数学建模-微分方程模型

数学建模－

微分方程模型关晓飞同济大学数学科学学院一、什么是微分方程？最最简单的例子引例一曲线通过点（1，2），且在该曲线任一点M(x,y)处的切线的斜率为2x，求该曲线的方程。解

因此，所求曲线的方程为

若设曲线方程为，又因曲线满足条件

根据导数的几何意义可知未知函数满足关系式：对（1）式两端积分得：代入（3）得C＝1回答什么是微分方程：

建立关于未知变量、未知变量的导数以及自变量的方程

二、微分方程的解法积分方法，分离变量法可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程.解法为微分方程的解.分离变量法例1

求解微分方程解分离变量两端积分典型例题过定点的积分曲线;一阶:二阶:过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.初值问题:求微分方程满足初始条件的解的问题.例2.

解初值问题解:

分离变量得两边积分得即由初始条件得C=1,(C

为任意常数)故所求特解为练习题练习题答案三、建立微分方程数学模型1、简单的数学模型2、复杂的数学模型1、简单的数学模型

利用微分方程求实际问题中未知函数的一般步骤是：

(1)分析问题，设所求未知函数，建立微分方程，确定初始条件；

(2)求出微分方程的通解；

(3)根据初始条件确定通解中的任意常数，求出微分方程相应的特解．

实际问题需寻求某个变量y

随另一变量t的变化规律：y=y(t).直接求很困难

建立关于未知变量、未知变量的导数以及自变量的方程

建立变量能满足的微分方程

？哪一类问题在工程实际问题中

“改变”、“变化”、“增加”、“减少”等关键词提示我们注意什么量在变化.

关键词“速率”,“增长”,“衰变”,“边际的”,常涉及到导数.

建立方法常用微分方程运用已知物理定律

利用平衡与增长式运用微元法应用分析法机理分析法建立微分方程模型时应用已知物理定律，可事半功倍一、运用已知物理定律例1铀的衰变规律问题：放射性元素由于不断地有原子放射出微粒子变成其他元素，铀的含量不断的减少，这种现象称为衰变，由原子物理学知道，铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量M成正比，已知t＝0时刻铀的含量为，求在衰变过程中铀的含量M（t）随时间t的变化规律。铀的衰变速度就是对时间t的导数，解

因此，由于衰变速度与其含量成正比，可知未知函数满足关系式：对上式两端积分得：是衰变系数且初始条件分离变量得代入初始条件得所以有，这就是铀的衰变规律。

例2

一个较热的物体置于室温为180c的房间内，该物体最初的温度是600c，3分钟以后降到500c.想知道它的温度降到300c需要多少时间？10分钟以后它的温度是多少？一、运用已知物理定律

牛顿冷却（加热）定律：将温度为T的物体放入处于常温

m

的介质中时，T的变化速率正比于T与周围介质的温度差.

分析：假设房间足够大，放入温度较低或较高的物体时，室内温度基本不受影响，即室温分布均衡,保持为m，采用牛顿冷却定律是一个相当好的近似.建立模型：设物体在冷却过程中的温度为T(t)，t≥0，

“T的变化速率正比于T与周围介质的温度差”

翻译为数学语言建立微分方程其中参数k>0，m=18.求得一般解为ln(T－m)=－kt+c,代入条件:求得c=42，,最后得

T(t)=18+42,t≥0.结果

：T(10)=18+42=25.870，该物体温度降至300c需要8.17分钟.

另一个例子：已知物体在空气中冷却的速率与该物体及空气两者温度的差成正比．设有一瓶热水，水温原来是100℃，空气的温度是20℃，经过20小时以后，瓶内水温降到60℃，求瓶内水温的变化规律．

例3：已知物体在空气中冷却的速率与该物体及空气两者温度的差成正比．设有一瓶热水，水温原来是100℃，空气的温度是20℃，经过20小时以后，瓶内水温降到60℃，求瓶内水温的变化规律．解

可以认为在水的冷却过程中，空气的温度是不变的．由题意，得其中

k

是比例系数(k>0)

．由于是单调减少的，即

设瓶内水的温度与时间之间的函数关系为，则水的冷却速率为

,(1)所以(1)式右边前面应加“负号”．初始条件为 ．对(1)式分离变量，得

于是方程(1)的特解为

两边积分

得

即把初始条件

代入上式，求得

C=80

，

其中比例系数

k

可用问题所给的另一条件

来确定，

即

解得因此瓶内水温

与时间

的函数关系为二.利用平衡与增长式

许多研究对象在数量上常常表现出某种不变的特性，如封闭区域内的能量、货币量等.

