医用数学AI-AII教学大纲

医用数学AI---AII教学大纲课程名称：医用数学AI---AII课程英文名称：MedicalMathematicsAI---AII学时/学分：140/9.0（课堂讲授120，习题课20）课程类别：普通教育课程课程性质：必修课适用专业：七年制、八年制临床医学、口腔等专业开课学期：第Ｉ---Ⅱ学期考核方式：考试（闭卷）

一、课程的性质、目的和任务

医用数学A包括高等数学、工程数学。高等数学、工程数学课程是医科院校七年制各专业学生一门必修的公共基础理论课。通过这几门课程，使学生在掌握一定的高等数学与工程数学的基本的知识和方法的基础上，逐步培养学生的最基本的数学素质(抽象概括问题的能力，逻辑推理能力，运算能力)和自学能力；并结合医学实例让学生了解数学在医药学中的一些简单的应用，从而进一步培养学生分析问题和解决问题的能力，提高他们的科学素养：严谨而具有逻辑性，并能从纷杂的数学据中，通过数学方法的自理抽象出科学的结论。总之，这几门课程是为培养我国现代化建设所需要的高层次医学人才服务的。通过本课程的学习，使学生获得：⑴一元函数微积分学；⑵多元函数微积分学；⑶常微分方程；⑷线性代数；⑸概率论。等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能的同时，为后续课程的学习奠定必要的数学基础。二、本课程的教学基本要求（一）、高等数学1．绪论、函数、极限⑴明确数学方法在医学定量研究中的作用；⑵确立医学生学习数学的目的；⑶了解数学在医学应用中的历史及发展动态；⑷了解本课程历史、研究对象与方法；

⑸理解函数的概念。会求函数的定义域、表达式及函数值，了解分段函数的概念；

⑹理解和掌握函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性；

⑺掌握基本初等函数的性质及其图形；

⑻理解复合函数的概念，熟练掌握复合函数的分解过程。了解初等函数的概念；⑼理解极限的概念；会求函数在一点的左、右极限。了解函数在一点极限存在的充要条件；

⑽了解极限的有关性质，掌握极限的四则运算法则；

⑾熟练掌握运用两个重要极限求极限的方法；

⑿理解无穷小量的概念，了解无穷大量的概念，掌握无穷小量的性质及无穷小量阶的比较；

⒀理解函数在一点连续与间断的概念；会判断函数在一点的连续性；会求函数的间断点，并会判断其类型；

⒁了解闭区间上连续函数的性质；会用介值定理推证一些简单的命题；2．一元函数的微分学

⑴理解导数的概念，了解导数的几何意义，会求分段函数的导数；了解函数的连续与可导的关系，会求曲线上一点处的切线方程及法线方程；

⑵熟练掌握基本初等函数的导数公式、导数四则运算法则；

⑶熟练掌握复合函数的求导法则，了解反函数的求导法则；

⑷掌握隐函数求导法、对数求导法；

⑸理解高阶导数的概念，会求一些简单函数的n阶导数；

⑹理解微分的概念，了解可导与可微之间的关系。掌握微分的运算法则，会运用法则求函数的一阶微分；

⑺理解中值定理及其几何意义，会用该定理证明简单的不等式和恒等式；

⑻熟练掌握运用法则求“”、“”、“0·∞”、“∞-∞”、“1”、“0”和“∞”未定式极限的方法；

⑼会用导数判断函数的单调性，并证明简单的不等式；

⑽理解函数的极值、最值概念，掌握利用导数求函数的极值、最值的方法，并且会解简单的有关最值的应用问题；

⑾了解曲线的凸、凹和拐点的概念，会判断曲线的凸凹性，会求曲线的拐点；

⑿会求曲线的水平、垂直渐近线、斜渐近线；

⒀掌握函数绘图的基本步骤，会作出简单函数的图形；⒁了解泰勒公式的有关概念，掌握展开方法。3．不定积分

⑴理解原函数与不定积分的概念及其关系。掌握不定积分的性质，了解不定积分的几何意义；了解原函数存在定理；

⑵熟练掌握不定积分的基本公式及直接积分法；

⑶熟练掌握不定积分换元积分法（第二换元法中，主要介绍三角代换和倒代换）；⑷熟练掌握不定积分分部积分法；⑸了解有理函数的积分法；⑹了解积分表及其使用方法。4．定积分及应用

