中考数学复习-利用“将军饮马”解决线段最值 练习题（含答案）

利用“将军饮马”解决线段最值问题

方法突破练

I如图，在平面直角坐标系中，已知点A(2,I),8(-3,2),在x轴上找一点P,使.P4+的值最小,求此时

点P的坐标.

第1题图

2.如图，在平面直角坐标系中,已知点A(I,1),B(2,4),在直线x=3上找一点P,使得\PA-的值最大，求\PA

第2题图

3.如图，在平面直角坐标系中，A(-2,0),8(1，3),,已知点C是直线l:y=x上一动点，当y=xAC+8c取得最

小值时，求点C的坐标.

第3题图

4如图，已知直线y=t+4与y轴、x轴分别交于A,B两点，点C的坐标为(0.1).点D,E分别是线段OB,A

B上的动点，求△CDE周长的最小值.

5.如图，在平面直角坐标系中，4(-3,-1),8(-1，-3)八若D是x轴上一动点，C是y轴上一动点,求四边形A

BCD周长的最小值.

第5题图

设问进阶练

例如图，抛物线y=+4%+2与x轴交于点A,B,与y轴交于点C,抛物线的对称轴为直线1,顶点为

点D,点C关于直线I的对称点为点E.

⑴如图①，若点P是y轴上一动点，当.8P+PE取得最小值时，求点P的坐标；

(2)如图②.连接CD,点Q是x轴上一动点,连接CQ,DQ,求△CDQ周长的最小值；

(3)如图③，若点M为y轴上一动点，点N为x轴上一动点，求四边形DENM周长的最小值.

例题图③

综合强化练

1.如图，抛物线y=ax2^-bx+3(a#：0)与x轴交于A,B(3,0)两点(点A在点B的左侧)，且.AB=4,与y轴交于

点C,抛物线的顶点为D.

⑴求抛物线的解析式；

(2)求证:BC1CD-,

(3诺点M为OB上一动点，点N为DB上一动点,是否存在点M,N使得△CMN的周长最小?若存在，请求

出点M,N的坐标及.△CMN周长的最小值；若不存在，请说明理由.

作图区答题区

备用图①

备用图②

2.如图①,抛物线y=ax2+bx-6(QH0)与x轴交于点A,B(l,0)(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C,抛物

线的顶点为D,且。4=V3OC.

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图②，连接AC,BC,点M为△4BC内一点,连接MA,MC,分别以AM,AC为边，在它们的上方作等边

△4ME,等边△46,连接EF,求证:EF=CM;

0应直线上是否存在一点P,使得PA+P。的值最小?若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理

由.

作图区答题区

图②

第2题图

备用图

答案

考向3利用"将军饮马"解决线段最值问题

一阶方法突破练

1.解：作图，确定线段和最小时动点的位置，如解图，作点A关于x轴的对称点A',连接BA，交x轴于点P,点

P即为所求，连接AP.

•・•点A与点A'关于x轴对称，

.•.AP=A'P,

PA+PB=PA+PB=AB.

此时PA+PB的值最小.

利用直线解析式求坐标.

VB(-3,2)〃•.直线BA'的解析式为y=-|工+:当y=0时，则0=-?%+*解得％

.•.当PA+PB取得最小值时，点P的坐标为((；,0).

2.解：作图，确定线段差最大时动点的位置.如解图，连接AB并延长与直线x=3交于点P,点P即为所求，

此时|PA-PB|的值最大，最大值为AB的长，

利用勾股定理求线段的长.

:.AB=V(l-2)2+(l-4)2=/10.

・・.|PA-PB|的最大值为V10.

第2题解图

3.解：如解图，作点A关于直线I的对称点A',连接AB交直线I于点C',连接AC则AC+BC=AC+BC

.当A'CB三点共线时,AC+BC的值最小，最小值为A'B的长,此时点C与点C‘重兀合.

•・•点A与点A，关于直线l:y=x对称,A(-2,0),

.A(0,-2).

v•直线A'B的解析式为y=5x-2.

联立解得「二

Iy—“v=—第3题解图

V2

.•.当AC+BC取得最小值时，点C的坐标为(沔)

4.解:如解图，作点C关于ABQB的对称点C,C",连接ACCECDCUCC"分别交AB,OB于点E\D;

贝!JCE=C'E,CD=C"D"CDE的周长为CE+CD+DE=CE+CD+DE>CC，f

.•.当C'ED,C"四点共线时,&CDE的周长取得最小值,此时点E与点E，重合，点D与点6重合,

.•.<DE周长的最小值即为C'C"的长.

•.・直线y=-x+4,点C(0,l),

o

/.AO=4,OC=l/zOAB=45,

•'■AC—3,

•.・点C关于AB的对称点为点C,第4题解困

,

.".zC'AB=45°/AC=AC=3,

.••NCAC'=90：

•.・点C关于OB的对称点为点C",

.8=2,

/.AC=5,

I22

.•.在RUCAU中,C'C''=+,0)=V34.

.)CDE周长的最小值为V34.

