浙教版九年级数学下册

2.1【知识梳理1：切线的判定】.切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线.切线判定的三种方法：（1）和圆只有一个公共点的直线（2）圆心到直线的距离等于圆的半径的直线（3）切线判定定理例题讲解例1下列说法中，不正确的是（ ）A.与圆只有一个交点的直线是圆的切线B.经过半径的外端，且垂直于这条半径的直线是圆的切线C.与圆心的距离等于这个圆的半径的直线是圆的切线D.垂直于半径的直线是圆的切线例2如图，AB是@O的直径，下列条件中，不能判定直线AT是@O的切线的是（ ）AB=4,AB=4,AT=3,BT=5ZB=45°,AB=ATC./B=55°,/TAC=55°D./ATC=/B第2第2题 第3题例3如图，已知AB是@O的弦，半径OC经过AB的中点D,CE//AB,点F在@O上,连结OA,CF,BF,则下列结论中，不正确的是（ ）1 ^^^^A./F=2/AOCB.AB±BFC.CE是@O的切线D.AC=BC例4如图，已知AB是@O的直径，CD是@O的弦，AB与CD交于点E,CE=DE，过点B作BF//CD，交AC的延长线于点F,求证：BF是@O的切线.【变式训练】.如图，在平面直角坐标系中，过格点A,B,C作一圆弧，则点B与下列格点的连线中,能够与该圆弧相切的是( )A.点(0,3)B.点(23) C.点(5,1)D.点(6,1)第1题) 第2题).如图，已知/ABC=90。，O为射线BC上一点.以点0为圆心，；BO长为半径作@O.当射线BA绕点B按顺时针方向旋转 不超过360。)时与®0相切..如图，四边形ABCD是平行四边形，以对角线BD为直径作®0,分别与BC,AD交于点E,F.(1)求证：四边形BEDF为矩形.(2)若BD2=BEBC,试判断直线CD与@0的位置关系，并说明理由..如图，在90B中，/A0B=90°,0D±AB于点D.以点0为圆心，0D长为半径的圆交0A于点E,在BA上截取BC=0B，连结CE.求证：CE是@0的切线..如图，©0的直径为AB,点C在圆周上不与点A,B重合)，AD±CD.(1)若BC=3,AB=5,求AC的长.(2)若AC是/DAB的平分线，求证：直线CD是@0的切线.【知识梳理2:切线的性质】.切线的性质：经过切点的半径垂直于切线.只要知道以下其中两个性质就可以推出第三个：①过圆心；②过切点；③垂直于切线例题讲解例1如图，AB是@O的直径，C是AB延长线上的一点，且8008,CD切@O于点D.则/A=( )A.15°B.30°C.60°D.75°第1题 第2题例2如图，以点0为圆心的两个圆中，大圆的弦AB切小圆于点C,0A交小圆于点D.若0D=2,tan/OAB=1则AB的长是( )A.4 B.2..'3 C.8 D.4，'3例3如图，AB为@0的直径，PQ切@0于点T,连结AT,AC±PQ于点C,交®0于点D.(1)求证：AT平分/BAC.(2)若A0=2,AT=2\仙，求AC的长.例4如图，SBC中，/C=90°,AC+BC=8,0是斜边AB上一点，以点0为圆心的®0分别与AC,BC相切于点D,E.(1)当AC=2时，求®0的半径.(2)设AC=x,®0的半径为y,求y关于x的函数表达式.【变式训练】.如图，已知AB是@O的直径，点C在@O上，过点C的切线与AB的延长线交于点P,连结AC.若/A=30°,PC=3,则BP的长为.第1题 第2题.如图，半圆O与等腰直角三角形ABC的两腰CA,CB分别切于0,E两点，直径FG在AB上.若BG=、回—1,则dBC的周长为.如图，在矩形ABCD中，AB=4,AD=5,AD,AB,BC分别与©O相切于£,F,G三点，过点D作@O的切线交BC于点乂，切点为N,则DM的长为( )A.5B.9C.4V13 D.2/5第3题 第4题.如图，在Rt£ABC中，/ACB=90°,/A=30。，AB=4\：&若动点D在线段AC上不与点A,C重合)运动，过点D作DE^AC交AB边于点E.(1)当点0运动到线段AC的中点时，DE=(2)若点A关于点D的对称点为点F,以FC为半径作®孰当0£=时，®C与直线AB相切..如图，AB是@O的直径，AD是@O的弦，F是DA延长线上的一点，AC平分/FAB交©O于点C,过点C作CE，DF,垂足为E.(1)求证：CE是@O的切线.(2)若AE=1,CE=2,求@O的半径..如图，AB为®O的直径，OC^AB,弦CD与OB交于点F,过点D,A分别作©O的切线交于点G,并与AB的延长线交于点E.(1)求证：/1=/2.(2)若OF：OB=1：3,®O的半径为3,求AG的长.【综合例题讲解】例1如图，公路MN与公路PQ在点P处交会，且QPN=30°,在点A处有一所中学，AP=160m.假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受噪音影响，那么拖拉机在公路交会处沿PN方向行驶时，学校是否会受噪音影响？如果不受影响，请说明理由；如果受影响，且已知拖拉机的速度为18km血，则学校受影响的时间为多少秒？

