概率论与数理统计历年考研试题

第3章数字特征（1987年、数学一、填空）设随机变量X的概率密度函数），M（x）=（）.f(x)=-Le-22x），M（x）=（）.V兀［答案填：1；」［答案填：1；」2.］由X的概率密度函数可见X〜N(1,1)，则E(X)=1,（1990年、数学一、填空）设随机变量X服从参数为2的泊松分布，且Z=3X-2,则E（X）=（）. ［答案填：4］（1990年、数学一、计算）设二维随机变量（X,Y）在区域D:0<x<1,|y|<x内服从均匀分布，求：（1）关于X的边缘密度函数；（2）随机变量Z=2X+1的方差。解：（1）由于D的面积为1,则（X,Y）的联合密度为1<1<x<1,1yl<x其他E(XE(X)=f+g-gE(X2)=f+g-gD(X)=EX2-(E(X))2118当0<x<1时，f(x)=1f(x,j)dy=f2f(x)dx=f1x22f(x)dx=f1x2.2xdx=—x0 2fx(x)=0.(2)xf(x)dx=f1x.2xdx=—x0 3()。（1991年、数学一、填空）设X〜N（2,。2）且P{2<X<4}=0.3，则P{X<0}=()。［答案填:

(2、(2、—①(0)=①一一e2二0.3IX-2 2P{2<X<4}=P{0< <—Ioo即①（—]=0.8，则I。）IXIX2P{X<0}=P^―-—<(—2)二①——ko7(2\=1-①—=0.2

ko7（1992年、数学一、填空）设随机变量X服从参数为1的指数分布，则E（X+e-2x）=（）4[答案填：§]（1995年、数学一、填空）设X表示10次独立重复射击命中目标的次数且每次命中率为0.4，则EX2=（）。[答案填：18.4]X〜B（10,0.4）,则EX2=(E(X))2+D(X)=2.4+16=18.4(1996年、数学一、填空)设两个随机变量X与Y相互独立且均服从分布N(0,1)，则E|X-Y|=()..T［答案填：］aU=X-Y,则U〜N(0,1)，从而1足， 2 g,E|X-Y|=E|U|=J+"luI^=e-2du=^=J+"ue-2du-8 <2k v：2兀0__2j+8〃-Ud(_U2、__2j+8〃d_2———Je2d(——)———Jetdt―—.”2兀0 2 %；2兀0 "2兀（1996年、数学一、计算）设两个随机变量占与“相互独立且同分布，自

的分布律为P化=k)=3,k=1,2,3，又X=max化,「)，Y=min&,H).(1)写出(X,Y)的分布律；(2)求E(X).解：(1)(X,Y)的分布律如下:X123£15P939(2)X的边缘分布为:则22(1997年、数学一、选择)设随机变量X与Y相互独立且D(X)=4,D(Y)=2,则D(3X-2Y)=().A.8 B.16 C.28D.44 [答案选：D]D(3x-2Y)=9D(x)+4D(Y)=44(1997年、数学一、计算)从学校乘汽车到火车站的途中有三个交通岗，设在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，其概率均为0.4,用X表示途中遇到红灯的次数，求X的分布律、分布函数和数学期望。解：显然X〜B(3,0.4)，其分布律为P{X=i}=C30.410.63-1,i=0,1,2,3,分布函’0 x<06E(X)=；27数为：f(xT6E(X)=；72Vx(1998年、数学一、计算)设随机变量X与丫相互独立，均服从N(0,0.5)分布，求|X-Y|的方差。解：显然X-Y〜N(0,1)，则E(X—Y)2=1，而,,T , , 2E|X-Y|=\；(见第102题)，故|X-Y|=1--

（2000年、数学一、计算）某流水生产线上每个产品不合格的概率为P（0<p<l）,各产品合格与否相互独立，当出现一个不合格产品时即停机检修。设开机后第一次停机时已生产了的产品个数为X,求E（X）和D（X）。解:记q=l-p,则X的概率分布为尸{X=i}=qi-ip,i=l,2,•••i=l汇⑷丫i=l汇⑷丫=pEqh=pi=l i=lp2I-9)2J石(X2)二£hqi-ip=p£a0)'=p(£i0)'=pp2I-9)2Ji=l1—n则：D(X)=£(X2)-[£(X)]2=—匕?2%丫2TOC\o"1-5"\h\z(1987年、数学三、计算)设X〜fW=\—~e2a? 求0 ,x<0随机变量的期望4丫）。解：由X〜/（x）=/"2〃2，X>OX f0 ,x<0可知E(Y)=E(—)=t-f^dx=+f--e~^dxXX XQ2-oo 0x1+「W,v12k/ +「一心，U五令一=/—Je2dt=——(泊松分布Je2dx=---aa 2a 2o o（1989年、数学三、计算）设X与丫的联合密度为e-(\+y),x>0,y>0/(羽y)=八 7 ,求：P(X<Y),E(XY)o/(羽y)=0 ，其它