5.解：如解图，分别作点A关于x轴的对称点E、点B关于y轴的对称点F,连接EF交x轴于点D',交y轴

于点C,连接AD:BU在x轴,y轴上分别任取一点D,G连接AD,BC,CD,则AD=DEBC=C'F,/.AB+BC+CD+

AD>AB+BCr+CD'+AD'=AB+CF+CD'+DE=AB+EF,:.当点D,C分别与点D',C重合时，四边形AB

CD的周长有最小值，最小值为AB+EF,y

『、、。坦

•.E(-3,l),F(L-3),

AAB=2或,EF=4位,

二AB+EF=6&,B

二四边形ABCD周长的最小值讨6W®

二阶设问进阶练

例解：Q)如解图①，作点E关于y轴的对称点E1,连接E'B与y轴交于点P,此时BP+PE取得最小值为BE'

的长，

根据题意冷x=0厕y=2,

“(0,2),令y=0,

解得x=2+乃或x=2-V6,

.••B(2+V5,0),

•・抛物线的对称轴为直线%==2,点C与点E关于抛物线对称轴对称，

.•.E(4,2),「E(-4,2),

..直线BE的解析式为y=毛％+喑，当x=0时,y=誓，

.••当BP+PE取得最小值时，点P的坐标为(0,誓)；

图①图②

例题解图

【一题多解】如解图②,作点B关于y轴的对称点B)连接B'E与y轴交于点P,此时BP+PE取得最小值为B

'E的氏根据题意，令x=0厕y=2,.•(((),2),令y=0,解得.X=2+后或x=2-e,8(2+石，0)；/抛物线的对称轴

为直线x=-岛=2,点C与点E关于抛物线对称轴对称.••.E(4,2)j•点B与点B'关于y轴对称,••・

B\-2-瓜，0),/.直线B'E的解析式为y=+空,当x=0肘.y=暗，：当BP+PE取得最小值时，点P

的坐标为(S喑)

(2J/CD长为定值，

.•.当CQ+DQ的值最小时,4DQ的周长最小.

如解图③，作点C关于X轴的对称点C,连接CD交X轴于点Q,连接CQ,此时CQ+DQ的值最小，为CD的

长，过点D作DF_Ly轴于点F.

由抛物线解析式可知顶点D(2,6),

:.CF=4,DF=2,:.CD=VCF2+DF2=2通.

,•点C与点C关于X轴对称,「.CQ;CQ.

•••CQ+DQ=CQ+DQ=CD,

・•・C(0,2),.,C(0,-2),.CF=8.

：.C'D=+DF2=2a7,

「*CDQ周长的最小值为2遮+2A/T7;

【一题多解】•••CD长为定值,.•.当CQ+DQ的值最小时，^CDQ的周长最小.如解图④，作点D关于x轴的对

称点〉连接CD'交x轴于点Q,连接DQ,此时,CQ+DQ的值最小，为CD的长，过点(：作CH_LDD于点H,由抛物

222

线解析式可知顶点D(2,6),/.D'(2,-6),.-.CH=2,HD'=8/.CD=CH+(H。j=2a7,C。=VCW+DH=2V5,

「.△CDQ周长的最小值为2V5+2-717.

(3)由(1)(2)知,D(2,6),E(4,2),

如解图⑤，作点E关于x轴的对称点E',作点D关于y轴的对称点D•，连接DE交y轴于点M',交x轴于N',

连接DM',EN'厕DM'=D'M',EN'=E'N；.D'(-2,6),E'(4,-2),

,・四边形DENM的周长=DM+MN+NE+DE>DM+M'N'+N'E+DE=D'M'+M’N'+N'E’+DE,

・•・当点M在M)点N在N时四力形DENM的周长取得最小值，最小值为。E+0E的长，

DE=10,DE=

J(2-4尸+(6-2尸=2瓜

「•四边形DENM周长的最小值为10+2V5.

三阶综合强化练

1.(1)解"抛物线y=2+bx+3(a*0)与x轴交于B(3,0),AB=4,..A(-L0),

例题解困⑤

••将A,B两点的坐标代入抛物线的解析式，

得〔a-b+3=0解得俨=-1

付19a+3d+3=0'脾何Ib=2'

••・抛物线的解析式为y=-、2+2x+3;

(2；证明：由⑴得抛物线的解析式为y=--+2x+3,

抛物线的对称轴为直线x==13(0,3),

••抛物线顶点D的坐标为(L4),

•••CD=J(l-0<+(4-3尸=V2,

BC=J(3—0)2+(0-3产=3、②

BD=V(l-3)2+(4-0)2=2V5,

BC2=BD，〉BCD为直角三角形，

.•.zBCD=90°,.'BC±CD;

(3)解存在.

如解图,作点C关于x轴的对称点C,点C关于BD的对称点C",CC"交BD于点E,连接C'U,分别交OB,B

D于点M,N,

此时ACMN周长最小，最小值为CN+MN+MC=CW+MN+CM=CC'；

由⑵得C(0,3),D(l,4),

-6(3,0),

.•直线BD的解析式为y=-2x+6①，

直线CC"的解析式为y=^x+3circle2,

联立①②彳导一2%+6=：%+3,

618

解得X=/.y=w，

...喑凯"修多

.・•点c与点C'关于x轴对称,

=虑)2+管+3)2=

.••"(0，-3),‘C‘C"受电，直线C'U的解析式为y=3x-3③，令y=0,解得x=l/.M(lz0).

联立①③得,-2x+6=3x-3,解得％=Qy=p：•N

综上所述，当MQ,0),,N/之用寸，此时aCMN的周长最小，最小值为手.

2.⑴解:•.抛物线y=ax2+bx-V3(a=0),

.•令x=0,解得y=-V3.C(0,-6),OC=V3.

/0A=V3OCr-.OA=3,.-.A(-3,0)f

•.B(L0),

•・将A,B两点的坐标代入抛物线解析式，