大学物理读书报告-混沌理论及其应用

赏天地之美赏天地之美#析万物之理湍流是一种极其复杂的现象，它是如何发生的，至今人们仍然不完全清楚，但是，混沌现象的发现，对揭示湍流有很大启发。1975年，美籍华人学者李天岩和美国数学家约克(YorkeJ)在美国《数学月刊》发表了题为“周期3意味着混沌”的著名文章，深刻地揭示了从有序到混沌的演化过程。在这篇文章中，他们给出了混沌的一种数学定义，先称为Li-Yorke定义：设连续自映射fltI6R,I中一个子区间。如果存在不可数集合S三1满足S不包括周期点。任给X],X26SX1HX2，有limt*suP邵fX1一fX21>0叭*inff£-fX2=0这里f•=ff(…f•表示t重函数关系。任给X]€S及f的任意周期点Pei有limt*supfX1一fP>0则称f在S上是混沌的。从此，“混沌”一词终于在现代意义下正式出现在科学语汇之中。1976年，美国生态学家梅(MayR)在美国《自然》杂志上发表的题为“具有极复杂性的动力学的简单数学模型”文章中指出，在生态学中一些非常简单的确定性的数学模型却能产生看似随机的行为。如：xn+1=旳一xn)称之为“虫口方程”即著名的逻辑斯蒂(Logisitic)模型。该模型看来似乎很简单，并且具有确定性,但参数U在一定范围变化时，它却具有极为复杂的动力学行为，其中包括了分岔和混沌，从而向人们表明了混沌理论的惊人信息。1977年，混沌理论终于等到了这一朝。这一年，第一次国际混沌会议在意大利召开，标志着混沌学在国际科学界正式诞生了！(3)1978年至今在混沌学作为一门科学学科正式诞生后不久，即1978年和1979年费根包姆(FeigenbaumM)等人在梅的基础上独立地发现了倍周期分岔现象中的标度性和普适常数，从而使混沌在现代科学中具有坚实的理论基础。世纪80年代以来，人们着重系统如何从有序进入新的混沌及其混沌的性质和特点。除此之外，借助于(单)多标度分形理论和符号动力学，还进一步对混沌结构进行了研究和理论上的总结。同时，随着计算机技术的飞跃式发展，通过计算机绘制出各种混沌现象成为了可能。1980年，美籍法国数学家曼德布罗特用计算机绘出了世界上第一张Mandelbrot集的混沌现象。对于混沌学中的分数维能描述自然界中很多现象在几何上的不规则性，但不能完全揭示出产生的相应结构的动力学特性的这一现象，GrassberP等人于1987年提出了重构动力学的理论方法。通过有时间序列中提取分数维、Lyapunov指数等混沌特征量，从而使得混沌理论进入到实际应用阶段。20世纪90年代初，美国科学家Ott,Grebogi,Yorke和Pecora，Carroll分别在混沌控制和混沌同步方面取得了突破性进展，从而在全世界掀起了“混沌控制热”，使其应用范围扩展到工程技术领域以及其他领域。20世纪80、90年代是混沌理论发展的“黄金时期”。在此期间，混沌从哲学理论变为科学学科，从研究课题变为应用工程,从无人问津到炙手可热，混沌理论完成了一个飞跃！在今后的研究中，混沌这一新兴交叉学科，必将以它独有的风采引领科学界一路高歌、不断攀援！二）混沌现象举例及其共性（1）贝纳（Benard）对流不稳定问题贝纳对流不稳定问题是研究热对流和大气环流的基本问题。如图1所示，图一为地幔热对流的过程示意简图和液体受热产生的贝纳对流的分析图。我们不妨将上液面和下液面的温度分别设为T、t2，则可得出以下结论。当T］、T2相同时（即AT=T1一T2=0），整个液体的温度是均匀的，其液体所处的空间也是对称的。上、下液面温度即为环境温度，此时系统与环境没有热量交换，即系统处于平衡态，这是一种热力学混沌态。如图二所示的大洋热对流现象也很好地反映了这一对流不稳的现象，即我们所讨论的最早的混沌学研究对象——热力学混沌现象。图一：地幔热对流示意图）

（图二：大洋上发生的对流现象示意图）（2）卡曼（Karman）涡街（图二：大洋上发生的对流现象示意图）卡曼涡街是流体力学中的重要问题。将一个半径为L的无穷长圆柱置于一个流速为U、粘性系数为v的流体中，当决定流动状态的参数（如雷诺数Re=罟）取不同值时，流体绕过圆柱流动时的情况，如图三所示。当Re较小时，即流速v很小时，流线图形与圆柱的的形状相似。流体的流动状态是稳定的流体的每一点的运动状态不随时间而变，流体在圆柱后面形成平稳的流线，即v（t）是定常运动（见图三（a））；当Re逐渐增大并超过某一阀值后，圆柱后面的流线突然发生振荡，形成一对静止的涡旋，v（t）就是周期运动（见图二图三：卡曼涡街）（b））；当Re继续增大时，流线开始从圆柱后面的左右两侧分离成两两间隔反向的涡旋，这时涡旋处于动态的振动之中（见图三（c）），称为卡曼涡街。显然，当Re不断增大时，v（t）则出现不规则的湍流运动（见图三（d）、（e））。这就反映了系统从简单到复杂过程。