(X,Y)~f(X,y)=JI0 ，x>0,y>0,可知其它,P(X,Y)=JJf(x,y)dxdy=fdxx>0,y>0,可知其它,-(X+y)|+8X0+8y +8-(X+y)|+8X0+8y +8=JdyJe-(x+y)dx=-J-(x+y)|ydy000=-+8(?2y—e-y)y=+8015.(1991年、数学三、选择)若E(XY)=E(X)E(Y)15.AD(XY)=D(X)D(Y)B.D(X+Y)=D(X)+D(Y)C.X与Y独立 D.X与Y不独立[答案选：B]A.由DX=EX2-(EX)2,DY=EY2-(EY)2得DXDY=[EX2-(EX)2][EY2-(EY)2]=EX2EY2+(EX)2(EY)2-EX2(EY)2-EY2(EX)2又D(XY)=E(XY)2-(E(XY))2=E(X2Y2)-(EXEY)2=E(X2Y2)-(EX)2(EY)2可知D(XY)中D(X)D(Y)B.由E(XY)=EXEY得Cov(X,Y)=E(X-EX)E(Y-EY)= =E(XY)-EXEY=0可知

D(X+Y)=E[(X+Y)—E(X+Y)]2=E[(X—EX)+(Y—EY)]2=E(X—EX)2+E(Y—EY)2+2E(X—EX)(Y—EY)C,由Clx2=0\；D(X)、；D(Y)=DXClx2=0\；D(X)、；D(Y)E(XY)=EXEY，得Cov(X,Y)=0，得pX,Y可知X与Y不相关，但未必独立。（1992年、数学三、计算）谋设备有三大部件构成，设备运转时，各部件需调整的概率为0.1,0.2,0.3，若各部件的状态相互独立，求同时需调整的部件数X的期望与方差。解：设A=｛谋设备第，个需调整的部件｝且A「A2,A3相互独立，P(A1)=0.1,P(A2)=0.2,P(A3)=0.3,同时需调整的部件数X的所有可能取值为0,1,2,3P(X=0)=P(AAA)=123P(A)(A)(A)=0.9X0.8X0.7=0.504P(X=1)=P(AAA1 2 3 123+AA2A3+AA2A3)=P(A1)P(A2)P(A3)+P(AjP(A2)P(A3)=0.1x0.8x0.7+0.9x0.2x0.7+0.9x0.8x0.3+P(叩P(i(A)=0.398P(X=2)=P(A]A2A3+A]A2A3+A]A2A3)=P(AjP(A2)P(A3)+P(A)P(A2)P(A3)+P(q)P(A2)P(A3)=0.9x0.2x0.3+0.1x0.8x0.3+0.1x0.2x0.7=0.092P(X=3)=P(A]A2A3)=P(AJ(A2)(A3)=0.1x0.2x0.3=0.006由