利用变量间的平衡与增长特性,可分析和建立有关变量间的相互关系.

解例1

某车间体积为12000立方米,开始时空气中含有的,为了降低车间内空气中的含量,用一台风量为每秒2000立方米的鼓风机通入含的的新鲜空气,同时以同样的风量将混合均匀的空气排出,问鼓风机开动6分钟后,车间内的百分比降低到多少?设鼓风机开动后时刻的含量为在内,的通入量的排出量的通入量的排出量的改变量6分钟后,车间内的百分比降低到二.利用平衡与增长式

例2简单人口增长模型

对某地区时刻t的人口总数N(t)，除考虑个体的出生、死亡，再进一步考虑迁入与迁出的影响.

在很短的时间段Δt内，关于N(t)变化的一个最简单的模型是：

{Δt时间内的人口增长量}={Δt内出生人口数}－{Δt内死亡人口数}+{Δt内迁入人口数}－{Δt内迁出人口数}

{Δt时间内的净改变量}={Δt时间内输入量}－{Δt时间内输出量}般化更一基本模型三.微元法

基本思想：通过分析研究对象的有关变量在一个很短时间内的变化情况.例

一个高为2米的球体容器里盛了一半的水，水从它的底部小孔流出，小孔的横截面积为1平方厘米.试求放空容器所需要的时间.2米对孔口的流速做两条假设：1．t

时刻的流速v

依赖于此刻容器内水的高度h(t).

2．整个放水过程无能量损失。

分析：放空容器？容器内水的体积为零容器内水的高度为零

模型建立：由水力学知：水从孔口流出的流量Q为通过“孔口横截面的水的体积V对时间t的变化率”，即S—孔口横截面积（单位：平方厘米）

h(t)—水面高度（单位：厘米）

t—时间（单位：秒）当S=1平方厘米，有h(t)h+Δhr1r2水位降低体积变化

在[t，t+Δt]内，水面高度h(t)降至h+Δh(Δh<0),容器中水的体积的改变量为令Δt0,得

dV=－πr2dh，（2）比较(1)、(2)两式得微分方程如下：

积分后整理得

0≤h≤100

令

h=0，求得完全排空需要约2小时58分.

另一个例子

有高为1米的半球形容器,水从它的底部小孔流出,小孔横截面积为1平方厘米(如图).开始时容器内盛满了水,求水从小孔流出过程中容器里水面的高度h(水面与孔口中心间的距离)随时间t的变化规律.解由力学知识得,水从孔口流出的流量为流量系数孔口截面面积重力加速度设在微小的时间间隔水面的高度由h降至,比较(1)和(2)得:即为未知函数的微分方程.可分离变量所求规律为四.分析法

基本思想：根据对现实对象特性的认识，分析其因果关系,找出反映内部机理的规律.

例(独家广告模型)广告是调整商品销售的强有力的手段,广告与销售量之间有什么内在联系？如何评价不同时期的广告效果？分析广告的效果,可做如下的条件假设：

*1.

商品的销售速度会因广告而增大,当商品在市场上趋于饱和时，销售速度将趋于一个极限值；*2.

商品销售率（销售加速度）随商品销售速度的增高而降低；

*3.

选择如下广告策略，t时刻的广告费用为：

建模记

S(t)—t时刻商品的销售速度；M—销售饱和水平，即销售速度的上限；

λ（＞0）—衰减因子，广告作用随时间的推移而自然衰减的速度.直接建立微分方程

称

p为响应系数，表征A(t)对S(t)的影响力.模型分析：是否与前三条假设相符？改写模型假设1*市场“余额”假设2*销售速度因广告作用增大,同时又受市场余额的限制.2、复杂的数学模型背景

年1625183019301960197419871999人口(亿)5102030405060世界人口增长概况中国人口增长概况

年19081933195319641982199019952000人口(亿)3.04.76.07.210.311.312.013.0研究人口变化规律控制人口过快增长人口增长模型常用的计算公式今年人口x0,年增长率rk年后人口指数增长模型——马尔萨斯提出(1798)x(t)~时刻t的人口基本假设

