)=1τ(213)=1中共3!=6项,其中一半带正号,一半带负号.三阶行列式可记为第11页，课件共33页，创作于2023年2月其中是对所有三级排列(j1j2j3)求和.同样,二阶行列式其中是对所有二级排列(j1j2)求和.仿此,可得定义3n阶行列式其中是对所有n级排列(j1j2…jn)求和,而aij仍称为第i行第j列的元素.第12页，课件共33页，创作于2023年2月由定义3可知,n阶行列式是所有不在同一行也不在同一列的n个元素乘积的代数和,且共有n!项,其中一半带正号,一半带负号.例2在一个五阶行列式中a13a24a32a41a55的前面应取什么符号?解由于τ(34215)=5,列下标为奇排列,故a13

a24

a32

a41a55前应带负号.例3计算下列n阶行列式第13页，课件共33页，创作于2023年2月解由定义，D1中取自不同行不同列的n个元素的乘积，除了a11

a22…ann外，其余全为0，而a11

a22…ann的列下标的排列为(12…n),τ(12…n)=0,故D1=(1)0a11

a22…ann.作为例3的特例，可知下面的n阶行列式(称为对角行列式)第14页，课件共33页，创作于2023年2月例4计算n阶行列式解取D2

中不在同一行不在同一列的n个元素的乘积,除a1na2,n-1

…an1外,其余全为0,而a1na2,n-1…an1的列下标的排列为(n,n1,…,1),故第15页，课件共33页，创作于2023年2月一、行列式按行(列)展开计算行列式时,除将其化为三角行列式外,还可考虑将高阶行列式化为低阶行列式直至二阶行列式,因为二阶行列式的计算极为简单,为此引入余子式和代数余子式的概念.定义1在n阶行列式中,去掉aij(i,j=1,2,…n)所在的行与所在列后剩下的n

1阶行列式称为元素aij的余子式,记为Mij.余子式Mij带上符号(

1)i+j则称为元素aij的代数余子式,记为Aij,即Aij=(

1)i+jMij.如三阶行列式中,元素a11=1的余子式和代数余子式分别为。第16页，课件共33页，创作于2023年2月元素a12=2的余子式和代数余子式分别为而元素a13=3的余子式和代数余子式分别为Laplace展开定理又称为行列式按行(列)展开的法则.利用这一法则并结合行列式的性质,可把高阶行列式的计算化为低阶行列式的计算,从而简化计算.第17页，课件共33页，创作于2023年2月例4用Laplace展开定理解例1.解c1

2c3c4+c3通过直接计算可知第18页，课件共33页，创作于2023年2月而两者相等,这个现象不是偶然的.事实上,有定理1(Laplace展开定理)行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和.即D=或D=第19页，课件共33页，创作于2023年2月证先证明等式(5.1)为此考虑特殊情形(5.2)将上式左端表为(5.3)第20页，课件共33页，创作于2023年2月就是对n

1级排列是j1j2…jn

1求和,且显然

(j1j2…jn1n

)=

(j1j2…jn1),故(5.3)式即为其中只有jn=n时,才不会为零,这时和式对所有n级排列,j1j2…jn

1n求和这就是(5.2)式.接下来将(5.1)式左端的行列式的第i行依次与其下面相邻的行对换,经n

i次对换后换到第n行,然后再将第j列依次与其右边相邻的列对换,经n

j次对换后换到第n列,这时aij

换到右下角的位置,由性质2,式(5.1)左端的行列式等于第21页，课件共33页，创作于2023年2月由于经上述行列互换，除第i行与第j列元素外，其它各行各列元素相对位置都没有改变，故上面行列式左上角的n

1阶行列式即为aij的余子式Mij,由(5.2)式得(5.1)式左端的行列式为于是(5.1)式得证.下面证明定理.先把D写成如下形式,并利用行列式性质5及(5.1)式有第22页，课件共33页，创作于2023年2月类似地按列证明便得第23页，课件共33页，创作于2023年2月例5计算n阶行列式将其直接按第一列展开,得解第24页，课件共33页，创作于2023年2月例6计算n阶行列式解(i2)第25页，课件共33页，创作于2023年2月例7证明范德蒙(Vandermonde)行列式其中n2,

称为连乘号,这里表示所有可能的xi

xj(1j<i

n)的乘积.假设对于n

1阶范德蒙行列式结论正确,现在来证n阶的情形.设法将Dn降阶,为此,从第n行开始,下面一行减去上面一行的x1倍,得证第26页，课件共33页，创作于2023年2月上式右端的行列式为n

1阶范德蒙行列式,于是由归纳假设有第27页，课件共33页，创作于2023年2月定理2关于代数余子式,还有下列定理行列式的任一行(列)的所有元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.或即(i

j)第28页，课件共33页，创作于2023年2月有了n阶行列式概念后，可以把解二元一次方程组的克莱姆法则加以推广。定理1(克莱