EX=Ox0.504+1x0.398+2x0.092+3x0.006=0.6EX2=02x0.504+12x0.398+22x0.092+32x0.006=0.82得DX=£X2—(£X”=0.82—0.62=0.46(1993年、数学三、计算)设X〜/(%)=<豆"2，°<'<2且丫与、° ，其它3X同分布，A=(X>G)与5=(y〉G)独立，尸(A+8)=a，求：(I)f3。值；(2)1—的期望。解：(1)由设X~/(%)=]gA2' 且X? 0，其它y与x同分布，a=（X>〃）与5=（丫>〃）独立，可知当。<。时尸(A)=P(X〉a)=x2dx+^fodx=尸(A)=P(X〉a)=x2dx+^fodx=Odx+J-8oP(B)=P(Y>a)=Jf(y)dy=l,即尸(A+B)=尸(A)+P(B)-P(A)P(B)=1+1-1x1=1与3尸(A+B)=7相矛盾，因而“20,即4尸(A)=P(X>a)=ff(x)dx=\—x2dx+^0dx=-x32=1(8—〃3)8 8a8a a 2P(B)=P(Y>a)=tf(y)dy=：(8-G3),P(B)=P(Y>a)=tf(y)dy=：(8-G3),即oP(A+B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)=-(8-a3)+-(8-a3)8 8一、一、3 …、一、…八——(8—a3)x(8—a3)=—即(8—a3)2—16(8—a3)+48=0，即TOC\o"1-5"\h\z8 8 4a=V4,a=-3-4(不合题意，舍去)(2)〜1、+「1 21一3一3、 3E( )—J—f(x)dx-J—x-x2dx——x2——。X2x2 x28 804-8 018. (1994年、数学三、计算)由自动线加工的某种零件的内径X(毫米)服从正态分布N(r,1),内径小于10或大于12的为不合格品，其余为合格品，销售每件合格品获利，销售每件不合格品亏损，设销售利润L(元)|-1 , X<10与销售零件的内径X的关系为L—120 , 10<X<12问平均内-5, X>12径R取何值时，销售一个零件的平均利润最大？解：由X〜N(r,1),即X—r 1 x2 N(0,1)且①(x)—^=e2，可知1 42兀P(X<10)—P(X-R<10-R)—①(10-R)P(10<X<12)—P(10-r<X-r<12-r)—①(12-r)-①(10-r)P(X>12)—P(X-r>12-r)—1-0(12-r)由[-1 ， *<10L-，20 , 10<X<12得-5 , X>12EL——0(10-r)+200(12-r)-200(10-r)-5+50(12-r)—250(12-r)-210(10-r)-5

dEL——=-250'(12—R)+21①'(10-R)dRdEL一TOC\o"1-5"\h\z=-254(12-R)+214(10-R)令 =0，即dr-25x-L=e-2(12-r)2+21x-L=e-t(10-R)2=0即.v：2兀 <2k21 1“、，1”、， 21_=e-2(12-R)+2(10-r)=e2(r-11)即2(R-11)=ln2-,25 25一L21… …・•・r=11+-ln—x10.9a平均内径r取10.9时，销售一个零件的平均利润最大。(1996年、数学三、计算)设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时，全天停止工作，一周五个工作日，若无故障，可获利10万元，若发生一次故障，仍可获利5万元，若发生两次故障，获利为零。若至少发生三次故障，要亏损2万元，求一周内的利润期望。解：设X=｛一周共五个工作日，机器发生故障的天数｝且X〜B(5,0.2)贝人P(X=0)=C5)x0.20x0.85=0.328P(X=1)=C1x0.21x0.84=0.410P(X=2)=C52x0.22x0.83=0.205P(X>3)=1-P(X<3)5・•.L(x)5・•.L(x)={0X=1X=2X>3=1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=2)=0.057aEL=10x0.328+5x0.410+0x0.205+(-2)x0.057=5.216所以一周内的利润期望为5.216万元。

(1997年、数学三、计算)游客乘电梯从底层到电视塔的顶层观光，电梯于每个整点的第5分钟、25分钟和55分钟，从底层起行，一游客在早八点的第X分钟到达底层候梯处，且X在［0,60］上服从均匀分布，求该游客等候时间Y的数学期望。解：由到达时刻X在［0,60］上服从均匀分0<X<600<X<60r且等候时间其它布，可知X〜f(x)=<601025-X25-X55—X60—X+50<X<55<X<2525<X<5555<X<60二.E(Y)=E(g(X))=于g(x)f(x)dx=3fg(x)dx60(65-x)dx=60j(5-x)dx+于(25-x)dx+于(55-x(65-x)dx0=-(5x-6020=-(5x-602x2)5+(25x-25551x2)25+(55x-1x2)55+(65x-^2256055=_L(12.5+200+450+37.5)=11.67(1997年、数学三、计算)两台同样的自动记录仪，每台无故障工作的时间服从参数为5的指数分布，先开动其中的一台，当发生故障时，自动停机，另一台自动开机。求：两台记录仪无故障工作的总时间7的概率密度f(t)、期望值与方差。解：设%=｛第i台自动记录仪无故障的工作|5e-51T〜f(tT。时间｝,i=1,2,7|5e-51T〜f(tT。T=T+T,t=t+1当t<0时，f(t)=0