图三：卡曼涡街）⑶激光器在一块带有两个反射镜的红宝石激光器中，当用氚灯照射时，就能像一只普通的灯，发射光的电场强度E构成一个随机波如图四（a）所示，气喘射方向呈辐射形。当功率超过更大的临界值的时候，原来连续的激光则变成了极短的有规律的脉冲激光（见图四（c））,从而经历一次又一次的突变过程。当脉冲随时间t做周期变化时，在空间X上就形成了一个孤立子（Soliton）,如图四（d）所示。这种激光作用技能出现在人造激光器中，也能出现在自然状态的星际空间中。E4（町随机波jjlIk』!何除冲e）E4（町随机波jjlIk』!何除冲e）正弦波（d）js立子图四：激光器电场强度随通量的变化）4）振荡化学反应不仅物理学中存在着一些复杂现象，而且化学中也存在着复杂现象。假如在化学反应中，为了使反应达到定态，则要求以不同速率向体系输入反应物或输出生成物，这时就会出现完全不同的情况。最典型的例子就是贝罗索夫-札伯廷斯基反应，简称为BZ反应。这个化学反应就是：在催化剂铈（或铁、锰）离子的参与下，丙二酸被溴酸盐氧化，结果发现所生成的产生物的浓度随时间周期变化，这类现象称为化学振荡或化学钟。这种浓度变化的不规则性，即体现了在化学领域中的混沌现象。5）生物系统的自组织现象我们知道，玻尔兹曼原理虽然对于解释平衡结构的形成和维持是成功的，然而，当用它来说明非平衡的有序结构（如生物有序）时却遇到了极大的困难。例如，生物体的有序不能靠降低自己温度而获得，也不能靠与外界环境的隔离而维持。因而，我们得出，生物体确实是在非平衡状态的条件下生存的。一部生物进化史，就是生物从原始的比较均匀的无序结构发展为高级的不均匀的有序结构的历史。（6）复杂混沌现象的共性在上述的诸多例子中，我们可以看出大自然中确实普遍存在着复杂的现象。归纳起来，这些复杂的现象主要有如下几个共同的性质：复杂现象都处于开放的、远离平衡的系统中；系统是自组织的，且有一个自组织核心；系统内部存在着非线性的相互作用；过程的不可逆性；系统对初值的变化具有很强的敏感性；涨落和对称破缺。三）混沌学的现状与展望混沌绝不只是一堆有趣的数学现象，它在自然界中有种种表现。一般说来，混沌是比有序（此处指经典意义下的有序——对称、周期性）更为普遍的现象。混沌向我们揭示出一个形态和结构的崭新世界。它表明，在某一范围的无序是与另一个不同范围的有序完全协调的。我们了解到，混沌学已经融入了整个科学体系中。从历史发展的角度看，在横向上，它将各个学科连接起来，抹平了由于社会分工而造成的行业鸿沟，使混沌理论具有更广泛的适用性；纵向上，它不仅进一步运用数学工具，开展深一层次的理论分析，而且，已经渐渐开始将一部分成果转化为生产力（如混沌的控制和同步等）。如今，摆在我们面前的是一幅有序和混沌交替出现又同时并存的世界。声学混沌，光学湍流，化学反应的混沌变化，太阳系中行星的混沌轨道，地震的混沌特征，长时期天气的"蝴蝶效应"，虫口数目的混沌更迭，电子线路中的噪音输出及电力网的复杂振荡等等都无不与这门新学科相联系。探索复杂性，揭示生命现象的奥秒，混沌行为的启发将使人类自身健康状况改善，经济学学者正试图应用混沌理论来寻求商业周期中隐藏的有序性，以改善经济数据的短期预报可谓大千世界皆混沌；混沌即进一步细分了我们的研究客体，同时又统一了我们的研究方式，混沌理论的发展必将带来新的技术革命。同时，混沌理论的发展，必须依赖数学。分维是奇怪吸引子的重要几何特征，与之对应的分形几何近二十年来也得到了飞速发展，通过计算不同吸引子的各种维数，可以更有效、更细致地对混沌系统进行分类。符号动力学是作为动力学系统一般理论的一个重要分支，人们将对一维映射系统符号动力学的研究推广到高维系统，使混沌系统的拓扑普适性得到了完美体现，而且这种

从一维向空间的推广，也带动了其它普适性的合理运用。另外在理论方面，还综合了很多数学分支，如测度论、泛函分析、拓扑、分形几何等等。在技术上，一方面实验物理学家们正在不断地扩大对混沌的研究领域，另一方面，他们正在试图驾驭混沌：他们用种种方法将系统稳定在混沌区的一个周期轨道上；他们还设法使两个混沌的系统同步化，从而实现利用混沌的保密通讯。混沌学今后的发展方向在那里？混沌究竟是喜欢追随时髦的人的一种有趣思想，还是像它的某些支持者声称的那样，实际上是科学思想的一场革命？——只有事实才能说明一切。但我们坚信，那只可以“纽约引发一场风暴”的蝴蝶，定将会释放出它身体中所蕴含的无限力量，有朝一日，再次引发一场震惊世界的“大风暴”，但那场“风暴”不会带来人类的损失，却会开辟一个全新的世界——一个由混沌学“科学风暴”开辟的全新科学界！！！四）结语及心得通过大量地阅读了有关“混沌学”这深奥的新兴交叉学科的专业书籍之后，我较为深入和系统地了解了混沌学的基本知识和研究方法，获益匪浅。在我看来，混沌学作为一门最新的交叉学科，具有其他学科无法比拟的先进性和前瞻性。多方位、多视角、多学科、多途径地对混沌学进行研究和推广是非常必要的。研究与合理应用混沌学知识，对于当今社会的发展需求来说无疑是令人欢欣鼓舞的