2022届广东省各地市一模模拟试题打包（1理数）

绝密★启用前绝密★启用前试卷类型：B数学（理科）本试卷共4页，21题，满分150分，测试用时120分钟．参考公式：1．锥体的体积公式，其中是锥体的底面积，是锥体的高．2．用最小二乘法求线性回归方程系数公式，．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．⒈已知复数（是虚数单位），若使得，则A．B．C．D．⒉已知函数，且，则是A．奇函数且在上单调递增B．偶函数且在上单调递增C．奇函数且在上单调递减D．偶函数且在上单调递减⒊从一个五棱锥的顶点和底面各顶点（共6个点）中随机选取4个点，这4个点共面的概率等于图1A．B．C．D．图1⒋如图1，中，，，，是的中点，则A．B．C．D．⒌有人收集了春节期间平均气温与某取暖商品销售额的有关数据如下表：平均气温（℃）销售额（万元）20232730根据以上数据，用线性回归的方法，求得销售额与平均气温之间线性回归方程的系数．则预测平均气温为℃时该商品销售额为A．万元B．万元C．万元D．万元⒍下列命题中，真命题的个数是A．B．C．D．①不等式的解集是．②命题“任意素数都是奇数”的否定是“任意素数都不是奇数”．③平行于同一平面的两平面互相平行．正视图侧视图俯视图图2④抛物线的焦点坐标是正视图侧视图俯视图图2⒎如图2，某几何体的正视图和侧视图都是对角线长分别为4和3的菱形，俯视图是对角线长为3的正方形，则该几何体的体积为A．B．C．D．⒏定义，其中，，，，且互不相等．则的所有可能且互不相等的值之和等于A．B．C．D．以上都不对二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．(一)必做题（9～13题）⒐已知数列的前项和为，则．开始是输出结束否图3⒑在平面直角坐标系中，以点为圆心，且与直线开始是输出结束否图3⒒以初速度垂直向上抛一物体，时刻(单位：)的速度为(单位：)，则物体能达到的最大高度是（提示：不要漏写单位）．⒓已知、满足，则的最大值是．⒔执行如图3所示的程序框图，输出的．图4(二)选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）图4⒕（几何证明选讲选做题）如图4，是的高，是外接圆的直径。若，，，则图中与相等的角是，．⒖（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线的极坐标方程为．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．⒗（本小题满分12分）已知函数（）的最小正周期为．⑴求的值；⑵若满足，证明：是直角三角形．⒘（本小题满分14分）甲、乙两名同学在5次英语口语测试中的成绩统计如图5的茎叶图所示．⑴现要从中选派一人参加英语口语竞赛，从两同学的平均成绩和方差分析，派谁参加更合适；⑵若将频率视为概率，对学生甲在今后的三次英语口语竞赛成绩进行预测，记这三次成绩中高于分的次数为，求的分布列及数学期望．甲乙5777583673097图5（注：样本数据,,…,的方差，其中表示样本均值）⒙（本小题满分14分）图6如图6，四棱柱的底面是平行四边形，且，，，为的中点，图6平面．⑴证明：平面平面；⑵若，试求异面直线与所成角的余弦值．⒚（本小题满分12分）已知直线经过椭圆：（）的一个顶点和一个焦点．⑴求椭圆的离心率；⑵设是椭圆上动点，求的取值范围，并求取最小值时点的坐标．⒛（本小题满分14分）某学校每星期一供应1000名学生A、B两种菜。调查表明，凡在这星期一选A种菜的，下星期一会有改选B种菜；而选B种菜的，下星期一会有改选A种菜．设第个星期一选A、B两种菜分别有、名学生．⑴若，求、；⑵求，并说明随着时间推移，选A种菜的学生将稳定在名附近．21（本小题满分14分）已知，，直线：（常数、）使得函数的图象在直线的上方，同时函数的图象在直线的下方，即对定义域内任意，恒成立．试证明：⑴，且；⑵“”是“”成立的充分不必要条件．理科数学评分参考一、选择题CBBDAADC二、填空题⒐（列式完整但未化简扣1分；列式不完整扣2分）⒑（或等价方程）⒒（数值对4分，全对5分；数值错0分）⒓⒔⒕（3分），（2分）⒖三、解答题⒗⑴……2分（振幅1分，角度1分），……3分，……4分，所以……6分．（未化简而求，扣2分）⑵由得……7分，……8分，得……9分，所以或……10分，因为，，所以或，是直角三角形……12分．（“或”只得到一个，扣1分）⒘⑴……1分，……2分，……3分，……4分，因为，，所以派甲去更合适……5分．⑵甲高于80分的频率为，从而每次成绩高于80分的概率……6分，取值为0，1，2，3，……7分，直接计算得，，，……11分，分布列为0123……12分……12分所以，（或）……14分（列式1分，计算1分）⒙⑴依题意，……1分，所以是正三角形，……2分，又……3分，所以，……4分，因为平面，平面，所以……5分，因为，所以平面……6分，因为平面，所以平面平面……7分．