永磁同步直线电机推力波动建模与前馈补偿器设计

永磁同步直线电机推力波动建模与前馈补偿器设计

为了实现高速、高速汽车、高精度运动和大型汽机的发展趋势，通常采用带有铁芯永和同步线性电机的驱动元件。直线电机铁芯在提高推力密度的同时,也加大推力波动等一些非线性扰动的影响。对于气浮导轨支承、直线电机驱动的平台,由于阻尼非常小,这些扰动无缓冲地作用在直线电机上,因此严重影响了超精密工作台的动态特性。推力纹波、齿槽效应和端部效应是引起有铁芯永磁同步直线电机推力波动的最主要原因,目前已有很多控制方法用于推力波动的抑制。文采用在线和离线补偿的方式,使得电机的速度稳定性大为提高;文采用推力波动与位置关系建模,设计相应的前馈控制器抑制扰动以降低系统轨迹跟踪误差。文采用迭代学习的方式提高了系统的轨迹跟踪性能。本文在分析推力波动特性的基础上,对推力波动进行了关于速度与位置的建模,通过前馈的方式对推力波动进行补偿。1直线电机推力波动的抑制直线电机推力波动的大小、波动频率与直线电机的机械结构和电机运动速度、位置密切相关。对于结构已经固定的工作台而言,推力波动的大小主要取决于电机的运动速度和位置,且与速度和位置有着较复杂的非线性关系。直线电机在运动过程中,由于速度与位置不断变化,导致了推力波动也不断变化,这加大了推力波动抑制的难度,不利于工作台的精度补偿。由于工作台运动轨迹是已知的,因而可以预先计算出电机在各个时间的位置与速度。如果直线电机在整个行程上推力波动的模型已知,那么利用已有的轨迹就能计算出直线电机在运动过程中受到的推力纹波。将推力纹波反向后作为前馈补偿器,就能抑制推力波动在电机运动过程中造成的扰动。在实际的系统中,由于直线电机3相绕组不对称,永磁体充磁不均匀以及永磁体磁场的不均匀等非线性不确定因素的存在,往往很难通过理论的方式精确地建立推力波动模型。本文的研究重点就是通过实验建立推力波动的模型,从而设计相应的前馈补偿器降低推力纹波对系统的影响。2对线性电机的推力波动分析2.1p的定位条件及加速度前馈直线电机的传统反馈控制系统的框图见图1。图1中C为反馈控制器,P为系统模型,ff为加速度前馈控制器,Fr为直线电机所受到的推力波动纹波力,r为系统输入,y为系统输出,e为系统跟踪误差。在闭环反馈控制器C的作用下,系统构成闭环控制系统,能够对不稳定的P进行镇定,达到闭环反馈系统的稳定。从图1中可以看到,在直线电机负载不变的情况下,误差e的表达式为e=11+CΡr-Ρ1+CΡrff-Ρ1+CΡFr.(1)为了消除由输入r带来的误差影响,则需要使式(1)中前两项之差为0,即ff=1Ρ=ms2‚(2)其中:m为平台质量,s为Laplace算子。利用加速度前馈ff消除了由输入r带来的误差,从而由Fr到系统误差e之间的传递函数为Η=-eFr=Ρ1+CΡ.(3)进而可以获得Fr=-Η-1e=-(Ρ1+CΡ)-1e.(4)从式(4)可以看到,利用系统的轨迹跟踪误差,可以反求得推力波动的波形,即可得到推力波动对于位置与速度的数学表达式,Fr=f(x,˙x).(5)在计算过程中,首先需要知道传递函数H的逆。本论文中采用脉冲传递矩阵的方法获得传递函数H的逆。2.2基于约束的约束扰动的激发律设计考虑有限时间输入离散线性定常系统{x(t+1)=Ax(t)+Bu(t)‚y(t)=Cx(t).(6)则在初始状态为x(0)时,系统在u(t)的作用下的解析解可以表达为y(t)=CAtx(0)+t-1∑i=0CAt-1-iBu(i)‚t=1,2,⋯,n.(7)定义:u=[u(1),u(2),…,u(n)]T,(8)y=[y(1),y(2),…,y(n)]T,(9)y0=[(CA)T,(CA2)T,…,(CAn)T]Tx(0),(10)G=[CBCABCBΟCA2BCABCB⋮⋮⋮⋱CAt-1BCAt-2B⋯CABCB]‚(11)则式(7)又能表示为y=y0+Gu.(12)令hi=CAi-1B(i=1,2,…,n),则矩阵G可以写为G=[h10⋯0h2h1⋱⋮⋮⋱⋱0hn⋯h2h1].(13)矩阵(13)称为Toeplitz矩阵,参数hi(i=1,2,…,n)称为Markov参数。