可线性化的回归分析

可线性化的回归分析【学习目标】1.能够直观地判断两个变量是否呈现线性相关。2.能够使用非线性的函数关系来描述不易用线性关系刻画的两个变量之间的关系。【自主学习】1.如果两个变量不呈现线性关系，不能直接利用线性回归方程建立两个变量的相关关系。那么我们应该如何建立两个变量之间的关系？例如，如何将y=aebx转化为线性相关问题来解决？（请阅读教材第9页到13页）2.在具体问题中，我们首先应该得到原始数据（x，y），从中看出数据的大致规律，再根据这个规律选择适当的函数进行拟合。3.对于非线性回归模型，一般可以转化为模型，从而得到相应的回归方程。4.以下是几种能够转化为线性回归模型的非线性回归模型：（1）幂函数曲线y=abx，作变换ln(y)=ln(a)+bx，得到线性函数。（2）指数曲线y=aebx，作变换ln(y)=ln(a)+bx，得到线性函数。（3）倒指数曲线y=ae-x，作变换ln(y)=ln(a)-x，得到线性函数。（4）对数曲线y=a+bln(x)，作变换y'=ln(y-a)=bln(x)，得到线性函数。【例题分析】例1.（1）有5组（x，y）数据(1,3)，(2,4)，(4,5)，(3,10)，(10,12)，去掉一组数据后，剩下的四组数据的线性相关系数最大。（2）已知幂函数曲线y=axb做线性变换后得到的回归方程为u=2+0.4v，则a=2，b=0.4。例2.为了研究某种细菌随时间x变化，繁殖的个数，收集数据如下：天数x/天12345繁殖个数y/个612254995（1）用天数作解释变量，繁殖个数作预报变量，作出这些数据的散点图。（2）试求出预报变量对解释变量的回归方程。（答案：所求非线性回归方程为ŷ=e0.69x+1.112）【小结】利用回归方程探究非线性回归问题，可以按照“作散点图→建模→确定方程”这三个步骤进行。其关键在于如何通过适当的变换，将非线性回归问题转化为线性回归问题。【课后巩固】1.根据下面所给的散点图，变量y关于x的回归函数模型应选择A.y=axb还是B.y=aebx？1.为了研究广告费用x与销售额y之间的关系，我们随机选取了5家超市，得到了他们的广告费用和销售额的数据。数据如下表所示：|广告费用x(千克)|销售额y(千元)||---------------|------------||4.0|19.0||2.0|42.0||6.0|46.0||10.0|52.0||14.0|53.0|现在我们想要使销售额达到10万元，那么广告费用约为多少千克呢？2.已知两个变量x和y的关系可以用函数y=aebx来近似表示。通过变换后，我们得到了一个线性函数u=2+0.5x。那么x和y的近似函数关系是什么呢？3.彩色显影中，形成染料光学密度y与析出银的光学密度x之间的关系可以用公式y=Ae(bx)来表示。我们测得了一些试验数据，如下表所示：|x(i)|b(x)|y(i)||----|----|----||0.05|0.06|0.10||0.25|0.31|0.38||0.07|0.10|1.19||1.00|0.14|0.43||1.25|1.00|0.14||0.59|1.12|0.20||0.79|0.23|0.47||1.29|0.37|1.29|现在我们需要求出y对x的回归方程。4.在一次抽样调查中，我们测得了5个样本点的数据，如下表所示：|x|y||---|