例2如图，在平面直角坐标系中，原点为O,点A的坐标为(40),点B的坐标为(-1,0),以4：8的中点P为圆心，AB长为直径作@P交y轴正半轴于点C.(1)求经过A,B,C三点的抛物线所对应的函数表达式.(2)设M为(1中抛物线的顶点，求直线MC对应的函数表达式.【变式训练】.如图①，以△ABC的边AB为直径的@O交边BC于点E,过点E作@O的切线交AC于点0,且£0，4。1：②(1)试判断△ABC的形状，并说明理由.(2)如图②，若线段AB,DE的延长线交于点F,/C=75°,CD=2-、回，求®O的半径和BF的长..如图，射线QN与等边三角形ABC的两边AB,BC分别交于点M,N,且AC//QN,AM=MB=2cm,QM=4cm.动点P从点Q出发，沿射线QN以每秒1cm的速度向右移动，经过t（s）以点P为圆心，-；3cm为半径的圆与dBC的边相切切点在边上），请求出=可取的一切值2.2知识要点：切线长定理】.切线长定理：过圆外一点所作的圆的两条切线长相等.注意切线和切线长两个不同的概念【例题讲解】例1如图，从®O外一点P引©0的两条切线PA,PB,切点分别为A,B.如果/APB=60°,PA=8,那么弦AB的长是（ ）A.4B.8C.43D.8..,3例1图 变式1图【变式训练】.如图，PA,PB,CD分别与©0相切于点A,B,E,若PA=7,则GCD的周长为.如图，PA,PB分别切©0于点A,B,CD切©0于点E,分别交PA,PB于点C,D.若©0的半径为r,△PCD的周长为3r,连结0A,0P,则胃的值是 变式2图变式2图变式3图.如图，⑥O与dBC中AB,AC的延长线及BC边相切，且/ACB=90°,/A,/B,/C所对的边长依次为3,4,5,则@O的半径是 .例2如图，PA，PB分别切⑥。于点A,B,连结OP与®O交于点C,连结AC,BC.求证：AC=BC.【变式训练】.如图，在dBC中，ZACB=90。，以AC为直径的@O交AB于点D,过点D作@O的切线交BC于点E,EF^AB,垂足为F.(1)求证：DE=|BC.(2)若AC=6,BC=8,求S&CD：S㈤F的值..如图，O是£ABC内一点，©O与BC相交于F,G两点，且与AB,AC分别相切于点D,E,DE//BC,连结DF,EG.(1)求证：AB=AC.(2)若AB=10,BC=12,求当四边形DFGE是矩形时@O的半径.3.如图，已知正方形ABCD的边长为2,M是BC的中点，P是线段MC上的一个动点不与点M,C重合)，以AB为直径作@O,过点P作@O的切线交AD于点F,切点为£.求四边形CDFP的周长.【综合例题讲解】1.如图，已知AB【综合例题讲解】1.如图，已知AB是@O的直径，CD与®O相切于点C,BEIICO.(1)求证：BC是/ABE的平分线;(2)若DC=8,®O的半径OA=6求CE的长.2.(2)若DC=8,®O的半径OA=6求CE的长.2.如图，AB为®O的直径，直线CD切⑥。于点D,(1)求证：/ADC=/ABD;(2)求证：AD2=AMAB;若AM=£,si/ABD=5，求线段BN的长.5 52.31知识要点：三角形的内切圆】1.三角形内、外心的区别名称确定方法图形性质外心三角形 的交点

