第七章 连续小波变换

第七章连续小波变换第1页，课件共31页，创作于2023年2月基本小波定义：则称为基本小波，或母小波。，其Fourier变换为满足设允许条件性质：(1)带通性质(2)零均值和波动性(3)局部化特性第2页，课件共31页，创作于2023年2月尺度因子平移因子归一化因子连续小波变换的定义定义：对任意，它的连续小波变换定义为：称为小波基函数一般可简记为第3页，课件共31页，创作于2023年2月连续小波变换的性质

(4)自相似性:对应不同尺度参数a和不同的平移参数b的连续小波变换之间是自相似的

线性性:一个多分量信号的连续小波变换等于各个分量的小波变换之和(2)平移不变性:若的小波变换为，则的小波变换为(3)伸缩共变性:若的小波变换为的，则小波变换为(5)冗余性:连续小波变换中存在信息表述的冗余第4页，课件共31页，创作于2023年2月连续小波变换的逆变换逆变换存在的可能性：窗口宽度任意调节，在时域上或频域上能完全恢复出信号的信息。连续小波变换结果有很大的冗余度。以

a,b(t)为变换核的连续小波变换的逆变换：假设f(t)、

(t)L2(R)：第5页，课件共31页，创作于2023年2月常用的基本小波

Haar小波第6页，课件共31页，创作于2023年2月2.Daubechies小波D4尺度函数与小波

D6尺度函数与小波

常用的基本小波

第7页，课件共31页，创作于2023年2月3、双正交小波双正交B样条小波（5-3）、（9-7）小波滤波器bior2.2,bior4.4（7-5）小波滤波器:常用于图形学中。其中尺度函数是一个三次B样条。常用的基本小波

第8页，课件共31页，创作于2023年2月4.Morlet小波Morlet小波不存在尺度函数;快速衰减但非紧支撑.Morlet小波是Gabor小波的特例。Gabor小波Morlet小波常用的基本小波

第9页，课件共31页，创作于2023年2月5.高斯小波这是高斯函数的一阶导数，在信号与图象的边缘提取中具有重要的应用。主要应用于阶梯型边界的提取。

特性：指数级衰减，非紧支撑；具有非常好的时间频率局部化；关于0轴反对称。常用的基本小波

第10页，课件共31页，创作于2023年2月6.Marr小波（也叫墨西哥草帽小波）

这是高斯函数的二阶导数，在信号与图象的边缘提取中具有重要的应用。主要应用于屋脊型边界和Dirac边缘的提取。

特性：指数级衰减，非紧支撑；具有非常好的时间频率局部化；关于0轴对称。常用的基本小波

第11页，课件共31页，创作于2023年2月7.Meyer小波它的小波函数与尺度函数都是在频域中进行定义的。具体定义如下：常用的基本小波

第12页，课件共31页，创作于2023年2月8.Shannon小波在时域，Shannon小波是无限次可微的，具有无穷阶消失矩，不是紧支的，具有渐近衰减性但较缓慢；在频域，Shannon小波是频率带限函数，具有好的局部化特性。常用的基本小波

第13页，课件共31页，创作于2023年2月9.Battle-Lemarie样条小波

常用的基本小波

第14页，课件共31页，创作于2023年2月连续小波变换的再生核尺度和位移连续变化的连续小波基函数构成了一组非正交的过度完全基，小波展开系数之间的相关关系可表示为1.CWT系数具有很大的冗余，计算量比较大2.利用冗余性可以实现去噪和数据恢复的目的。重建核方程重建核第15页，课件共31页，创作于2023年2月小波时频分析