:人口(相对)增长率r

是常数，即单位时间内人口的增长量与人口成正比，且比例系数为r随着时间增加，人口按指数规律无限增长根据假设，在到时间段内，人口的增长量为模型检验据估计1961年地球上人口总数为，在以后7年中，人口总数以每年的数度增长，这样也就是说到2670年，地球上将有36000亿人口，非常荒谬。这个公式非常准确地反映了1700－1961年世界人口的总数。但是：指数增长模型的应用及局限性

可用于短期人口增长预测

不符合19世纪后多数地区人口增长规律

不能预测较长期的人口增长过程事实：人口增长率r不是常数(逐渐下降)阻滞增长模型(Logistic模型)人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用且阻滞作用随人口数量增加而变大假定：r~固有增长率(x很小时)xm~人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）r是x的减函数阻滞增长模型(Logistic模型)dx/dtx0xmxm/2xmtx0x(t)~S形曲线,x增加先快后慢x0xm/2模型的参数估计用指数增长模型或阻滞增长模型作人口预报，必须先估计模型参数r或r,xm

利用统计数据用最小二乘法作拟合例：美国人口数据（单位~百万）17901800181018201830……19501960197019803.95.37.29.612.9……150.7179.3204.0226.5r=0.2072,xm=464

专家估计模型检验用模型预报1990年美国人口，与实际数据比较实际为251.4(百万)模型应用——人口预报用美国1790~1990年人口数据重新估计参数r=0.2083,xm=457.6x(2000)=275.0x(2010)=297.9Logistic模型在经济领域中的应用(如耐用消费品的售量)1、指数增长模型（马尔萨斯人口模型）英国人口学家马尔萨斯（Malthus1766~1834）于1798年提出。2、阻滞增长模型（Logistic模型）3、更复杂的人口模型随机性模型、考虑人口年龄分布的模型等

可见数学模型总是在不断的修改、完善使之能符合实际情况的变化。小结两方军队交战,希望为这场战斗建立一个数学模型，应用这个模型达到如下目的：1.预测哪一方将获胜？

2.

估计获胜的一方最后剩下多少士兵？

3.计算失败的一方开始时必须投入多少士兵才能赢得这场战斗？战争模型模型建立：设

x(t)—t

时刻X方存活的士兵数；

y(t)—t

时刻Y方存活的士兵数；假设：

1）双方所有士兵不是战死就是活着参加战斗，x(t)与y(t)都是连续变量.

2）Y方军队的一个士兵在单位时间内杀死X

方军队a名士兵；

平衡式

3）X方军队的一个士兵在单位时间内杀死Y方军队b

名士兵；{Δt时间内X军队减少的士兵数

}={Δt时间内Y军队消灭对方的士兵数}即有

Δx=－ayΔt,

同理

Δy=－bxΔt,

令Δt0,得到微分方程组：

附：微分方程模型汇总1

传染病模型2

经济增长模型3

正规战与游击战4

药物在体内的分布与排除5

香烟过滤嘴的作用6人口预测和控制7

烟雾的扩散与消失8万有引力定律的发现动态模型

描述对象特征随时间(空间)的演变过程

分析对象特征的变化规律

预报对象特征的未来性态

研究控制对象特征的手段

根据函数及其变化率之间的关系确定函数微分方程建模

根据建模目的和问题分析作出简化假设

按照内在规律或用类比法建立微分方程1传染病模型问题

描述传染病的传播过程

分析受感染人数的变化规律

预报传染病高潮到来的时刻

预防传染病蔓延的手段

按照传播过程的一般规律，用机理分析方法建立模型

已感染人数(病人)i(t)

每个病人每天有效接触(足以使人致病)人数为

模型1假设若有效接触的是病人，则不能使病人数增加必须区分已感染者(病人)和未感染者(健康人)建模?模型2区分已感染者(病人)和未感染者(健康人)假设1）总人数N不变，病人和健康人的比例分别为2）每个病人每天有效接触人数为

,且使接触的健康人致病建模

~日接触率SI模型模型21/2tmii010ttm~传染病高潮到来时刻

(日接触率)tm

Logistic模型病人可以治愈！?t=tm,di/dt最大模型3传染病无免疫性——病人治愈成为健康人，健康人可再次被感染增加假设SIS模型3）病人每天治愈的比例为