⑵取的中点，连接、……8分，连接，则……9分，所以是异面直线与所成的角……10分。因为，，所以……11分，，……12分，所以……14分（列式计算各1分）．（方法二）以为原点，过且垂直于的直线为轴，所在直线为轴、所在直线为建立右手系空间直角坐标系……1分，设（），则，，，……3分．⑴设平面的一个法向量为，则……4分，，取，则，从而……5分，同理可得平面的一个法向量为……7分，直接计算知，所以平面平面……8分．⑵由即……9分，解得……10分。……11分，……12分，所以异面直线与所成角的余弦值……14分．注：由于给分板按方法一设置，即第⑴问7分，第⑵问7分。若学生按方法二答题，得分时，得分记在第⑴问；得分的部分，记在第⑵问。⒚⑴依题意，，，所以，……2分，……3分，所以椭圆的离心率……4分．⑵，当且仅当时，……5分，当且仅当是直线与椭圆的交点时，……6分，，所以的取值范围是……7分。设，由得……9分，由……10分，解得或……11分，所求点为和……12分．⒛⑴……2分，……4分。⑵，，……5分；……7分所以……9分，是以为首项，为公比的等比数列……10分，……11分，……12分，随着时间推移，即越来越大时，趋于……13分，所以趋于，趋于并稳定在附近……14分．21.⑴依题意，恒成立，所以……1分，因为、是常数，所以当充分大时，，从而……2分。（用反证法亦可）因为即恒成立，所以……3分，所以……4分。因为即恒成立，设，则……5分，由得，且时，，单调递减，时，，单调递增……7分，所以的极小值从而也是最小值为……8分，因为恒成立，所以，即，从而……9分．⑵方法一，由⑴知，从而，其中……10分，如图，根据幂函数与对数函数单调性，介于曲线与的两个交点的横坐标之间……11分，因为时，，时，……13分，所以，“”是“”成立的充分不必要条件……14分．方法二，由⑴知，从而，其中……10分，设，，解得……11分，，时，，，且……12分；时，，，且……13分；所以，，从而“”是“”成立的充分不必要条件……14分．广东省揭阳市2022—2022学年度高三学业水平考试数学理试题数学试题(理科)本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时l20分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效．4．考生必须保持答题卡的整洁,考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．参考公式：锥体的体积公式,其中是锥体的底面积，为锥体的高．一.选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合，则 A． B． C． D．2．已知倾斜角为的直线与直线平行，则的值为A.B.C.D.3．已知是定义在上的奇函数，当时（为常数），则的值为A.4B.D.4．双曲线的一个焦点到它的渐近线的距离为A.1B.C.5．“”是“函数有零点”的．A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6．如图，已知ABCDEF是边长为1的正六边形，则的值为（第6题图）A.B.C.D.（第6题图）7．已知向量，且，若变量x,y满足约束条件，则z的最大值为8．已知函数,则不等式的解集为A.B.C.D.二.填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9－13题）9.设是虚数单位，若复数为纯虚数，则实数的值为.10．设是等差数列的前项和，且，则=.11．近年来，随着以煤炭为主的能源消耗大幅攀升、机动车保有量急剧增加，我国许多大城市灰霾现象频发，造成灰霾天气的“元凶”之一（第11题图）是空气中的（直径小于等于（第11题图）24小时平均浓度(毫克/立方米)微米的颗粒物）.右图是某市24小时平均浓度(毫克/立方米)月（按30天计）根据对“”24小时平均浓度值测试的结果画成的频率分布直方图，若规定空气中“”24小时平均浓度值不超过毫克/立方米为达标，那么该市当月有天“”含量不达标．12．甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中至少有1门相同的选法共有种．（用数字作答）13．某几何体的三视图如图示，已知其主视图的周长为6，则该几何体体积的最大值为．（第13题图）（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）（第13题图）14．(坐标系与参数方程选做题)直线被圆所截得的弦长为.15．(几何证明选讲选做题)如图，从圆外一点P引圆的切线PC和割线PBA，已知PC=2PB，,则的长为．（第15题图）（第15题图）三．解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）已知函数．(1)求函数的最小正周期；(2)求函数的最大值和最小值；(3)若，求的值．17.