(t)f(t-1)dtT(t)f(t-1)dtT1 111+8f(t)=jf(t)fT T11-8-8(t)dt=j5e-5115e-5(t-11)dt=25e-5Jdt]=25e-5tt0■t=25te-5110125te-51・•.f(t)/即为两台记录仪无故障工作的总时间7的11 2_+-=一11 2_+-=一55 51 1 2・•.E(T)=E(T+T)=E(T)+E(T)=——十——=——5——十——=——525225D(T)=D(T+T)=D(T)+D(T)=12（1998年、数学三、计算）设一商店经销某种商品，每周的进货量X与顾客对该商品的需求量Y是两个相互独立的随机变量，均服从区间[10,20]上的均匀分布，此商店每售出一个单位的商品，可获利1000元，若需求量超过了进货量，可从其它商店调剂供应，此时售出的每单位商品，仅获利500元，求此商店经销这种商品每周获利的期望。解：设一商店经销某种商品的每周所获利润为L元，据题意可知:当销某种商品的每周所获利润为L元，据题意可知:当Y<X时，l=1000y当Y>X时，1 1 ,1000，其它L=1000X+500(y-X)=500(X+Y)即J1000Y-1500(X+Y)

」1000yx1dxdy+J1500(x+y)x—dxdy100 100q d220X2020=[dxJ10ydy+丁dx15(x+y)dy所以此商店经销这种200003+所以此商店经销这种200003+7500=1416723.商品每周获利的期望是1416723.（1999年、数学三、填空）设随机变量Xj,六L2'…,nnN2）独XX…X11121nXX…X立同分布，，则Y=21…22…2n…的数学期望EY—（）。Xn1Xn2…Xnn（答案：0）（2000年、数学三、填空）设随机变量X在区间［-1,2］上服从均匀I1，x>0分布；随机变量丫=sgn（X）={0,X=0则DY=（ ）。、-1,X<0

8

［答案填：§］（1998年、数学四、填空）设一次试验的成功率为夕，进行100此独立重复试验，当p=（）时，成功次数的标准差的值最大，最大值为()。(答案：p=1,%DX)=5)解：据题意可知，、：D(X)=.v100p(1-p)，即D(X)=100p(1-p)=100p-100p2令(D(X))'=100-200p=0,得p=1且 ' 1V-<D(X)=『100义-义(1-Q=5。2 2(1987年、数学四、计算)设随机变量X的概率分布为P(X=1)=0.2,P(X=2)=0.3,P(X=3)=0.5。(1)写出其分布函数;(2)求X的期望与方差。解：(1)由P(X=1)=0.2,P(X=2)=0.3,P(X=3)=0.5，可知，当x<1时，F(x)=P(X<x)=0当1<x<2时，F(x)=P(X<x)=P(X=1)=0.2当2<x<3时，F(x)=P(X<x)=P(X=1)+P(X=2)=0.2+0.3=0.5当3<x时，F(x)=P(X<x)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)’0x<10.21<x<2=0.2+0.3+0.5=1 F(x)=10.52<x<3即x的分J3<x布函数。（2）E(X)=Xxp=1*0.2+2*0.3+3*0.5=2.3Z=1E(X2)=Xx2p=12义0.2+22*0.3+32义0.5=5.9iiz=1

D(X)=E(X2)-(EX)2=5.9-(2.3)2=0.61。(1988年、数学四、计算)设十只同种电器元件中有两只废品，装配仪器时，从这批元件众任取1只，若是废品，则扔掉从新任取1只，若仍是废品，则在扔掉还取1只。求：在取到正品之前，已取出的废品数X的概率分布、数学期望及方差。解：设事件々.=｛从10只电器元件中，任取一只，第，・次取到废品｝在取到正品前，已取出废品数为随机变量X,其所有可能取的值为0,1,2，其概率分布如下：TOC\o"1-5"\h\zC1 4P(X=0)=P(A)=1二—1C1 5845845P(X=1)=P(A]A2)=P(AjP(A21AJ=—.T10 9P(X=2)=P(AAA)=P(A)P(AIA)P(AIAA)C1 C1 C1 1 由=—2-•—1•-8-=一C1 C1 C1 4510 9 8E(X)E(X)=£xpi=0=0/+1x色+2J=4545E(X2)立x2p

iii=0=02X4E(X2)立x2p

iii=0TOC\o"1-5"\h\z5 45 45154 2 88D(X)=E(X2)-(EX)2=百-(-)2=—。(1989年、数学四、计算)设随机变量X与Y的联合分布为(X,Y) (0,0)(0,1)(1,0)(1,1)(2,0)(2,1)P(X=x,Y=y)0.1 0.150.25""02""0.15 0.15求：(1)X的概率分布； (2)X+Y的概率分布；(3)—.冗一 一一 一Z=sin-(X+Y)的数学期望。解：(1)由X与Y的联合分布可知X的