~日治愈率建模

~日接触率1/

~感染期

~一个感染期内每个病人的有效接触人数，称为接触数。模型3i0i0接触数

=1~阈值感染期内有效接触感染的健康者人数不超过病人数1-1/

i0模型2(SI模型)如何看作模型3(SIS模型)的特例idi/dt01>10ti>11-1/

i0t

1di/dt<0模型4传染病有免疫性——病人治愈后即移出感染系统，称移出者SIR模型假设1）总人数N不变，病人、健康人和移出者的比例分别为2）病人的日接触率

,日治愈率

,

接触数

=/建模需建立的两个方程模型4SIR模型无法求出的解析解在相平面上研究解的性质模型4消去dtSIR模型相轨线的定义域相轨线11si0D在D内作相轨线的图形，进行分析si101D模型4SIR模型相轨线及其分析传染病蔓延传染病不蔓延s(t)单调减

相轨线的方向P1s0imP1:s0>1/

i(t)先升后降至0P2:s0<1/

i(t)单调降至01/~阈值P3P4P2S0模型4SIR模型预防传染病蔓延的手段

(日接触率)卫生水平

(日治愈率)

医疗水平传染病不蔓延的条件——s0<1/

的估计

降低s0提高r0

提高阈值1/

降低

(=

/

)

,

群体免疫模型4SIR模型被传染人数的估计记被传染人数比例x<<s0i0P1

i0

0,s0

1

小,s0

1提高阈值1/

降低被传染人数比例xs0-1/

=

2

经济增长模型增加生产发展经济增加投资增加劳动力提高技术

建立产值与资金、劳动力之间的关系

研究资金与劳动力的最佳分配，使投资效益最大

调节资金与劳动力的增长率，使经济(生产率)增长1.道格拉斯(Douglas)生产函数

产值Q(t)F为待定函数资金K(t)劳动力L(t)技术f(t)=f0模型假设静态模型每个劳动力的产值每个劳动力的投资z随着

y的增加而增长，但增长速度递减yg(y)01.道格拉斯(Douglas)生产函数含义？Douglas生产函数QK~单位资金创造的产值QL~单位劳动力创造的产值

~资金在产值中的份额1-

~劳动力在产值中的份额更一般的道格拉斯(Douglas)生产函数1.Douglas生产函数w,r,

K/L

求资金与劳动力的分配比例K/L(每个劳动力占有的资金)，使效益S最大资金和劳动力创造的效益资金来自贷款，利率r劳动力付工资w2）资金与劳动力的最佳分配（静态模型）3)经济(生产率)增长的条件(动态模型)要使Q(t)或Z(t)=Q(t)/L(t)增长,K(t),L(t)应满足的条件模型假设

投资增长率与产值成正比(用一定比例扩大再生产)

劳动力相对增长率为常数Bernoulli方程产值Q(t)增长dQ/dt>03)经济增长的条件劳动力增长率小于初始投资增长率每个劳动力的产值Z(t)=Q(t)/L(t)增长dZ/dt>03)经济增长的条件3正规战与游击战战争分类：正规战争，游击战争，混合战争只考虑双方兵力多少和战斗力强弱兵力因战斗及非战斗减员而减少，因增援而增加战斗力与射击次数及命中率有关建模思路和方法为用数学模型讨论社会领域的实际问题提供了可借鉴的示例第一次世界大战Lanchester提出预测战役结局的模型一般模型

每方战斗减员率取决于双方的兵力和战斗力

每方非战斗减员率与本方兵力成正比

甲乙双方的增援率为u(t),v(t)f,g

取决于战争类型x(t)~甲方兵力，y(t)~乙方兵力模型假设模型正规战争模型

甲方战斗减员率只取决于乙方的兵力和战斗力双方均以正规部队作战

忽略非战斗减员

假设没有增援f(x,y)=

ay,a~乙方每个士兵的杀伤率a=rypy,ry~射击率，

py~命中率0正规战争模型为判断战争的结局，不求x(t),y(t)而在相平面上讨论x与y的关系平方律模型乙方胜游击战争模型双方都用游击部队作战

甲方战斗减员率还随着甲方兵力的增加而增加

忽略非战斗减员

假设没有增援f(x,y)=

cxy,c~乙方每个士兵的杀伤率c=rypyry~射击率py~命中率py=sry/sxsx~甲方活动面积sry~乙方射击有效面积0游击战争模型线性律模型0混合战争模型甲方为游击部队，乙方为正规部队乙方必须10倍于甲方的兵力设x0=100,rx/ry=1/2,px=0.1,sx=1(km2),sry=1(m2)4