（本小题满分12分）某产品按行业生产标准分成个等级，等级系数依次为，其中为标准，为标准，产品的等级系数越大表明产品的质量越好，已知某厂执行标准生产该产品，且该厂的产品都符合相应的执行标准.（1）从该厂生产的产品中随机抽取件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：353385563463475348538343447567该行业规定产品的等级系数的为一等品，等级系数的为二等品，等级系数的为三等品，试分别估计该厂生产的产品的一等品率、二等品率和三等品率；（2）已知该厂生产一件该产品的利润y（单位：元）与产品的等级系数的关系式为：，从该厂生产的产品中任取一件，其利润记为，用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求的分布列和数学期望．18.（本小题满分14分）已知函数是的一个极值点.（1）求函数的单调区间；（2）若当时，恒成立，求的取值范围.19．（本小题满分14分）如图①边长为1的正方形ABCD中，点E、F分别为AB、BC的中点，将△BEF剪去，将△AED、△DCF分别沿DE、DF折起，使A、C两点重合于点P得一三棱锥如图②示.（1）求证：;（2）求三棱锥的体积；①②（3）求DE与平面PDF所成角的正弦值．第19题图20．（本小题满分14分）已知定点A（-3,0），MN分别为x轴、y轴上的动点（M、N不重合），且,点P在直线MN上，.（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）设点Q是曲线上任一点，试探究在轨迹C上是否存在点T？使得点T到点Q的距离最小，若存在，求出该最小距离和点T的坐标，若不存在，说明理由．21．（本小题满分14分）已知，．（，为常数）（1）若，求证：数列是等比数列；（2）在（1）条件下，求证：；（3）若，试问代数式的值在哪两个相邻的整数之间？并加以证明．揭阳市2022—2022学年度高中三年级学业水平考试数学试题(理科)参考答案及评分说明一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数．一．选择题：BCBAACCD解析：1．∵,，故选B.2．依题意知：，从而,选C.3．由是定义在上的奇函数得，,选B.4．双曲线的一个焦点为，一条渐近线方程为，可得焦点到它的渐近线的距离为，选A.5．若，则函数必有零点，反之函数有零点，未必为2.故选A.6．由余弦定理得,,选C.7．∵∴，点的可行域如图示，当直线过点（1,1）时，z取得最大值，，选C.8．在同一坐标系内作出函数和的图象如图，利用数形结合易得答案选D.二．填空题：9.1；10.36；11.27；12.30；13.．14.；15..解析：10．易得.11．该市当月“”含量不达标有（天）;12．间接法.（种）；直接法：分成两类：有一门相同的有种，两门相同的有种，至少一门相同有（种）13．由三视图知，该几何体为圆柱，设其底面的半径为，高为，则，（当时“=”成立）或=，，令得，当时，,当时，，故当时，有最大值，，14．把直线和圆的参数方程化为普通方程得，于是弦心距弦长.15．∵∴∽∴三．解题题：16．解：（1）∵-------------------------------2分∴函数的最小正周期-------------------------------------3分（2）函数的最大值和最小值分别为．----------------------------------5分（3）由得∴，-----------------------------------------------------6分---------------------------------------------------7分∴---------------------------------------9分∵，∴∴．------------------------------------------------------12分17．解：（1）由样本数据知，30件产品中等级系数有6件，即一等品有6件，二等品有9件，三等品有15件-----------------------------------------------------------3分∴样本中一等品的频率为，故估计该厂生产的产品的一等品率为--------4分二等品的频率为，故估计该厂生产的产品的二等品率为；--------------5分三等品的频率为，故估计该厂生产的产品的三等品的频率为．----------6分124（2）∵的可能取值为：1,2,4用样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，由（1）可得,,--8分∴可得的分布列如右：----------------------------------------------------10分其数学期望(元)-----------------------------12分18．