“旋转全等”模型图及结论的探究与应用 论文

“旋转全等”模型图及结论的探究与应用摘要：两个具有公共顶点且顶角相等的等腰三角形，其中一个等腰三角形在绕着顶点旋转的过程中，伴随着有全等三角形的产生.通过得证的全等三角形，利用其性质可以顺其自然得到更多的边相等、角相等.在一些几何综合问题中，常常隐藏着旋转全等模型，如果能够找到对应模型所需要的条件，拆解出旋转全等基本图，那么问题就会迎刃而解.本文以一般的等腰三角形和特殊的等腰三角形为例，在信息技术环境下利用几何画板进行动态演示，探究旋转全等的模型图和对应结论以及应用上的优越性.关键词：等腰三角形，共顶点旋转，全等三角形引言：全等三角形是两个三角形中最简单，最常见的关系。在沪科版八年级数学上册第14章全等三角形章节学习中，无论是教材习题还是在配套练习中，都有旋转全等模型的存在.接下来我们将从特殊的等边三角形去研究旋转全等模型的存在性，以此进一步推广到更为一般的等腰三角形，在相同条件成立的情况下，也存在此模型下相同的结论.一、模型概述两个顶角相等且顶点重合的等腰三角形，其中一个等腰三角形在绕着顶点旋转的过程中，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，把这样的图形称作共顶点旋转模型.二、基本模型1．等边三角形（1）基本模型图及结论一已知条件：△ABC是等边三角形，△ADE是等边三角形，连接BD、CE.结论1：△BAD≌△CAE.证明：如图1-1，∵△ABC、△ADE是等边三角形，∴AB=AC，AD=AE.∠BAC=∠DAE=60°.∵∠BAD=∠BAC-∠DAC,∠CAE=∠DAE-∠DAC,∴∠BAD=∠CAE.在△ABD和△CAE中，{∠BAD=∠CAEAD=AE，AB=AC∴△ABD≌△CAE.（SAS）小结：在条件成立时，共顶点旋转过程中，始终有全等三角形.（2）基本模型图及结论二已知条件：△ABC是等边三角形，△ADE是等边三角形，BD、CE交于点F.结论2：∠BFC=∠BAC=60°.证明：由结论1可知∠ABP=∠ACE,如图2①-③，∵∠BAC+∠ABP=∠BPC,∠BFC+∠ACE=∠BPC,∴∠BAC+∠ABP=∠BFC+∠ACE.∴∠BFC=∠BAC=60°.小结：等边三角形共顶点旋转过程中出现全等，并且两连线BD和AE所在的直线的夹角始终为60°.（3）基本模型图及结论三已知条件：△ABC是等边三角形，△ADE是等边三角形，BD、CE交于点F，连接FA.结论3：FA平分∠BAC，FB平分∠AFC.证明：由结论1：△ABD≌△CAE可知，S△ABD=S△CAE，BD=CE，∴MA=NA，∴FA平分∠BAC.（角平分线的判定定理）FB平分∠AFC.（4）基本模型图及结论四已知条件：△ABC是等边三角形，△ADE是等边三角形，BD、CE交于点F，连接FA.结论4：FB=AF+CF，EF=AF+FD.证明：如图4，在FB上截取FG=AG,可知△ABC为等边三角形.利用基本结论得到△ABG≌△ACF.∴BG=CF，∴BG+GF=CF+AF，∴FB=AF+CF.同理得证：EF=AF+FD.小结：如图，四边形ABCD中，AB=BC,∠ABC=60°，∠ADC=120°.则DB平分∠ADC，BD=AD+CD.对角互补，邻边相等的四边形例1.△ABC和△EDC均为等边三角形，且B、C、E在同一条直线上，连接BD交AC于点M，连接AE交CD于点N，连接MN，点F为AE与BD的交点.求证：（1）△BCM≌△ACN；（2）△DCM≌△ECN；（3）MN∥BE；（4）△CMN是等边三角形.分析：由旋转型全等易证△BCD≌△ACE，从而∠CBM=∠CAN，又由已知条件可得△BCM≌△ACN，同理可证△DCM≌△ECN，进而CM=CN，又∵∠MCN=60°，∴△CMN是等边三角形，再由平行线的判定可得MN∥BE.证明：模型基本结论1易证△BCD≌△ACE，∴∠CAN=∠CBM.∵B、C、E三点共线，△ABC和△EDC是等边三角形，∴∠BCM=∠ACN=∠ECN=60°，BC=AC.