⑴理解定积分的概念及其几何意义；了解函数可积条件；掌握定积分的基本性质；

⑵理解积分上限函数的概念。熟练掌握对积分上限函数求导数的方法；

⑶熟练掌握牛顿—莱布尼兹公式，掌握定积分的换元法和分部积分法；

⑷掌握求平面图形面积、旋转体体积的方法，了解求平面曲线孤长、函数平均值的方法，了解变力沿直线所做的功的求法；

⑸理解反常积分的概念，掌握其计算方法；了解Γ函数的定义及其简单性质；会用Γ函数求一些相应的无穷积分。5．常微分方程

⑴理解微分方程及方程的阶、解、通解、特解、初始条件的概念。

⑵掌握一阶可分离变量微分方程的解法；了解可化为一阶可分离变量的齐次微分方程

和的微分方程的解法；

⑶掌握一阶线性微分方程的解法，了解贝努利方程的解法；⑷会用降阶法解、和型微分方程；⑸掌握二阶常系数线性齐次微分方程的解法；⑹了解微分方程在医学方面的应用；掌握“直接翻译法”建立数学模型的方法；掌握一级过程的建模的问题；会建立医药学中简单的数学模型。6．空间解析几何⑴掌握空间直角坐标系的概念及空间两点间的距离公式；⑵了解空间曲面的概念及其方程；

⑶知道平面、球面、母线平行于坐标轴的柱面的方程及其图形；⑷了解空间曲线的概念及其方程；了解空间曲线在坐标平面上的投影；⑸了解几个常见的二次曲面的概念及其方程：椭球面、双曲面（单叶双曲面、双叶双曲面）、抛物面（椭圆抛物面、双曲抛物面）旋转曲面及锥面；7．多元函数微分学⑴理解二元函数的概念，了解其几何意义，会求二元函数的定义域，并能用平面图形表示其定义域；了解多元函数的概念；⑵了解二元函数极限的概念(计算不做要求)；

⑶了解二元函数连续的概念(计算不做要求)，会求二元函数的间断点，了解有界闭区域上二元连续函数的性质；⑷理解偏导数的概念，了解二元函数偏导数的几何意义；

⑸了解高阶偏导数的概念，掌握一阶、二阶偏导数求法；⑹了解偏微分的概念，理解全微分的概念，了解全微分存在的充分条件；会求多元函数的全微分；⑺了解全微分在近似计算中的应用；⑻了解二元函数连续、可导与可微的关系。⑼掌握二元复合函数的偏导数求法；

⑽掌握由方程所确定的隐函数的偏导数的求法；

⑾了解二元函数极值的概念；会求二元函数的无条件极值；

⑿了解条件极值的概念；掌握拉格朗日乘数法，利用此法会求条件极值；8．多元函数积分学⑴理解二重积分的概念，了解其几何意义；

⑵掌握二重积分的性质；

⑶掌握二重积分的计算方法：直角坐标系下化二重积分为累次积分的方法，极坐标系下化二重积分为累次积分的方法；

⑷能根据需要将累次积分形式的二重积分进行换序；

⑸会用二重积分解决简单的应用问题(限于求空间曲面的面积、空间封闭曲面所围成的立体的体积和平面薄板的质量)；

（二）线性代数1．n阶行列式⑴了解全排列、逆序数的概念；⑵理解n阶行列式定义，掌握对角行列式、上（下）三角行列式及其结果；⑶了解对换、转置行列式的概念，及对换的有关定理，掌握n阶行列式的性质；⑷了解余子式、代数余子式的概念；掌握代数余子式的性质；⑸掌握行列式按行（列）展开法则；⑹掌握Cramer法则；并利用此法则会解线性方程组；2．

矩阵及其运算⑴理解线性变换、矩阵的概念，并了解两者之间的关系；了解几种特殊的矩阵：n阶方阵、行矩阵、列矩阵、n阶单位阵、零矩阵、对角阵、负矩阵；⑵掌握矩阵的加、减、乘运算法则及其运算规律；⑶理解矩阵的转置、方阵行列式、逆阵的概念及其运算规律；了解矩阵的分块及其运算法则；3．

矩阵的初等变换与线性方程组⑴了解矩阵的初等变换、初等方阵、标准型、奇异方阵、满秩方阵、降秩方阵的概念；⑵掌握矩阵秩、逆阵的求法，并能熟练求矩阵的秩、逆阵；⑶了解线性方程组、解、通解、相容、不相容和增广矩阵的概念；⑷掌握用初等变换解线性方程组的方法；4．向量的线性相关性⑴了解n维向量、零向量、负向量、向量组的概念；⑵掌握向量的线性运算；理解向量的线性组合、线性相关与线性无关的概念；掌握线性相关性的有关定理；⑶了解向量组的等价概念及其性质；⑷理解向量组的秩、最大无关向量组的概念及其有关性质；掌握矩阵秩的概念；⑸掌握齐次、非齐次方程组的通解结构；⑹理解向量空间，了解子空间、生成空间的概念；理解向量空间的基的概念；（三）概率论1．预备知识⑴掌握排列与组合的常用公式；⑵掌握集合的关系与运算；2．随机事件⑴明确随机试验及随机事件的基本概念和表示方法；