解：（1）∵且是的一个极值点∴，--------------------------------------------2分∴------------------------------------------4分由得或，∴函数的单调增区间为，；------6分由得，∴函数的单调减区间为，---------------------8分（2）由（1）知，函数在上单调递减，在上单调递增∴当时，函数取得最小值，=，------------------10分时，恒成立等价于-----------12分即。----------------------------------------------------14分19．（1）证明：依题意知图①折前,∴,----------------------------------------------2分∵∴平面-----------------------3分又∵平面∴-------------------------------------------4分(2)解法1：依题意知图①中AE=CF=∴PE=PF=，在△BEF中,----5分在中，∴--------------------7分∴．-----------8分【(2)解法2：依题意知图①中AE=CF=∴PE=PF=，在△BEF中,----------------------------------5分取EF的中点M，连结PM则,∴---------------6分∴---------------7分∴．-----------------------8分】(3)由（2）知又∴平面-------10分∴为DE与平面PDF所成的角，-------------------------------------------11分在中，∵,-------------------------------------12分∴-----------------------------------14分20.解：（1）设点M、N的坐标分别为，（）点P的坐标为，则，，由得，------------（※）----------2分由得--------------------------------------3分∴代入（※）得----------------------------------------5分∵∴∴动点P的轨迹C的方程为（）-------------------------------------6分（2）曲线即，是以B（4,0）为圆心，以1为半径的圆,设T为轨迹C上任意一点，连结TB,则------------------------------------------8分∴当最小时，最小.---------------------------------------------------9分∵点T在轨迹C上，设点（）∴---------------------------------11分当，即时，有最小值，-----------------------12分当时，∴在轨迹C上是存在点T，其坐标为，使得最小，.--14分21．证明：(1)∵，∴------------------------------------------1分∵∴，则-----------------------3分∴数列是以为首项，以2为公比的等比数列---------------------4分（2）由（1）知，化简得∵，∴要证，只需证，------------------------6分证法一：当，当时，----------------------------------------7分，-----------------------------------------8分∴，∴-------------------------------------------------9分【证法二：用数学归纳法证明，①当时，结论显然成立；------------------------------------------5分②假设当时结论成立，即,当n=k+1时,，--------------------------7分∴当时结论也成立综合①、②知--------------------------9分】（3）当时，∴，即，∴---11分又，∴单调递增，∴∴即的值在2与3之间-----------------------------------------------14分肇庆市中小学教学质量评估2022届高中毕业班第一次模拟试题数学（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.1．若复数在复平面内对应的点位于第三象限，则实数的取值范围是A.B.C.D.2．已知集合，集合满足，则集合的个数是B.7C.8D.93．已知函数的定义域为，函数的定义域为，则A.B.C.D.4．“”是“函数有零点”的A．充分非必要条件B.充要条件C．必要非充分条件D.非充分必要条件5．已知函数，x∈R,则是A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数6．