2022年中考数学模拟试题压轴题汇编(五)

2022年中考数学试题压轴题汇编(五)26．(湖南省长沙市)如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边分别在x轴和y轴上，cm，OC=8cm，现有两动点P、Q分别从O、C同时出发，P在线段OA上沿OA方向以每秒cm的速度匀速运动，Q在线段CO上沿CO方向以每秒1cm的速度匀速运动．设运动时间为t秒（1）用t的式子表示△OPQ的面积S；（2）求证：四边形OPBQ的面积是一个定值，并求出这个定值；（3）当△OPQ与△PAB和△QPB相似时，抛物线经过B、P两点，过线段BP上一动点M作轴的平行线交抛物线于N，当线段MN的长取最大值时，求直线MN把四边形OPBQ分成两部分的面积之比．BBAPxCQOy第26题图解：(1)∵CQ＝t，OP=t，CO=8∴OQ=8－t∴S△OPQ＝（0＜t＜8）…3分(2)∵S四边形OPBQ＝S矩形ABCD－S△PAB－S△CBQ＝＝32…………5分∴四边形OPBQ的面积为一个定值，且等于32…………6分（3）当△OPQ与△PAB和△QPB相似时,△QPB必须是一个直角三角形，依题意只能是∠QPB＝90°又∵BQ与AO不平行∴∠QPO不可能等于∠PQB，∠APB不可能等于∠PBQ∴根据相似三角形的对应关系只能是△OPQ∽△PBQ∽△ABP………………7分∴解得：t＝4经检验：t＝4是方程的解且符合题意（从边长关系和速度）此时P（，0）∵B（，8）且抛物线经过B、P两点，∴抛物线是，直线BP是：…8分设M（m,）、N(m，)∵M在BP上运动∴∵与交于P、B两点且抛物线的顶点是P∴当时，………………9分∴＝∴当时，MN有最大值是2∴设MN与BQ交于H点则、∴S△BHM＝＝∴S△BHM：S五边形QOPMH＝＝3:29∴当MN取最大值时两部分面积之比是3：29．……10分28.（南京市8分）如图，正方形ABCD的边长是2，M是AD的中点，点E从点A出发，沿AB运动到点B停止，连接EM并延长交射线CD于点F，过M作EF的垂线交射线BC于点G，连结EG、FG。（1）设AE=时，△EGF的面积为，求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（2）P是MG的中点，请直接写出点P的运动路线的长。解：（1）当点E与点A重合时，x=0y=;当点E与点A不重合时，0<x≤2在正方形ABCD中∠A=∠ADC=90°,∴∠MDF=90°,∴∠A=∠MDF.∵AM=DM∠AME=∠DMF.∴△AME≌△DMF.∴ME=MF在Rt△AME中，AE=x,AM=1,EF=2ME=2过M作MN⊥BC于N，则∠MNG=90°,∠AMN=90°MN=AB=AD=2AM∴∠AME+∠EMN=90°∵∠EMG=90°∴∠NMG+∠EMN=90°∴∠AME=∠GMN∴Ｒt△AME∽Ｒt△NMG∴即∴MG=2ME=2∴×2×2=2+2x2∴y=2x2+2(0≤x≤2)(2)Ｐ的运动路线的长为2．25．（云南省昆明市12分）在平面直角坐标系中，抛物线经过O（0，0）、A（4，0）、B（3，）三点.（1）求此抛物线的解析式；（2）以OA的中点M为圆心，OM长为半径作⊙M，在（1）中的抛物线上是否存在这样的点P，过点P作⊙M的切线l，且l与x轴的夹角为30°，若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由.