小波分析能提供随频率改变的时-频窗(自适应窗口)。

假设是任一基本小波，并且都是窗函数，它们的中心

与半径分别为。不妨设和尺度a都是正数。给出了在频域窗内的局部化信息。给出了在时间窗内的局部化信息。第16页，课件共31页，创作于2023年2月小波时频分析

内的局部化信息,若用作为频率变量，则给出了信号在时间—频率平面(平面）中一个矩形的时间—频率窗

即小波变换具有时—频局部化特征。窗宽:面积:的宽度是宽度的a倍。对信号的高频成分需用尺度较小的分析小波。信号进行分析。

这时时间窗会自动变窄，并在高频区域对第17页，课件共31页，创作于2023年2月“恒Q性质”：小波函数

a,b(t)的频率具有带通特性，带通滤波特性的品质因数Q为小波时频分析

第18页，课件共31页，创作于2023年2月各种变换的比较

小波变换的特性

分解种类：时间-尺度或时间-频率

分析函数：具有固定震荡次数的时间有限的波。小波函数的伸缩改变其窗口大小。

变量：尺度，小波的位置

信息：窄的小波提供好的时间局部化及差的频率局部化，宽的小波提供好的频率局部化及差的时间局部化。

适应场合：非平稳信号短时Fourier变换的特性

分解种类：时间-频率

分析函数：由三角震荡函数复合而成的时间有限的波

变量：频率，窗口的位置

信息：窗口越小，时间局部化越好，其结果是滤掉低频成分；窗口越大，频率局部化越好,此时时间局部化较差.

适应场合：次稳定信号Fourier变换变换的特性

分解种类：频率

分析函数：正弦函数，余弦函数

变量：频率

信息：组成信号的频率

适应场合：平稳信号第19页，课件共31页，创作于2023年2月CWT的变换过程示例CWT的变换过程示例，见图，可分如下5步小波ψ(t)和原始信号f(t)的开始部分进行比较计算系数C——该部分信号与小波的近似程度；C值越高表示信号与小波相似程度越高小波右移k得到的小波函数为ψ(t-k)

，然后重复步骤1和2，……直到信号结束扩展小波，如扩展一倍，得到的小波函数为ψ(t/2)

重复步骤1~4图2-1连续小波变换的过程第20页，课件共31页，创作于2023年2月对于含噪声的周期性信号noissin进行连续小波分解，首先使用db4小波对比小波对信号进行不同尺度的分解，重新选择分解尺度后脚明显地显示出了信号的周期性特征，最后使用复小波cgau4对信号进行分解，分别得到信号的实部、虚部、模和相位。结果如图2-2、2-3和图2-4所示。连续小波变换的数值积分结果演示第21页，课件共31页，创作于2023年2月连续小波变换的数值积分结果演示图2-2原始信号第22页，课件共31页，创作于2023年2月连续小波变换的数值积分结果演示图2-3不同尺度下的连续小波分解第23页，课件共31页，创作于2023年2月连续小波变换的数值积分结果演示图2-4信号的复连续小波分解第24页，课件共31页，创作于2023年2月

正弦信号在位置500处有一间断点，由于间断点持续的时间很短，因此在波形图中无法辨识出间断点来。如图2-5。连续小波变换用于断点分析图2-5原始信号第25页，课件共31页，创作于2023年2月

对该信号进行快速Fourier变换，得到信号的频谱图。观察信号的频谱，除了正弦信号的基频之外，无任何额外的信息。如图2-6。

连续小波变换用于断点分析图2-6频谱图第26页，课件共31页，创作于2023年2月

选取db4小波，尺度a=1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，对信号实施连续小波变换，得到小波系数分布图。在空间位置500处间断点的信息一目了然地显现出来。在尺度为1处，在整个时间范围（空间位置）内分布的小波系数是正弦信号的基频信息。而空间位置500处的间断点在时间上是局部的，小波系数集中发生在间断位置的各个尺度上，将间断信息凸现了出来。如图2-7。连续小波变换用于断点分析

传统的快速Fourier变换对此却无能为力，究其原因在于间断分布的能量在整个信号中所占的比例太小，而Fourier变换并无时间局部化能力。第27页，课件共31页，创作于2023年2月连续小波变换用于断点分析图2-7连续小波变换第28页，课件共31页，创作于2023年2月连续小波变换用于自相似性检测

直观上讲，小波分解可通过计算信号和小波之间的自相似指数(小波系数)得到。自相似指数大，则信号的自相似程度就高；反之亦然。若一个信号在不同的尺度上都相似于它本身，那么，其自相似指数在不同的尺度上也是相似的。

对自相似信号vonkoch进行连续小波变换。由图2-8可见，在小波分解后显示的自相似指数图中，在许多尺度上，小波系数看上去是相似的，另外，垂直轴线上显示的线条就是由于信号的自相似性产生的。小波系数越大，则灰度越深。由于