hi可以通过在闭环状态下对系统加入冲击激励来获得。对矩阵G求逆可得到由误差到波动力模型传递函数H-1(参见文)。根据式(4)可得到推力波动的扰动波形Fr。若用谐波分量的形式去描述Fr,同时分析各谐波分量与速度之间的关系,就可得到如下推力波动模型:Fr=∑iΖi(vmm⋅s-1)sin(ωix+φi)‚(14)ωi=2πi1τ‚(15)其中:Zi(v)为各谐波分量的幅值随速度的函数,v为电机速度,ωi为各谐波分量的频率值,φi为各谐波分量的相位,x为电机的实际位置,τ为电机的定子极距。利用式(14)就能设计推力波动的前馈补偿器,fr=∑Ζi(vmm⋅s-1)sin(ωix+φi).(16)2.3速度对推力波动的影响设计超精密工作台的控制结构见图2。在闭环系统的推力上引入脉冲激励,并采集脉冲响应,图3是对系统施加脉冲激励后获得的响应曲线。从图3中可以看到,从脉冲激励开始到100ms(200个采样点)后,系统已渐趋稳定状态,因此,本文截取前200个采样时刻的系统输出,作为脉冲响应序列,即h=[h1,h2,h3,⋯,h200].(17)根据式(13),可求得误差到波动力模型传递函数H-1。为考察推力波动与速度间的关系,在多个匀速段情况下进行了实验。在这些速度状态下分别进行轨迹跟踪,可得到匀速段的跟踪误差e,根据式(4)可得到各个速度情况下的推力波动波形。以10mm/s的速度为例,对其进行频谱分析,结果如图4。图4中可以看到,频谱中有A、B、C、D4个较高的峰值位置,其频率和幅值分别如表1。表1中基频=0.625Ηz=v/τ=10mm/s16mm。后3个频率分量分别为基频的2倍、3倍和6倍。4倍频与5倍频分量对模型的计算结果影响都很小,所以将它们忽略。在其他的速度情况下,有同样的现象,因此,根据式(14)—(15)将推力波动描述为Fr=∑Ζi(vmm⋅s-1)sin(i2πxτ+φi),i=1,2,3,6.(18)将各个速度下获得的实验数据综合起来,结果见图5。可见,4个频率分量的幅值都随着速度的增加而减小。对图5中的曲线进行线性拟合可得:Ζ1(vmm⋅s-1)=-7.25×10-6(vmm⋅s-1)4+0.0031(vmm⋅s-1)3-0.39(vmm⋅s-1)2+8.68(vmm⋅s-1)+1258.5,Ζ2(vmm⋅s-1)=2.99×10-6(vmm⋅s-1)4-0.00151(vmm⋅s-1)3+0.266(vmm⋅s-1)2-20.1(vmm⋅s-1)+736.2,Ζ3(vmm⋅s-1)=6.71×10-7(vmm⋅s-1)4-0.00034(vmm⋅s-1)3+0.062(vmm⋅s-1)2-4.73(vmm⋅s-1)+188.5,Ζ6(vmm⋅s-1)=3.35×10-6(vmm⋅s-1)4-0.00159(vmm⋅s-1)3+0.26(vmm⋅s-1)2-18.62(vmm⋅s-1)+638.5.(19)利用非线性拟合的方式可以获得4个频率处的相位分别为:φ1=2.85,φ2=-0.91,φ3=-1.45,φ6=-2.65.(20)3运动能力测试本文的实验台如图6所示,实验台的运动部分为气浮导轨支撑的有铁芯直线电机,电机采用KOLLMORGEN公司的永磁同步直线电机及配套的驱动器,其连续推力151N,峰值推力375N,动子质量4.23kg,极距16mm;其位移由MicroE公司的分辨率为0.1μm光栅尺测得,主控计算机伺服周期为0.5ms。利用3.3节的计算结果,根据式(16)设计前馈控制器fr,在多个不同运动速度(包括加减速段),进行推力波动补偿抑制。以10mm/s的速度为例,实验结果见图7。以移动平均数(meaningaverage,MA)、移动标准差(movingstandarddeviation,MSD)为指标考量补偿前后的轨迹跟踪性能。ΜA=1ΝΝ∑1ei,ΜSD=√1ΝΝ∑1(ΜA-ei)2.(21)根据图7,补偿前后MSD分别为2.94μm和1.32μm,补偿后的MSD为补偿前的44.9%。图8为不同速度下补偿前后的MSD比值曲线。从图8中可以看到在不同速度下补偿后轨迹跟踪误差的MSD值降低到补偿前的40%左右。4基于速度与位置的非线性