概率分布如下：P(X=0)=P(X=0,Y=0)+P(X=0,Y=1)=0.1+0.15=0.25P(X=1)=P(X=1,Y=0)+P(X=1,Y=1)=0.25+0.2=0.45(2)P(X=2)=P(X=2,Y=0)+P(X=2,Y=1)=0.2+0.15=0.35X+Y的概率分布如下：P(X+Y=0) = P(X= 0,Y=0)=0.1P(X+Y=1) = P(X= 1,Y=0)+P(X = 0,Y =1) = 0.25+0.15=0.4P(X+Y=2) = P(X= 1,Y=1)+P(X = 2,Y =0) = 0.2+ 0.15 = 0.35P(X+Y=3) = P(X= 2,Y=1)=0.15（3）Z=sin+（X+Y）的概率分布如下:兀2(X+Y兀2(X+Y)(「冗Psin-(X+Y)IL2「Psin-(X+Y)IL2=0=P(X+Y=0)+P(X+Y=2)=0.1+0.35=0.45J)=1=P(X+Y=1)=0.4J)=-1=P(X+Y=3)=0.15J可知:EsinI-(X+Y)]]=0x0.45+1x0.4+(-1)x0.15可知:EsinI2人0989年、数学四、填空）设随机变量X1,X2,X3相互独立且X]~U[0,6],X2~N(0,22),X3〜P(3)，若Y=X1-2X2+3X3，则D(Y)=()。[答案填：46]解：由X1~U[0,6]，可知D(X)=1(6-0)2=3；由X~N(0,22),可知1 12 2D(X2)=22=4；由X3~P(3),可知D(X3)=3X/X2,X3相

」•.D(Y)=D(X—2X+3X)=D(X)+4D(X)+9D(X)互独立 =3+4x4+9x3=46(1993年、数学四、计算)设随机变量X与Y相互独立，均在区间［1,3］上服从均匀分布，引进事件A={X<a},B={X>a}且解：(1)由X解：(1)由X与Y1<x<3,其它P(A+B)=。求：(1)a值；(2)守的数学期望。9 X，在［1,3］上均服从均匀分布，可知X〜f(x)=\2、0，［1…一Y〜f(y)=J2，1<，<3当a<1时0，其它P(A)=P(X<a)=/f(x)dx=f0dx=0P(B)=P(Y>a)=1-P(Y<a)=1-ff(y)dy=1-f0dy=1-0=1由随机变量X与Y相互独立，可知事件A={X<a}与B={X>a}也是相互独立的。，P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)=0+1-0x1=17与P(A+B)=9相矛盾，因而a>1。当a>1时，P(A)=PP(A)=P(X<a)=ff(x)dx=f-8-8a10dx+ dx=211——xa=2(a-1)P(B)=P(Y>a)=1-P(Y<a)=1-ff(y)dyn1-f1dy=1-2(a-1)-8P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)=1(a-1)+1-1(a-1)^2 ^2

TOC\o"1-5"\h\z1 1 ,…7 5——(a—1)x[1——(a—1)]=即9a2—36a+35=0，即a=—或2 2 9 3j-x—dx=—j-x—dx=—lnx3=—ln3。2a=-(2)E(一)=3Xx一8(1995年、数学四、填空)设X〜f(x)=色—x 0<x<1,、0 其它则D(X)=()。［答案填：1］解：6E(X)E(X)=+8Jxf(x)dx=—8Jx(1+x)dx+Jx(1—x)=—10—1=0E(X2)=于x2f(x)dx=Jx2(1+x)dx+Jx2(1—x)—8 —10—1・•.D(X)=E(X2)—(EX)2=1—0=1。66(1997年、数学四、选择)设X是随机变量且E(X)=从,D(X)=02(从,o>0),则对任意常数c,( )成立。AE(X—c)2=EX2—c2B.E(X—c)2=E(X—叱C.E(X—c)2<E(X—^)2D.E(X—c)2>E(X—r)2[答案选：D]由E(X)=R,D(X)=02，得EX2=D(X)+(EX)2=02+r2,E(X—c)2=E(X2—2cX+c2)=EX2—2cEX+c2=02+r2—2cR+c2=02+(R—c)2