在△BCM和△ACN中，，{∠BCM=∠ACNBC=AC∠CBM=∠CAN∴△BCM≌△ACN（ASA）.同理可证△DCM≌△ECN，∴CM=CN，∴△CMN是等边三角形，∴∠NMC=∠ACB=60°，∴MN∥BE.小结：此题所利用的正是旋转型全等的基本结论1，由基础结论1进而证明B、C、E三点共线时的特殊结论.例2.点E是菱形ABCD的对角线CA延长线上的任意一点，以线段AE为边作一个菱形AEFG，且∠EAG=∠DAB，连接EB，GD.（1）求证：EB=GD.（2）若∠DAB=60°，AB=2，AG=3，求GD的长.（1）证明：∵四边形AEFG、ABCD是菱形，∠EAG=∠DAB，∴∠EAG+∠GAB=∠BAD+∠GAB，∴∠EAB=∠GAD.∵AE=AG，AB=AD，∴△AEB≌△AGD.∴EB=GD.（2）解：如图7，连接BD交AC于点P，则BP⊥AC，∵∠DAB=60°，∴∠PAB=30°，1∴BP=AB=1，AP=2AB2−BP2=3，AE=AG=3，∴EP=23，∴EB=EP2+BP2=13，∴GD=13.2．等腰直角三角形（1）基本模型图及结论两个共顶点的等腰三角形，绕着点C旋转过程中，始终有如下结论：①△ABD≌△ACE;②BD⊥CE（位置关系）且BD=CE（数量关系）；③FA平分∠BFE.证明方法与等边三角形旋转模型类似.证明：如上图8-①，∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，∴∠BAD=∠CAE，又∵AB=AC,AD=AE，∴△ABD≌△ACE（SAS）.由△ABD≌△ACE，∴BD=CE，∠ABD=∠ACE，∵∠ABD+∠DBC=45°,∴∠DBC+∠DCB=∠DBC+∠ACE+∠ACB=90°，即BD⊥CE.由△ABD≌△ACE，S△ABD=S△CAE，BD=CE，∴MA=NA，∴FA平分∠BFE.（角平分线的判定定理）（2）例题例3.如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，D为AB边上一点.求证（1）△ACE≌△BCD；（2）2CD2=AD2+DB2.证明：（1）∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∴AC=BC，CD=CE，∵∠ACB=∠ECD=90°∴∠ACE+∠ACD=∠BCD+∠ACD，∴∠ACE=∠BCD，∴△ACE≌△BCD.（2）∵△ABC为等腰直角三角形，∴∠ABC=∠CAE=45°,∴∠DAE=∠CAE+∠BAC=90°,∴AD2+AE2=DE2.由（1）知AE=DB，∴AD2+DB2=DE2,∴2CD2=AD2+DB2.例4.如图，将等腰直角△ABC和等腰直角△ADE按图①放置，∠A=90°，AD边与AB边重合，AB=2AD=4.将△ADE绕着点A逆时针方向旋转一个角度α（0°<α<180°），BD的延长线交CE于点P.（1）如图11-②，证明：BD=CE，BD⊥CE；（2）如图11-③，在旋转过程中，当AD⊥BD时，求CP的长.（1）证明：∵△ABC、△ADE为等腰直角三角形,∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°.∵∠DAB=90°-∠CAD，∠CAE=90°-∠CAD，∴∠DAB=∠CAE.∴△ABD≌△ACE.∴BD=CE.∴∠DBA=∠ECA.∴∠CPB=∠CAB.∴BD⊥CE.（2）解：由（1）得BP⊥CE.又∵AD⊥BD，∠DAE=90°，AD=AE，∴四边形ADPE为正方形.∴AD=PE=2.∵∠ADB=90°,AD=2,AB=4,∴BD=CE=23.∴CP=CE-PE=23−2.3．任意顶角相等的等腰三角形（1）基本模型图及结论等腰△ABC和等腰△ADE，∠BAC=∠DAE，△ADE绕着点C旋转过程中，始终有如下结论：①△ABD≌△ACE；②∠BFC=∠BAC=∠DAE；③FA平分∠BFE.证明方法与等边三角形旋转模型类似.