已知向量,，如果向量与垂直，则的值为()A．1B．C.D．7．已知满足，则的最大值是().A.B.C.D.28．设为平面内一些向量组成的集合,若对任意正实数和向量,都有,则称为“点射域”,则下列平面向量的集合为“点射域”的是A. B.C. D.二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分.（一）必做题（9～13题）9．的解集是▲.10．在的展开式中常数项是▲.（用数字作答）11．某中学举行了一次田径运动会，其中有50名学生参加了一次百米比赛，他们的成绩和频率如图所示.若将成绩小于15秒作为奖励的条件，则在这次百米比赛中获奖的人数共有▲人.12.短轴长为,离心率的椭圆的两焦点为,过作直线交椭圆于两点,则的周长为▲13．如果实数满足等式,那么的取值范围是▲（）▲14.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，圆上的点到直线的距离的最小值为▲15．（几何证明选讲选做题）如图2，点是⊙O外一点，为⊙O的一切线,是切点，割线经过圆心O，若，，则▲三、解答题:本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16.（本小题满分12分）已知数列是一个等差数列，且，.（I）求的通项；（II）设，,求的值。17.（本小题满分13分）2022年春节前，有超过20万名广西、四川等省籍的外来务工人员选择驾乘摩托车沿321国道长途跋涉返乡过年，为防止摩托车驾驶人因长途疲劳驾驶，手脚僵硬影响驾驶操作而引发交事故，肇庆市公安交警部门在321国道沿线设立了多个长途行驶摩托车驾乘人员休息站，让过往返乡过年的摩托车驾驶人有一个停车休息的场所。交警小李在某休息站连续5天对进站休息的驾驶人员每隔50辆摩托车就进行省籍询问一次，询问结果如图3所示：(Ⅰ)问交警小李对进站休息的驾驶人员的省籍询问采用的是什么抽样方法？(Ⅱ)用分层抽样的方法对被询问了省籍的驾驶人员进行抽样，若广西籍的有5名，则四川籍的应抽取几名？(Ⅲ)在上述抽出的驾驶人员中任取2名，求抽取的2名驾驶人员中四川籍人数的分布列及其均值（即数学期望）。18.（本题满分13分）已知△的面积为，内角的对边分别为，已知.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值；（Ⅲ）求向量的数量积.19.（本小题满分14分）如图4，已知斜三棱柱（侧棱不垂直于底面）的侧面与底面ABC垂直，，.(Ⅰ)求侧棱在平面上的正投影的长度．(Ⅱ)设AC的中点为D，证明底面；(Ⅲ)求侧面与底面ABC所成二面角的余弦值；20.（本小题满分14分）已知圆C与两圆，外切，圆C的圆心轨迹方程为L，设L上的点与点的距离的最小值为，点与点的距离为.(Ⅰ)求圆C的圆心轨迹L的方程；（Ⅱ）求满足条件的点的轨迹Q的方程；（Ⅲ）试探究轨迹Q上是否存在点，使得过点B的切线与两坐标轴围成的三角形的面积等于。若存在，请求出点B的坐标；若不存在，请说明理由.21．（本小题满分14分）设函数.(Ⅰ)求函数的单调区间；(Ⅱ)若函数有两个极值点且，求证．肇庆市2022届高中毕业班第一次模拟测试数学（理科）参考答案及评分标准1C解析：由题意可知，2C解析：集合有共8个3D解析：由已知得4C解析：函数有零点，，反之不然.5A解析：∵,∴函数是最小正周期为的奇函数 6D解析：，∵,∴,解得,7B解析:不等式组表示的平面区域如图所示.角点坐标分别为,8B解析:由题知不可能是曲边界的区域，如果边界为曲边区域，当向量，对任意正实数所得的向量不能再通过平移到原区域内，所以排除A、C、D，给出图像，易知B正确．9解析：.∵,∴或(舍去).∴,或.10解析:45.的通项为Tr+1=，令40-5r=0,解得r=8，代入得常数项为=45.11解析：11.由图知，成绩在内的人数为：（人）所以这次百米比赛中获奖的人数共有11人.12解析:6.由题知即,解得由椭圆的定义知△ABF2的周长为.13解:用数形结合,设,则表示经过点的直线,为直线的斜率.所以求的取值范围就等价于求同时经过点和圆上的点的直线中斜率的最大最小值.从图中可知,当过P的直线与圆相切时斜率取最大最小值，此时对应的直线斜率分别为和，其中不存在，由圆心到直线的距离解得,所以的取值范围是.14解析：1.圆的直角坐标方程为，直线的直角坐标方程为，圆心到直线的距离，所以圆上一点直线的最小值等于15解析：2.由已知得,在中，,所以,又由割线定理得,解得.16解：（Ⅰ）设的公差为，由已知条件，，（2分）解得，．（4分）所以．（6分）（Ⅱ）∵，∴∴（8分）∴（12分）17解：(Ⅰ)交警小李对进站休息的驾驶人员的省籍询问采用的是系统抽样方法.（3分）(Ⅱ)从图中可知，被询问了省籍的驾驶人员广西籍的有：人，四川籍的有：人，（4分）设四川籍的驾驶人员应抽取名，依题意得，解得即四川籍的应抽取2名.（7分）(Ⅲ)的所有可能取值为0，1，2；（8分），，，（10分）的分布列为：012（11分）均值.