=EX2—2REX+R2E(X-^)2=E(X2—2NX+N2) 广广显然=O2+N2-2R2+R2=o2E(X-c)2>E(X-N)2（1997年、数学四、计算）设Y〜E（1）且|0Y<kX「｛1Y>k（k=1，2）,求：⑴*i与X2的联合概率分布；⑵、 °… ~、I0)。解：(1)由Y〜E(1)，可知F(j)=<2 1—e-jXkY<kY>kIXkY<kY>k(k=1,2)，得X=(1 11，P(X1=0,X2=0)=P(Y<1,Y<2)=P(Y<1)=F(1)=1-e-1P(X1=0,X2=1)=P(Y<1,Y>2)=0P(X=1,X=0)=P(Y>1,Y<2)=P(1<Y<2)=F(2)-F(1)=(1-e-2)-(1-e-1)=e-1-e-2P(X=1,X=1)=P(Y>1,Y>2)=P(Y>2)=1-P(Y<2)=1-F(2)=1-(1-e-2)=e-2⑵又P(X1=0)=P(X1=0,X2=0)+P(X1=0,X2=1)=1-e-1P(X1=1)=P(X1=1,X2=0)+P(X1=1,X2=1)二e-1P(X2=0)=P(X1=0,X2=0)+P(X1=1,X2=0)=1-e-2

P(X2=1)=P(X1=0,X2=1)+P(X1=1,X2=1)=e-2...E(X1)=0*(1-e-1)+1*e-1=e-1E(X)=0*(1-e-2)+1*e-2=e-2E(X1+X2)=E(X1)+E(X2)=e-1+e-2。34.(1998年、数学四、计算)设商店经销某种商品的每周需求量X服从区间［10,30］上的均匀分布，而进货量为区间［10,30］中的某一个整数，商店每售一单位商品可获利500元，若供大于求，则削价处理，每处理一单位商品亏损100元，若供不应求，则从外部调剂供应，此时每售出一单位商品仅获利300元，求此商店经销这种商品每周进货量为多少，可使获利的期望不少于9280元。解：设一商店经销某种商品的每周进货量为。且10<a<30当10<X<a34.L=500X-100(a-X)=600X-100a 当a<X<30时，L=500a+300(X-a)=300X+200a即10<X<a且a<X<3010<X<a且a<X<30~\300X+200a.10<<30 +/，10<x< ・•.E(L(X))=』L(x)f(x)dx-8其它-8=f(600x-100a)20dx+于(300x+200a),dx2-52-5axtI-aa+(^2x2+10ax)30令E(L(X))=9280,=5250+=5250+350a-7.5a22即5250+350a-7.5a2>9280，即203<a<26，取a=21。答：此商店经销这种商品每周进货量为21个单位，可使获利的期望不少于9280元。(1999商店经销这种商品每周进货量为21个单位，可使获利的期望不少于9280元。(1999年、数学四、填空)设随机变量X服从参数为九的泊松(Poisson)分布，且已知E[(X—1)(X—2)]=1，则X=()。[答案填：1](20XX年、数学四、计算)设随机变量X和Y的联合分布在以点(0,1),(1,0),(1,1),为顶点的三角形区域D上服从均匀分布，试求随机变量U=X+Y的方差。解：由条件可知(X,Y)的联合分布密度为：f(」2 (X,y)eD/(X，y)-10 (X,y)%D'E(Xk)=于于xkf(x,y)dxdy=f10f12xkdydx=—-—, (k=1,2)1―x k+2—8—8则：E(X)=2,E(X2)=1,同理，\o"CurrentDocument"J 乙E(y)=—,E(y2)=—,J 乙+8+8又：E(XY)=JJxyf(x,y)dxdy=f12xydxdy=5-，综上可知:01-x 12—8—8D(X+Y)=[E(X2)—E(X)2]+[E(Y2)—E(Y)2]+2[E(XY)—E(X)E(Y)]=—1837.(1993年、数学一、计算)设X〜f(x)=1e=1xi,—8<x<+837.(1)求E(X),D(X)；(2)求X与IXI的协方差且判定二者是否不相关；(3)判断X与IXI是否相互独立。解：(1)由于X的密度为偶函数则E(X)=0,若设随机变量Y服从参数为1的指数分布，利用指数分布随机变量的均值及方差的有关结论不难知：+8 +8E(X2)=丁x2f(x)dx=丁x2e-xdx=E(Y2)=D(Y)+[E(Y)]2=E(X2)=D(X)=E(X2)—[E(X)]2=2(2)卡1Cov(X,1XI)=E[X•IXI]-E(X)E(IXI)=』-xIxIe-\x\dx—0=0^2・..P=0,即X与IXI不相关。(3)设0<a<+J则{IXI<a}u{X<a},，0<尸{IXI<a}<P{X<a}<1从而P[X<a}P{IXI<a}<P{IXI<a}，但是P{X<a,IXI<a}=P{IXI<a}则P{X<a,IXI<a}中P{IXI<a}P{X<a}，即知X与IXI不独立。38. (1994年、数学一、计算)设Z=1X+1Y，其中TOC\o"1-5"\h\zX〜N(1,32),Y〜N(0,42),P=-1，求：(1)E(Z),D(Z);(2)Pv7；(3)xy2 xzX与Z是否相互独立？为什么？解：(1)E(Z)=—E(X)+—E(Y)=—,J 乙 JD(Z)=1D(X)+1D(Y)+2.1.1Cov(X,Y)9 4 32=1+4+1p D(X)D(Y)=5+1•(-1A12=33XY 3 2(2)XY X YC^v(X,Z)=C^v(X,—+2)=C^v(X,丁)+C^v(X,-)3D(X)+2Cov(X,Y)=0所以PXZ=0（3）由于X,Z均为正态变量，故独立与不相关等价，则由PXZ=0知X、Z独立。39. （2000年、数学一、选择）设二维随机向量X,Y）服从二维正态分布，40.则随机变量己=X+y与月=X-y不相关的充要条件为（）。e(X)=e(y)E(X2)=E(Y2)B.E(X2)-[E(X)]2=E(Y2)-[E(Y)]2D.E(X2)+[E(X)]2=E(Y2)+[E(Y)]2[答案选：B]（1991年、数学三、计算）设X与Y在圆域x2+y2<r2上服从联合均匀分布，（1）求X与Y的相关系数P；（2）问X与Y是否独立？解:（1）由X与Y服从圆域x2+y2<r2上的联合均匀分布，即x2+y2<r2 _y可知关于X,Y各自的边x2+y2>r2缘概率密度函数为:fX(x)=+8f(x，y)dy=J；-r2-x2-dy兀r2-8■-r2--x^= 7r2-x2,|x|<r-'r2-x2 兀r2+8fY(y)=Jf(x,y)dx=J工—dx一工--r2-y2;r2-y2+8丁xfX-82-y2,|y|<r且(x)dx=JxG-Vr2-x2dx=0(奇函数对称区间上的积九r2-r分为0)E(Y)=+JyfY(y)dy=Jydy=0因而-8-rCov(X,Y)=E(XY)-EXEY=Uxyf(x,y)dxdyx2+y2<r2=\dx［三XyLyy「r2-x2兀厂2-r=—1-f(xy2"r)dx且P=Cov(X,YL==0，即X与Y的相关2兀r2 一、:2-x2 DD(X)［D(Y)=--—f0dx=02兀r2-r1… 、 ,x2+y2<r2TOC\o"1-5"\h\z系数为0。(2)由f(x,y)=r冗r2 及0 , x2+y2>r22: 2; ,,一f(x)f(y)=］嬴'"2-x2.麻钞2-y2 ，x<r且小r可XY 八0 ,其它知f(x,y)中fX(x)fY(y)，即X与Y不独立。41. (1995年、数学三、选择)设X与Y独立且同分布,X-Y=U,X+Y=V，则U与V必()。A.不独立B.独立 C.相关系数不为零 D.相关系数为零［答案：选D］由X与Y相互独立且同分布，可知EX=EY,DX=DY且D(X±Y)=D(X)+D(Y)由DX=EX2-(EX)2,DY=EY2-(EY)2且DX=DY,EX=EY得:(EX)2-(EY)2=0,EX2-EY2=0由X-Y=U,X+Y=V，得UV=X2-Y2且EU=E(X-Y)=EX-EY,EV=E(X+Y)=EX+EY