证明：如上图12-①，∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAC-∠CAD=∠DAE-∠CAD，∴∠BAD=∠CAE,又∵AB=AC，AD=AE，∴△ABD≌△ACE（SAS）.∴∠ABD=∠ACE，∵∠ABD+∠BAC=∠ACE+∠BFC，∴∠BFC=∠BAC=∠DAE.由△ABD≌△ACES△ABD=S△CAE，BD=CE，∴MA=NA，∴FA平分∠BFE.（角平分线的判定定理）（2）例题例5.如图，点C为线段AB上任意一点（不与A、B重合），分别以AC、BC为一腰在AB的同侧作等腰△ACD和等腰△BCE，CA=CD，CB=CE，∠ACD与∠BCE都是锐角且∠ACD=∠BCE，连接AE交CD于点M，连接BD交CE于点N，AE与BD交点P，连接PC.（1）求证：△ACE≌△DCB，（2）求证：∠APC=∠BPC.证明：（1）∵∠ACD=∠BCE，∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，∴∠ACE=∠DCB，又∵CA=CD，CE=CB，∴△ACE≌△DCB.（2）分别过点C作CH⊥AE，垂足为H，作CG⊥BD，垂足为G.∵△ACE≌△DCB，∴AE=BD，三、特殊模型1．B、D、E三点共线（1）模型图及结论等腰△ABC和等腰△ADE，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，当B、D、E三点共线时，则A、B、C、D四点共圆.（2）例题例6.四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，AB=AC，点E是BD上一点，且AE=AD，∠EAD=∠BAC.（1）求证：∠BAD=∠ACD.（2）若∠ACB=65°，求∠BDC的度数.证明：（1）∵∠BAC=∠EAD，∴∠BAC-∠EAC=∠EAD-∠EAC,即∠BAE=∠CAD，∴△ABE≌△ACD，∴∠BAD=∠ACD.（2）∵∠BOC是△ABO和△DCO的外角，∴∠BOC=∠ABD+∠BAC，∠BOC=∠ACD+∠BAC，∴∠ABD+∠BAC=∠ACD+∠BDC，∵∠ABD=∠ACD，∴∠BAC=∠BDC.∵∠ACD=65°，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=65°,∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=50°，∴∠BDC=∠BAC==50°.2．D点在BC上运动时（1）模型图及结论等腰△ABC和等腰△ADE，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，当D点在BC上运动时，则CA平分∠BCE，A、B、C、D四点共圆.（2）例题例7.如图，在△ABC中，AB=AC,点D是BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠BAC=∠DAE，连接CE.（1）如图，若∠BAC=90°，①求证△ABD≌△ACE；②求∠BCE的度数.（2）设∠BAC=α，∠BCE=β，则α，β之间有什么样的数量关系？直接写出结论.解：（1）①∵∠BAC=∠DAE,∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,即∠BAD=∠CAE,∴△ABD≌△ACE（SAS）；②∵△ABD≌△ACE，∴∠B=∠ACE，∴∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB，∴∠BCE=∠B+∠ACB，又∵∠BAC=90°，∴∠BCE=90°.（2）α+β=180°.理由：∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAD+∠DAC=∠EAC+∠DAC，即∠BAD=∠CAE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠B=∠ACE.∴∠B+∠ACB=∠AC