（13分）18解：（Ⅰ）由，即得（2分）∵，∴（4分）（Ⅱ）由（Ⅰ）得∵，∴（5分） ∴（6分）∴（7分） ∴（9分）（Ⅲ）∵，（10分）设向量与所成的角为，则（11分）∴（13分）19解：（方法一）(Ⅰ)∵是斜三棱柱,∴平面，故侧棱B1B在平面上的正投影的长度等于侧棱的长度．(2分)又,故侧棱在平面的正投影的长度等于.(3分)(Ⅱ)证明：∵，，∴∴三角形是等腰直角三角形，（5分）又D是斜边AC的中点，∴（6分）∵平面⊥平面，∴A1D⊥底面（7分）(Ⅲ)作DE⊥AB，垂足为E，连A1E，∵A1D⊥面ABC，得A1D⊥AB．∴平面，（8分）从而有，∴∠A1ED是面A1ABB1与面ABC所成二面角的平面角．（9分）∵，∴∴三角形是直角三角形，∴ED∥BC，又D是AC的中点，∴，∴，即侧面A1ABB1与底面ABC所成二面角的余弦值为.(14分)（方法二）(Ⅰ)同方法一(Ⅱ)同方法一(Ⅲ)∵，∴∴三角形是直角三角形，过B作AC的垂线BE，垂足为E，则，∴(8分)以D为原点，所在的直线为轴，DC所在的直线为轴，平行于BE的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则设平面的法向量为，则，即化简得令，得，所以是平面的一个法向量.(11分)由（I）得A1D⊥面ABC，所以设平面ABC的一个法向量为(12分)设向量和所成角为，则(13分)即侧面A1ABB1与底面ABC所成二面角的余弦值为.(14分)20解析：（Ⅰ）两圆半径都为1，两圆心分别为、，由题意得，可知圆心C的轨迹是线段的垂直平分线，的中点为，直线的斜率等于零，故圆心C的轨迹是线段的垂直平分线方程为，即圆C的圆心轨迹L的方程为。(4分)（Ⅱ）因为，所以到直线的距离与到点的距离相等，故点的轨迹Q是以为准线，点为焦点，顶点在原点的抛物线，，即，所以，轨迹Q的方程是(8分)（Ⅲ）由（Ⅱ）得，，所以过点B的切线的斜率为，切线方程为，令得，令得，因为点B在上，所以故，所以切线与两坐标轴围成的三角形的面积为设，即得，所以当时，，当时，，所以点B的坐标为或.(14分)21解：(Ⅰ)函数的定义域为，（1分）（2分）令，则．①当，即时，，从而，故函数在上单调递增；（3分）②当，即时，，此时，此时在的左右两侧不变号，故函数在上单调递增；（4分）③当，即时，的两个根为，当，即时，，当时，．故当时，函数在单调递减，在单调递增；当时，函数在单调递增，在单调递减．（7分）(Ⅱ)∵,∴当函数有两个极值点时，，故此时，且，即，（9分）,设，其中，（10分）则，由于时，，故函数在上单调递增，故．∴．（14分）广东省茂名市2022届高三上学期第一次模拟考试数学试题（理） 本试卷分选择题和非选择题两部分，满分l50分，考式时间l20分钟。注意事项： l、答卷前，考生要务必填写答题卷上的有关项目． 2、选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答案填在答题卡相应的位置上． 3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4、考生必须保持答题卷的整洁．考试结束后，将答题卷交回． 5、参考公式：第一部分选择题（共40分）一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知复数在复平面内对应的点位于 （） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．已知函数的定义域为{0，1，2}，那么该函数的值域为 （） A．{0，1，2} B．{0，2} C． D．3．若 （） A． B． C． D．4．设数列是公差为为0的等差数列，是数列的前项和，若成等比数列，则 （） A．3 B．4 C．6 D．75．设是不重合的三个平面，是不重合的两条直线，下列判断正确的是 （） A．若 B．若，则 C．若 D．若6．某小区有7个连在一起的车位，现有3辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的4个车位连在一起，那么不同的停放方法的种数为 （） A．16种 B．18种 C．24种 D．32种7．由直线上的点向圆引切线，则切线上的最小值为 （） A． B． C． D．8．已知向量，向量如图所示，则 （） A．存在，使得向量与向量垂直 B．存在，使得向量与向量夹角为 C．存在，使得向量与向量夹角为 D．存在，使得向量与向量共线第二部分非选择题（共110分）二、填空题：（本大题共7小题，第14、15小题任选一题作答，多选的按第14小题给分，共30分）9．已知直线与函数的图象相切，则切点坐标为。10．某人向正东方各走了千米，然后向右转，再朝新方向走了3千米，结果他离出发点恰好千米，那么的值是。11．按如右图所示的程序框图运算，若输入，则输出k的值是。12．为了加强食品安全管理，某市质监局拟招聘专业技术人员名，行政管理人员名，若，且满足的最大值为。13．若。