DU=D(X—Y)=DX+DY,DV=D(X+Y)=DX+DY而E(UV)=E(X2—Y2)=EX2—EY2=0EUEV=(EX—EY)(EX+EY)=(EX)2—(EY)2=0・•.Cov(U,V)=E(UV)—EUEV=0/.p=C°V(U，V)-=0VD(U),D(V)42.。999年、数学三、计算）假设二维随机变量（X1，X之）42.10X<YG={(羽y)l0<%<2，0<y<1}上服从均匀分布,记U=[X>Y'10X<2YVT1X>2Y⑴求U和V的联合分布；⑵求U和V的相关系数「。解：由题设可得P（x<Y）=4，P(X42Y)=1P(Y<X<2Y)=12 4%>2y，%>2y，y=%^V以及U和V的分布为：^V〜011/21/2011/43/4(1)(U,V)有四个可能取值：(0,0),(0,1),(1,0)y>%P(U=0,V=0)=P(X<Y,X<2Y)(1,1) 11=P(X<Y)=4P(U=0,V=1)=P(X<Y,X>2Y)=00P(U=1,V=0)=P(X>Y,X<2Y)=P(Y<X<2Y)=14P(U=1,V=1)=P(X>Y,X>2Y)=P(X>2Y)=1(2)由以上可见