内心三角形 的交点2.注意接”与切“，内”与外”的区别，任意一个三角形都有的内切圆和外接圆，但圆有 个外切三角形和内接三角形.解题小技巧：(1)已知AABC的面积为$,内切圆半径为r,三边长为a,b,。，则有：S=1(a+b+c)r(2)已知RtAABC两直角边为a，b，斜边为c，则该直角三角形的内切圆半径：r=((a+b+c)例题讲解例1给出下列说法：①任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；②任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形；③任意一个三角形一定有一个内切圆，并且只有一个内切圆；④任意一个圆一定有一个外切三角形，并且只有一个外切三角形.其中正确的有( )A.1个B.A.1个B.2个C.3个阴影部分是阴影部分是AABC的内切圆,【变式训练】1.下列说法中，不正确的是()A.三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点B.锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的内心都在三角形内部C.垂直于半径的直线是圆的切线D.三角形的内心到三角形的三边的距离相等例2如图，△ABC是一块绿化带，将阴影部分修建为花圃，已知AB=15,AC=9,BC=12,一只自由飞翔的小鸟将随机落在这块绿化带上，则小鸟落在花圃上的概率为(TOC\o"1-5"\h\zn n一 D一B.A.66C.8 D・5

B.A.66C.［变式训练］例2图变式1图.如图，在［变式训练］例2图变式1图.如图，在RtAABC中，/C=90°,AC=6,BC=8,®O为dBC的内切圆，D是斜边AB的中点，则ta叱ODA=(A." B.平3 2D.2例3如图，在平面直角坐标系中,有一正方形AOBC.反比例函数y=k的图象经过正方形AOBCx对角线的交点，半径为4-2%q的圆内切于△ABC,求k的值.【变式训练】.如图，⑥O是以/ACB为直角的AABC的内切圆，切点分别是D,E,F.(1)填空：当 时，EF//AB(填上符合题目要求的一个条件即可).(2)当EF//AB时，设@O的半径r=1,DE,AC的延长线交于点G,求GF的长.RAFCGRAFCG.如图，在AABC中，AC=BC,I为AABC的内心，O为BC上一点，过B,I两点的®O交BC于点D,taiZCBI、,AB=6.3(1)求线段BD的长.(2)求线段BC的长.【链接中考】【链接中考】.AABC中，AB=AC,/A为锐角，CD为AB边上的高，I为dCD的内切圆圆心，则ZAIB的度数是（ ）A.120°B.125°C.135°D.150°.一个钢管放在丫形架内，O为钢管的圆心.如果钢管的半径为25cm,ZMPN=60,则OP=.3.如图，在AABC中，ABAC5cm,cosB三.如果@O的半径为辿0cm,且经过5点B、＞那么线段AO=cm...如图，在RtAABC中，/C=90°,AC=12,BC=16，点O为AABC的内心，M为斜边AB的中点，求OM的长C【综合例题讲解】例1如图，在9BC中，AC=BC,/CAB=口定值），®O的圆心。在AB上，并分别与AC,BC相切于点P,Q.（1）求/POQ的度数用含a的代数式表示）.（2）设D是CA延长线上的一个动点，DE与®O相切于点M,点E在CB的延长线上，试判断/DOE的度数是否保持不变，并说明理由.3（3）在（2）的条件下，如果AB=m（m为已知数），。。$叼5,设AD=x,DE=y，求y关于x的函数表达式（并指出自变量x的取值范围）.

例2在RtAABC,/ACB=90°,AC=4,BC=3,CD±AB于点0,以0为坐标原点，CD所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系.(1)求A,B，C三点的坐标；(2)若®O1、®O2分别为£ACD,△BCD的内切圆，求直线Op2的函数表达式【课后作业】.如图，AB是@O的直径，CO±AB,CD切©0于D,AD交CO于E.求证：CD=CE..如图，®D的半径为3,A是@D外一点，且40=5,AB,AC分别与®D相切于8,C^^两点，G是BC上任意一点，过点G作@D的切线，交48于点E,交AC于点F.(1)求AAEF的周长.(2)当6为线段AD与@D的交点时，连结CD，求五边形DBEFC的面积..如图，直线l与@O相交于A,B两点，且与半径OC垂直，垂足为H,已知AB=16cm,

一，4cos/OBH=口.5(1)求@O的半径；(2)如果要将直线l向下平移到与