选做题：以下两题任选一道作答，两题都答的按第14题正误给分。14．（极坐标与参数方程选做题）若M，N分别是曲线上的动点，则|MN|的最小值是。15．（几何证明选讲选做题）从圆O外一点A引圆的切线AD和割线ABC，D为切点，已知AD=4，AC=8，圆O半么为5，则圆心O到直线AC的距离为。三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）16．（本小题满分12分） 已知向量（1）求；（2）若的值域。17．（本小题满分12分）为了调查茂名市某中学高三男学生的身高情况，在该中学高三男学生中随机抽取了40名同学作为样本，测得他们的身高后，画出频率分布直方图如下：（1）估计该校高三男生的平均身高；（2）从身高在170cm（含170cm）以上的样本中随机抽取2人，记身高在170~175cm之间的人数为X，求X的分布列和数学期望。（部分参考数据：×+×+×=）18．（本小题满分14分）如图1，在正三角形ABC中，已知AB=5，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，设，将沿EF折起到的位置，使二面角A1—EF—B的大小为，连结A1B、A1P（如图2）。（1）求证：PF由.6.第一步：选取4个连在一起的空车位的取法有4种；第二步：在剩下的3个车位上安排3部不同的车的排法有；总共有4=24种排法.8.先将平移至以为起点处，判断A、将逆时针旋转，所得向量应与方向相同，观察可知横坐标为负，而的横坐标为正，表明方向不同，此情形不合；将顺时针旋转，得到的向量横坐标为正，纵坐标为负，若与共线，可推断，可知A不正确；选项B，C，D推理同上，注意用方格判断与轴正方向的夹角范围为.二、填空题(每小题5分，共30分，其中14、15题是选做题)9.10.411.512.1013.14.115、4部分试题解析提示：10.，解得（舍去），。14.当，.15.由切割线定理：，可得，，则，圆心到的距离即圆心到弦的距离，根据弦心距公式得：三、解答题(共80分)16.解：（1）,………2分.…………………3分∴…5分∵∈,∴＞0，∴.………6分（2）由（1）可得……………………8分∵∈,∴,…………10分∴当时，取得最小值为；当=1时，取得最大值为-1.∴的值域为.…………12分17.解:(1)由频率分布直方图可知，该校高三男学生的平均身高为………………………2分（cm）………………4分(2)由频率分布直方图可知,所抽取的样本中身高在170~175cm之间的人数有人……5分所抽取的样本中身高在170cm（含170cm）以上的人数有人………………6分所以的可能取值为0,1,2…………9分所以的分布列为012…………10分的数学期望为………12分18.（1）证明：， ，………2分平面，平面，；…3分（2）解：若平面，则，，……4分，即，解得.………………6分（3）解：二面角的大小为，且平面，，，平面平面＝，平面，又平面，即；两两相互垂直，…………7分以为原点，建立空间直角坐标系，如下图所示：由已知条件得：，则有,，，,,，，…………8分易知是平面的一个法向量，=（-3，0，0）……9分设平面的法向量为，则由，得，解得………………11分∴………13分∴平面与平面所成锐二面角的余弦值为…14分19.解：（1）设点,则,…………………1分由得即…2分动点的轨迹方程为………………3分①时，轨迹是一个焦点落在轴上且去掉短轴的两个端点的椭圆.②时，轨迹是一个圆心在坐标原点半径为5且去掉与轴的两个交点的圆.③当时，轨迹是一个焦点落在轴上且去掉长轴的两个端点的椭圆⑤当时，轨迹是一个焦点落在轴上且去掉实轴的两个端点的双曲线.…………8分（2）设点,则点,设点则…9分，由得①…………………10分②……11分③……12分将②③代入①得……13分……河源市2022学年度第一学期期末质量检测高三理科数学参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．题号12345678答案CCACBCCB填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．9~13题是必答题案9．10．24011．612.13．(3,4)14~15题是选做题，考生只能选做一题．14．15．2三、解答题：本大题共6小题，满分80分．16.（本小题满分12分）解（1），……2分……4分.……8分（2），……10分，，，函数的值域为.……14分17.（本小题满分13分）解：（1）设甲投进两球的事件为A，乙投进一次的事件为B，事件A表示两次独立重复事件有两次发生，即 ，------------------------------------------2分事件B表示两次独立重复事件有一次必发生，即----------------------------------------------4分∵″甲投进两次，乙投进一次″为事件″A•B″，∴答：甲投进两次，乙投进一次的概率为--------------------------6分