2023-2023东城高三上学期期末数学2023.1

2024-2024东城高三上学期期末数学2024.1高三数学（理）（东城）第1页（共13页）

东城区2024-2024学年度第一学期期末

高三数学（理科）2024.1

本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40分）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题

目要求的一项。

（1）若集合{2,1,0,1,2,3}A=--，{|1Bxx=，则AB=

（A）{2,3}-（B）{2,1,2,3}--（C）{0,1}

（D）{1,0,1,2}-

（2）函数3sin(2)4

yxπ

=+图象的两条相邻对称轴之间的距离是

（A）2π（B）π（C）2π（D）4

π（3）执行如图所示的程序框图，输出的x值为

（A）1（B）2

（C）3

2

（D）74

高三数学（理）（东城）第2页（共13页）

（4）若,

xy满意332,,,yxxyy??+???

≤≥≥则xy-的最小值为

（A）5-

（B）3-（C）2-

（D）1-

（5）已知函数41

()2

xxfx+=，则()fx的

（A）图象关于原点对称，且在),0[+∞上是增函数（B）图象关于y轴对称，且在),0[+∞上是增函数（C）图象关于原点对称，在),0[+∞上是减函数（D）图象关于y轴对称，且在),0[+∞上是减函数（6）设,ab为非零向量，则“

=a+ba-b”是“0?ab=”的

（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件

（D）既不充分也不必要条件

（7）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（A）

1

6

（B）13

（C）

12

（D）1

（8）现有n个小球，甲乙两位同学轮番且不放回抓球，每次最少抓1个球，最多抓3个

球，规定谁抓到最终一个球谁赢.假如甲先抓，那么以下推断正确的是（A）若4n=，则甲有必赢的策略（B）若6n=，则乙有必赢的策略（C）若9n=，则甲有必赢的策略

（D）若11n=，则乙有必赢的策略

正（主）视图

侧（左）视图

俯视图

高三数学（理）（东城）第3页（共13页）

其次部分（非选择题共110分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。（9）若复数(1+i)(i)a-为纯虚数，则实数a=．（10）()5

12x+的绽开式中，2x的系数等于．

（11）已知为等差数列，为其前项和，若，46

4aa+=，则5S=_______．

（12）在极坐标系中，若点(,)3

Amπ

(0)m>在圆2cosρθ=外，则m的取值范围为．

（13）已知双曲线C：2

2

21(0)yxbb

-=>的一个焦点到它的一条渐近线的距离为1，则

b=；若双曲线1C与C不同，且与C有相同的渐近线，则1C的方程可以

为．（写出一个答案即可）

（14）如图1，分别以等边三角形ABC的每个顶点为圆心、以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形ABC称为勒洛三角形ABC，等边三角形的中心P称为勒洛三角形的中心.如图2，勒洛三角形ABC夹在直线0y=和直线2y=之间，且沿x轴滚动.设其中心(,)Pxy的轨迹方程为()yfx=，则()fx的最小正周期为；

()yfx=的图象与性质有以下描述：

①中心对称图形；②轴对称图形；③一条直线；④最大值与最小值的和为2.其中正确结论的序号为__________.（注：请写出全部正确结论的序号）

图1图2

{}nanSn16a

=

高三数学（理）（东城）第4页（共13页）

三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（15）（本小题13分）

在ABC△中，角,,ABC所对的边分别为,,abc,2a=，2sinsinAC=．(Ⅰ)求c的长；

(Ⅱ)若B为钝角，1

cos24

C=-,求ABC△的面积．

（16）（本小题13分）

中国特色社会主义进入新时代，我国经济已由高速增长阶段转向高质量进展阶段.货币政策是宏观经济调控的重要手段之一，对我国经济平稳运行、高质量进展发挥着越来越重要的作用.某数学课外活动小组为了讨论人民币对某国货币的汇率与我国经济进展的关系，统计了2024年下半年某周五个工作日人民币对该国货币汇率的开盘价和收盘价，如下表：

（Ⅰ）已知这5天开盘价的中位数与收盘价的中位数相同，求a的值；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，从这5天中随机选取3天，其中开盘价比当日收盘价低的天数记为ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ；