药物在体内的分布与排除

药物进入机体形成血药浓度(单位体积血液的药物量)

血药浓度需保持在一定范围内——给药方案设计

药物在体内吸收、分布和排除过程——药物动力学

建立房室模型——药物动力学的基本步骤

房室——机体的一部分，药物在一个房室内均匀分布(血药浓度为常数)，在房室间按一定规律转移

本节讨论二室模型——中心室(心、肺、肾等)和周边室(四肢、肌肉等)

中心室周边室给药排除模型假设

中心室(1)和周边室(2),容积不变

药物在房室间转移速率及向体外排除速率，与该室血药浓度成正比

药物从体外进入中心室，在二室间相互转移,从中心室排出体外模型建立线性常系数非齐次方程对应齐次方程通解模型建立几种常见的给药方式1.快速静脉注射t=0

瞬时注射剂量D0的药物进入中心室,血药浓度立即为D0/V1给药速率f0(t)和初始条件2.恒速静脉滴注t>T,c1(t)和c2(t)按指数规律趋于零药物以速率k0进入中心室0Tt££吸收室中心室3.口服或肌肉注射相当于药物(剂量D0)先进入吸收室，吸收后进入中心室吸收室药量x0(t)参数估计各种给药方式下的c1(t),c2(t)取决于参数k12,k21,k13,V1,V2t=0快速静脉注射D0,在ti(i=1,2,

n)测得c1(ti)由较大的用最小二乘法定A,

由较小的用最小二乘法定B,

参数估计进入中心室的药物全部排除

过滤嘴的作用与它的材料和长度有什么关系

人体吸入的毒物量与哪些因素有关，其中哪些因素影响大，哪些因素影响小。模型分析

分析吸烟时毒物进入人体的过程，建立吸烟过程的数学模型。

设想一个“机器人”在典型环境下吸烟，吸烟方式和外部环境认为是不变的。问题5

香烟过滤嘴的作用模型假设定性分析1）l1~烟草长，l2~过滤嘴长，l=l1+l2，毒物量M均匀分布，密度w0=M/l12）点燃处毒物随烟雾进入空气和沿香烟穿行的数量比是a´:a,a´+a=13）未点燃的烟草和过滤嘴对随烟雾穿行的毒物的(单位时间)吸收率分别是b和

4）烟雾沿香烟穿行速度是常数v，香烟燃烧速度是常数u，v>>uQ~吸一支烟毒物进入人体总量模型建立0t=0,x=0，点燃香烟q(x,t)~毒物流量w(x,t)~毒物密度1)求q(x,0)=q(x)t时刻，香烟燃至x=ut1)求q(x,0)=q(x)2)求q(l,t)3)求w(ut,t)4)计算Q结果分析烟草为什么有作用?1）Q与a,M成正比，aM是毒物集中在x=l处的吸入量2)~过滤嘴因素，

,l2~负指数作用是毒物集中在x=l1处的吸入量3）

(r)~烟草的吸收作用b,l1~线性作用带过滤嘴不带过滤嘴结果分析4)与另一支不带过滤嘴的香烟比较，w0,b,a,v,l均相同，吸至x=l1扔掉提高

-b与加长l2，效果相同6人口预测和控制

年龄分布对于人口预测的重要性

只考虑自然出生与死亡，不计迁移人口发展方程人口发展方程一阶偏微分方程人口发展方程~已知函数（人口调查）~生育率（控制人口手段）0tr生育率的分解

~总和生育率h~生育模式0人口发展方程和生育率~总和生育率——控制生育的多少~生育模式——控制生育的早晚和疏密

正反馈系统

滞后作用很大人口指数1）人口总数2）平均年龄3）平均寿命t时刻出生的人，死亡率按

(r,t)计算的平均存活时间4）老龄化指数控制生育率控制N(t)不过大控制

(t)不过