（注意：本题中的结果可保留根号）解：（1）设抛物线的解析式为：由题意得： ……………1分解得：………………2分∴抛物线的解析式为：………………3分（2）存在 ………………4分l′l′抛物线的顶点坐标是，作抛物线和⊙M（如图），设满足条件的切线l与x轴交于点B，与⊙M相切于点C连接MC，过C作CD⊥x轴于D∵MC=OM=2,∠CBM=30°,CM⊥BC∴∠BCM=90°，∠BMC=60°，BM=2CM=4,∴B(-2,0)在Rt△CDM中，∠DCM=∠CDM-∠CMD=30°∴DM=1,CD==∴C(1,)设切线l的解析式为:，点B、C在l上，可得：解得：∴切线BC的解析式为：∵点P为抛物线与切线的交点由解得：∴点P的坐标为：，………………8分∵抛物线的对称轴是直线此抛物线、⊙M都与直线成轴对称图形于是作切线l关于直线的对称直线l′(如图)得到B、C关于直线的对称点B1、C1l′满足题中要求，由对称性，得到P1、P2关于直线的对称点：，即为所求的点.∴这样的点P共有4个：，，，……12分（本题其它解法参照此标准给分）25．(江西省)课题：两个重叠的正多边形，其中的一个绕某一个顶点旋转所形成的有关问题．实验与论证设旋转角∠A1A0B1＝α（α＜∠A1A0B1），θ1，θ2，θ3，θ4，θ5，θ（1）用含α的式子表示角的度数：θ3＝_________，θ4＝_________，θ5＝_________；（2）图1－图4中，连接A0H时，在不添加其他辅助线的情况下，是否存在与直线A0H垂直且被它平分的线段？若存在，请选择期中的一个图给出证明；若不存在，请说明理由；归纳与猜想设正n边形A0A1A2…An-1与正n边形A0B1B2…Bn-1重合（其中，A1与B1重合），现将正n边形A0B1B2…Bn-1绕顶点A0逆时针旋转α（3）设θn与上述“θ3，θ4，…”的意义一样，请直接写出θn的度数；（4）试猜想在正n边形且不添加其他辅助线的情形下，是否存在与直线A0H垂直且被它平分的线段？若存在，请将这条线段用相应的顶点字母表示出来（不要求证明）；若不存在，请说明理由．解:（１）．………3分说明：每写对一个给1分.（２）存在·下面就所选择图形的不同分别给出证明:选图１，图１中有直线垂直平分．证明如下:方法一:证明：∵△与△与是全等的等边三角形，∴.∴.又∠.∴∴.∴点在线段的垂直平分线上.又∴点在线段的垂直平分线上.所以直线垂直平分．………………….6分方法二:证明:∵△与△与是全等的等边三角形，∴.∴.又∠.∴∴.在△与△中,∵∴△△.∴.∴是等腰三角形的顶角平分线.∴直线垂直平分.…………..6分选图2.图2中有直线垂直平分，证明如下：∵∴.又∵∴∴,∴点在线段的垂直平分线上.又,∴点在线段的垂直平分线上.所以直线垂直平分．…………….6分.说明:(i)在图2中选用方法二证明的，参照上面的方法二给分；（ii）选图3或图4给予证明的，参照上述证明过程评分.（３）当为奇数时，，当为偶数时，．…….8分.（４）存在，当为奇数时，直线垂直平分．当为偶数时，直线垂直平分．……….10分.说明：第（３）、（４）问中，每写对一个得1分.26.(辽宁省大连市)如图17，抛物线F：与轴相交于点C，直线经过点C且平行于轴，将向上平移t个单位得到直线，设与抛物线F的交点为C、D，与抛物线F的交点为A、B，连接AC、BC（1）当，，，时，探究△ABC的形状，并说明理由；（2）若△ABC为直角三角形，求t的值（用含a的式子表示）；（3）在（2）的条件下，若点A关于轴的对称点A’恰好在抛物线F的对称轴上，连接A’C，BD，求四边形A’CDB的面积（用含a的式子表示）OCOCABDx图17解：（1）结论：是直角三角形.1分由题意：令解得点的坐标分别为设与轴相交于点，在和中是直角三角形 2分（2）由题意，，设点的坐标为 3分 4分设为的中点，则点的坐标为为直角三角形 5分即 6分 7分（舍去） 8分（3）依题意，点与点重合在抛物线的对称轴上，与关于轴对称轴四边形是平行四边形 9分在中与关于轴对称为等边三角形 10分 11分 12分25、(陕西省)问题探究(1)请你在图①中做一条直线，使它将矩形ABCD分成面积相等的两部分；（2）如图②点M是矩形ABCD内一点，请你在图②中过点M作一条直线，使它将矩形ABCD分成面积相等的两部分。问题解决（3）如图③，在平面直角坐标系中，直角梯形OBCD是某市将要筹建的高新技术开发区用地示意图，其中DC∥OB,OB=6,CD=4开发区综合服务管理委员会（其占地面积不计）设在点P（4,2）处。