0 1120 11212于是，有TOC\o"1-5"\h\z「 3- 3 「 1 一1一、 1EU=-,DU=—,EV=-,DV=-,E(UV)=,4 16 2 4 2Cov(U,V)rCov(U,V)r二一. -=一=D)%D(V) J3Cov(U,V)=E(UV)-EUEV=—8(2000年、数学三、证明)设A,B是二随机事件，随即变量:x=［：若A出现，y」：若:出现试证明随机变量x和丫不〔-1若A不出现 〔-1若B不出现相关的充要条件是A与B相互独立。证明：记P(A)=pjP(B)=p2,P(AB)=%，由数学期望的定义，可见EX=P(A)-P(A)=2p1-1,EY=2p2-1现在求E(XY)。由于XY只有两个可能取值1和-1，可见P(XY=1)=P(AB)+P(AB)=2p12-p1-p2+1P(XY=-1)=1-P(XY=1)=p1+p2-2p12E(XY)=P(XY=1)-P(XY=-1)=4p12-2p1-2p2+1从而Cov(X,Y)=E(XY)-EX义EY=4p2-4p1P2因止匕Pxy=0oCov(X,Y)=4p12-4p1p2op12=p1p2即随机变量X和Y不相关当且仅当事件A与B相互独立。(20XX年、数学三、选择)将一枚硬币重复掷n次，以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数，则X和Y的相关系数等于()。A.1B.0 C,0.5 D.1［答案选：A］由X+Y=n知：Y=n-X,显然二者负相关。45. （2000年、数学四、计算）设二维随机变量（X,Y）的密度函数为:f（羽y）=1即（羽y）+中（羽y）］其中①（九y）和中（九y）都是二维正态2 1 2 1 21一1 、，密度函数，且它们对应的二维随机变量的相关系数分别为耳和-3,它们的边缘密度函数所对应的随机变量的数学期望都是零，方差都是1。（1）求随机变量X和Y的密度函数f1（x）和f2（y），及X和Y的相关系数p（可以直接利用二维正态密度的性质）。（2）问X和Y是否独立？为什么？解：（1）由于二维正态密度函数的两个边缘密度都是正态密度函数，因此①1（x,y）和92（x,y）的两个边缘密度为标准正态密度函数，故+tf1(x)=Jf(x,-8犍2(羽y)dyg111 - 1产—I——e2+——e221J2兀 v12ke一2同理：f2(y)=-==e一2由于X〜N(0,1),Y〜N(0,1)，可见EX=EY=0,DX=DY=1，随机变量X和Y的相关系数+8+8JJxyf(x,y)dxdy-8-8-8-8xy^(x,y)dxdy+Jfxy^(x,y)dxdy1 2-8-8（2）由题设9 _9__2 _ 9_2 -f(x,y)=一=e一16(x2-3xy+y2)+e-16(x2+3xy+y2)8冗＜21 x2 y2 1 2+y2f1(x)fX萩e-2"e-2=五e-2f(x,y)丰于1(x)f2(y)所以X和Y不独立。1抽到i等品01抽到i等品0其它等品分别为80、10、10件，现从中任取一件，且X.=Ii=1,2,3。求：(1)二元随机变量X与X的联合分布；(2)X与X的1 2 1 2相关系数P。解：设事件4=｛从100件产品种任取一件是i等品｝，i=1,2,3，据题意可知P(々)=0.8,P(4)=P(A/：0.1(1)事件X1与X2的联合分布如下：P(X1=0,X2=0)=P[(A2+A3)(A]+A3)]=P(A3)=0.1P(X1=1,X2=0)=P[(AJA]+A3)]=P(AJ=0.8P(X1=0,X2=1)=P[(A2+A3)A2]=P(A2)=0.1P(X1=1,X2=1)=P[AA2]=0因而E(X1X2)=0x0x0.1+0x1x0.1+1x0x0.8+1x1x0=0(2)关于X的边缘概率分布如下：P(X1=0)=P(X1=0,X2=0)+P(X1=0,X2=1)=0.1+0.1=0.2P(X1=1)=P(X1=1,X2=0)+P(X1=1,X2=1)=0.8+0=0.8关于X2的边缘概率分布如下：P(X2=0)=P(X1=0,X2=0)+P(X1=1,X2=0)