（III）在下一周的第一个工作日，收盘价为何值时，这6天收盘价的方差最小.（只需写出结论）

（17）（本小题14分）

高三数学（理）（东城）第5页（共13页）

如图，在四棱锥EABCD-中，平面ADE⊥平面ABCD,

,OM分别为线段,ADDE的中点．四边形BCDO是边

长为1的正方形，AEDE=，AEDE⊥.（Ⅰ）求证：CM//平面ABE；

（Ⅱ）求直线DE与平面ABE所成角的正弦值；

（III）点N在直线AD上，若平面BMN⊥平面ABE，求线段AN的长.

（18）（本小题13分）已知函数xxxxxfln2

1

61)(3-+=

.（Ⅰ）求曲线)(xfy=在点（1，)1(f）处的切线方程；（Ⅱ）若()fxa>：

的离心率等于2

，经过其左焦点(1,0)F-且与x轴不重合的直线l与椭圆C交于,MN两点．

(Ⅰ)求椭圆C的方程；

(Ⅱ)O为原点，在x轴上是否存在定点Q，使得点F到直线QM，QN的距离总相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．

（20）（本小题13分）

已知数列12:,,,(2)nAaaan≥满意*

iaN∈且1(1,2,,)i

aiin≤≤=，数列

12:,,,(2)nBbbbn≥满意()1(1,2,,)iibainτ=+=，其中1()0aτ=，()(2,3,,)iainτ=表

示121,,,iaaa-中与ia不等的项的个数.

（I）数列A：1，1，2，3，4，请直接写出相应的数列B；（II）证明：(1,2,,)i

ibain≥=；

（III）若数列A相邻两项均不等，B与A为同一个数列，证明：(1,2,,)iaiin==.

（东城）第7页（共13页）

东城区2024-2024学年第一学期期末教学统一检测

高三数学参考答案及评分标准（理科）

一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）

（1）A（2）C（3）D（4）B（5）B（6）C（7）A（8）C二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）（9）1-（10）40（11）20（12）(1,)+∞（13）1，222xy-=等（14）23

π

，②④三、解答题（共6小题，共80分）（15）（共13分）

解:（Ⅰ）由于2a=，2sinsinAC=，由正弦定理

sinsinac

AC

=，得4c=．（Ⅱ）由21cos22cos14CC=-=-，得2

3cos8

C=.

由于02Cπ.设1122(,),(,)MxyNxy，

则21222

12241222.12kxxkkxxk?-+=??+?-?=?+?

，设(,0)Qt.由点,MN在x轴异侧，则问题等价于“QF平分MQN∠”，且12,xtxt≠≠，又等价于“12120QMQNyy

kkxtxt

+=

+=--”，即1221()()0yxtyxt-+-=.将1122(1),(1)ykxykx=+=+代入上式，整理得12122()(1)20xxxxtt++--=.将①②代入上式，整理得20t+=，即2t=-，所以(20)Q-，.

①②

高三数学（理）（东城）第12页（共13页）

当直线MN的斜率不存在时，存在(20)Q-，也使得点F到直线QM，QN的距离相等.故在x轴上存在定点(20)Q-，，使得点F到直线QM，QN的距离总相等.（20）（共13分）解：（I）1，1，3，4，5.

（II）1i=时，由111a≤≤知11a=，由题意知111ba=≥，结论成立；

2i≥时，设(1)iakki=≤≤，若1k=，则iiba≥；

若2ki≤≤，则由1211,2,,1kaaak-≤≤≤-知121,,,kaaa-均不与ia相等.于是()1iakτ≥-，()1iiibakaτ=+≥=.综上，(1,2,,)i

ibain≥=.

（III）当1i=时，由111a≤≤知11a=，结论成立；当2i≥时，假设121,,,iaaa-中存在一项和ia相等，设为ka.

在数列121,,,,,,kiiaaaaa-中，由1iiaa-≠，ikaa=可知，第i项之前与ia不相等的项比第k项之前与ka不相等的项至少多了一项1ia-，则()