为了方便驻区单位准备过点P修一条笔直的道路（路宽不计），并且是这条路所在的直线l将直角梯形OBCD分成面积相等的了部分，你认为直线l是否存在？若存在求出直线l的表达式；若不存在，请说明理由解：（1）如图①（2）如图②连结AC、BC交与P则P为矩形对称中心。作直线MP，直线MP即为所求。如图③存在直线l过点D的直线只要作DA⊥OB与点A则点P(4,2)为矩形ABCD的对称中心∴过点P的直线只要平分△DOA的面积即可易知，在OD边上必存在点H使得PH将△DOA面积平分。从而，直线PH平分梯形OBCD的面积即直线PH为所求直线l设直线PH的表达式为y=kx+b且点P(4,2)∴2=4k+b即b=2－4k∴y=kx+2－4k∵直线OD的表达式为y=2x∴解之∴点H的坐标为（，）∴PH与线段AD的交点F（2,2－2k）∴0＜2－2k＜4∴－1＜k＜1∴S△DHF=∴解之，得。（舍去）∴b=8－∴直线l的表达式为y=24．(山东省济南市本小题满分9分)如图所示，抛物线与x轴交于A、B两点，直线BD的函数表达式为，抛物线的对称轴l与直线BD交于点C、与x轴交于点E．⑴求A、B、C三个点的坐标．⑵点P为线段AB上的一个动点（与点A、点B不重合），以点A为圆心、以AP为半径的圆弧与线段AC交于点M，以点B为圆心、以BP为半径的圆弧与线段BC交于点N，分别连接AN、BM、MN．①求证：AN=BM．DCMNOABPlDCMNOABPl第24题图yExDCMNOABDCMNOABP第24题图lxyFE解得：，∴A(－1，0)，B(3，0) 2分∵=，∴抛物线的对称轴为直线x=1，将x=1代入，得y=2，∴C（1，2）. 3分⑵①在Rt△ACE中，tan∠CAE=，∴∠CAE=60º，∴AC=BC，∴△ABC为等边三角形， 4分∴AB=BC=AC=4，∠ABC=∠ACB=60º，又∵AM=AP，BN=BP，∴BN=CM，∴△ABN≌△BCM，∴AN=BM. 5分②四边形AMNB的面积有最小值． 6分设AP=m，四边形AMNB的面积为S，由①可知AB=BC=4，BN=CM=BP，S△ABC=×42=，∴CM=BN=BP=4－m，CN=m，过M作MF⊥BC,垂足为F,则MF=MC•sin60º=，∴S△CMN==•=， 7分∴S=S△ABC－S△CMN=－（）= 8分∴m=2时，S取得最小值3. 9分23.（红河州本小题满分14分）如图9，在直角坐标系xoy中，O是坐标原点，点A在x正半轴上，OA=cm，点B在y轴的正半轴上，OB=12cm，动点P从点O开始沿OA以cm/s的速度向点A移动，动点Q从点A开始沿AB以4cm/s的速度向点B移动，动点R从点B开始沿BO以2cm/s的速度向点O移动.如果P、Q、R分别从O、A、B同时移动，移动时间为t（0＜t＜6）s.（1）求∠OAB的度数.（2）以OB为直径的⊙O‘与AB交于点M，当t为何值时，PM与⊙O‘相切？（3）写出△PQR的面积S随动点移动时间t的函数关系式，并求s的最小值及相应的t值.（4）是否存在△APQ为等腰三角形，若存在，求出相应的t值，若不存在请说明理由.解：（1）在Rt△AOB中：tan∠OAB=∴∠OAB=30°（2）如图10，连接O‘P，O‘M.当PM与⊙O‘相切时，有∠PMO‘=∠POO‘=90°，△PMO‘≌△POO‘由（1）知∠OBA=60°∵O‘M=O‘B∴△O‘BM是等边三角形∴∠BO‘M=60°可得∠OO‘P=∠MO‘P=60°∴OP=OO‘·tan∠OO‘P=6×tan60°=又∵OP=t∴t=，t=3即：t=3时，PM与⊙O‘相切.（3）如图9，过点Q作QE⊥x于点E∵∠BAO=30°，AQ=4t∴QE=AQ=2tAE=AQ·cos∠OAB=4t×∴OE=OA-AE=-t∴Q点的坐标为（-t，2t）S△PQR=S△OAB-S△OPR-S△APQ-S△BRQ=