⑵掌握事件间的关系及运算，并能灵活运用；

⑶掌握基本空间的概念，理解事件与集合之间的关系。3．随机事件的概率⑴明确古典概型，几何概型试验，熟练掌握古典概率及几何概率的计算；

⑵理解事件的频率、概率的统计意义和二者之间的关系；

⑶理解概率的公理化体系及公理化定义，熟练掌握三条公理及常用的概率性质。4．条件概率

事件的相互独立性及试验的相互独立性⑴理解条件概率，掌握乘法公式；

⑵掌握全概率公式与贝叶斯公式，并能熟练运用；

⑶理解事件的相互独立性，掌握判断和应用的方法；⑷明确重复独立试验，掌握二项概率公式，了解小概率事件实际不可能原理的用法；5．一维随机变量⑴明确随机变量、分布函数的概念，掌握分布函的性质及求法；

⑵明确离散型随机变量及其分布密度的概念，熟练掌握二项分布与泊松分布；

⑶明确连续型随机变量及其分布密度的概念、性质，熟练掌握正态分布及其计算。6．二维随机变量⑴了解二维随机变量的概念，掌握联合分布与边缘分布的定义、性质及计算；

⑵明确随机变量的独立性，掌握判断独立性的方法。7．随机变量函数及其分布⑴明确一、二维随机变量函数的概念，掌握随机变量函数分布的求法；

⑵理解DeMoivre-Laplace中心极限定理及其应用。8．随机变数字特征⑴明确数期望的概念，掌握数学期望的性质、计算，及常见分布的数学期望；

⑵明确方差的概念，掌握方差的性质、计算，及常见分布的方差；

⑶了解协方差、相关系数的概念、性质及计算；⑷了解切比晓夫不等式及大数定律的作用。

三、本课程的教学内容及学时分配（一）、高等数学

（60+10学时）1．绪论、函数、极限（6学时）2．一元函数微分学（16+2学时）3．一元函数积分学（不定积分、定积分）（16+4学时）

4．常微分方程（8+2学时）5．多元函数微分学（空间解析几何简介、多元函数微分学）（8学时）6．多元函数积分学（6+2学时）（二）线性代数

（36+6）1、n阶行列式（8学时）；2、矩阵及其运算（6+2学时）3、矩阵的初等变换与线性方程组（8+2学时）4、向量的线性相关性（14+2学时）（三）概率论

（24+4学时）1、预备知识（2学时）2、随机事件（2学时）3、随机事件的概率（2学时）4、条件概率

事件的相互独立性及试验的相互独立性（2学时）5、一维随机变量（4学时）6、二维随机变量（4+2学时）7、随机变量函数及其分布（4学时）8、随机变数字特征（4+2学时）

四、选用教材及主要参考书

1．选用教材：⑴《医用高等数学》（第六版）

张选群主编

人民卫生出版社

2013年（卫生部“十二五”规划教材，普通高等教育本科“十二五”国家级规划教材，全国高等医药教材建设研究会“十二五”规划教材，供基础、预防、临床、口腔医学类专业用）⑵《线性代数》（第五版）同济大学数学教研室主编

高等教育出版社

2007年(普通高等教育“十一五”国家级规划教材)⑶《概率统计简明教程》

同济大学应用数学系主编

高等教育出版社

2003年（普通高等教育本科“十五”国家级规划教材）2．主要参考书：⑴《医用生物数学》

王颖

安国斌等主编，吉林科学技术出版社，2000年⑵《高等数学》(第五版)

顾作林主编

人民卫生出版社

2011年（卫生部“十二五”规划教材，全国高等医药教材建设研究会“十二五”规划教材，供药学类专业用）⑶《高等数学》(第六版)

同济大学数学教研室主编

高等教育出版社

2007年⑷《线性代数》

孙兰芬

陈一巾

浙江大学出版社

1996年⑸《线性代数》

刘舒强

天津大学出版社

2002年⑹《高等代数》

张禾瑞

郝鈵新编

人民教育出版社

1982年

⑺《高等代数教程》

王萼芳

清华大学出版社

1997年第一版⑻《概率论讲义》

沈恒范编

人民教育出版社

1966年4月第一版⑼《概率论与数理统计》盛骤等主编

高等教育出版社

1979年3月第一版⑽《概率