2022学年高中物理机械能守恒定律同步学案新人教版6

第8节机械能守恒定律要点一机械能的概念及理解1．定义：物体由于做机械运动而具有的能叫机械能，用符号E表示，它是动能和势能(包括重力势能和弹性势能)的统称．2．表达式：E＝Ek＋Ep.机械能是标量，没有方向，只有大小，可有正负(因势能可有正负)．3．机械能具有相对性因为势能具有相对性(需确定零势能参考平面)，同时，与动能相关的速度也具有相对性(应该相对于同一惯性参考系，一般是地面)，所以机械能也具有相对性．只有在确定的参考系和零势能参考平面的情况下，机械能才有确定的物理意义．要点二机械能守恒定律1．理论推导如图7－8－3所示，图7－8－3物体沿光滑曲面下滑，某时刻处于位置A时，它的动能为Ek1，重力势能为Ep1，总机械能E1＝Ek1＋Ep1.运动到位置B时，它的动能是Ek2，重力势能为Ep2，总机械能是E2＝Ek2＋Ep2.由动能定理知，由A到B的过程中，只有重力做功，所以重力所做的功WG＝mg(h1－h2)，由重力做的功与重力势能的关系知WG＝Ep1－Ep2，所以有Ek2－Ek1＝Ep1－Ep2，即Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2，即E1＝E2.说明在只有重力做功的情况下，不论物体做直线运动还是曲线运动(如平抛运动、斜抛运动等)，机械能都守恒．2．守恒条件物体系统内只有重力或弹力做功(其他力不做功)，机械能守恒．对于该条件可具体理解如下：(1)系统内部只有重力或弹力做功，而没有内部摩擦力和其他内力(如炸弹爆炸时的化学物质的作用力等)做功，即系统内部除发生重力势能或弹性势能与动能的相互转化之外，不会引起发热、发光或化学反应等非力学现象的产生．(2)没有任何外力对系统做功，包括以下三种情况：①系统不受外力．②系统受外力，但所有外力均不做功．③系统受外力，而且外力做功，但外力做功的代数和为零．要点三机械能守恒定律的应用机械能守恒定律的表达式及举例表达方式说明注意点举例方程Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2初状态Ⅰ的机械能等于末状态Ⅱ的机械能需选择一合适的参考面mgh1＋eq\f(1,2)mveq\o\al(2,1)＝mg·2R＋eq\f(1,2)mveq\o\al(2,2)ΔEk＝－ΔEp物体减少的势能等于增加的动能从初状态Ⅰ到末状态Ⅱ的过程中eq\f(1,2)mveq\o\al(2,2)－eq\f(1,2)mveq\o\al(2,1)＝mgh1－mgh2ΔEa＝－ΔEb将一个系统分为两部分，一部分增加的机械能等于另一部分减少的机械能①单就某一部分机械能不守恒②从状态Ⅰ到状态Ⅱ的过程中(eq\f(1,2)m2veq\o\al(2,2)－eq\f(1,2)m2veq\o\al(2,1))－m2gh＝－(m1gh＋eq\f(1,2)m1veq\o\al(2,2)－eq\f(1,2)m1veq\o\al(2,1))2.应用机械能守恒定律列方程的两条基本思路(1)守恒观点始态机械能等于终态机械能，即：Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2.(2)转化或转移观点①动能(或势能)的减少量等于势能(或动能)的增加量，即：Ek1－Ek2＝Ep2－Ep1.②一个物体机械能的减少(或增加)量等于其他物体机械能的增加(或减少)量，即：EA1－EA2＝EB2－EB1.3．应用机械能守恒定律解题的步骤(1)根据题意选取研究对象(物体或系统)．(2)明确研究对象的运动过程，分析对象在过程中的受力情况，弄清各力做功的情况，判断机械能是否守恒．(3)恰当的选取零势面，确定研究对象在过程中的始态和末态的机械能．(4)根据机械能守恒定律的不同表达式列方程.1.判断机械能是否守恒的方法有哪些？(1)做功条件分析法：应用系统机械能守恒的条件进行分析．若物体系统内只有重力和弹力做功，其他力均不做功，则系统的机械能守恒．(2)能量转化分析法：从能量转化的角度进行分析．若只有系统内物体间动能和重力势能及弹性势能的相互转化，系统跟外界没有发生机械能的传递，机械能也没有转变成其他形式的能(如没有内能增加)，则系统的机械能守恒．(3)增减情况分析法：直接从机械能各种形式能量的增减情况进行分析．若系统的动能与势能均增加或均减少，则系统的机械能不守恒；若系统的动能或势能不变，而势能或动能却发生了变化，则系统的机械能不守恒；若系统内各个物体的机械能均增加或均减少，则系统的机械能也不守恒．2．动能定理和机械能守恒定律有什么区别呢？两大规律比较内容机械能守恒定律动能定理应用范围只有重力和弹力做功时无条件限制物理意义其他力(重力、弹力以外)所做的功是机械能变化的量度合外力对物体做的功是动能变化的量度关注角度守恒的条件、始末状态机械能的形式及大小动能的变化及改变动能的方式(合外力做功情况)说明等号右边表示动能的增加量时，左边表示势能的减少量，“mgh”表示重力势能(或重力势能的变化)符号左边是合外力的功，右边是动能的变化量，“mgh”表示重力做的功一、机械能守恒的判定例1下列物体中，机械能守恒的是()A．做平抛运动的物体B．被匀速吊起的集装箱C．光滑曲面上自由运动的物体D．物体以eq\f(4,5)g的加速度竖直向上做匀减速运动解析物体做平抛运动或沿光滑曲面自由运动时，不受摩擦力，在曲面上弹力不做功，只有重力做功，机械能守恒，所以A、C项正确；匀速吊起的集装箱，绳的拉力对它做功，不满足机械能守恒的条件，机械能不守恒；物体以eq\f(4,5)g的加速度向上做匀减速运动时，由牛顿第二定律F－mg＝m(－eq\f(4,5)g)，有F＝eq\f(1,5)mg，则物体受到竖直向上的大小为eq\f(1,5)mg的外力作用，该力对物体做了正功，机械能不守恒．答案AC图7－8－4二、机械能守恒定律的应用例2如图7－8－4所示，在水平台面上的A点，一个质量为m的物体以初速度v0被抛出，不计空气阻力，求它到达B点时速度的大小．解析物体抛出后的运动过程中只受重力作用，机械能守恒，若选地面为参考面，则mgH＋eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)＝mg(H－h)＋eq\f(1,2)mveq\o\al(2,B)解得vB＝eq\r(v\o\al(2,0)＋2gh)若选桌面为参考面，则eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)＝－mgh＋eq\f(1,2)mveq\o\al(2,B)解得它到达B点时速度的大小为vB＝eq\r(v\o\al(2,0)＋2gh)答案eq\r(v\o\al(2,0)＋2gh)三、应用机械能守恒定律解决物体系统问题例3如图7－8－5所示，图7－8－5斜面的倾角θ＝30°，另一边与地面垂直，高为H，斜面顶点上有一定滑轮，物块A和B的质量分别为m1和m2，通过轻而柔软的细绳连结并跨过定滑轮．开始时两物块都位于与地面垂直距离为eq\f(1,2)H的位置上，释放两物块后，A沿斜面无摩擦地上滑，B沿斜面的竖直边下落．若物块A恰好能达到斜面的顶点，试求m1和m2的比值．滑轮的质量、半径和摩擦均可忽略不计．解析设B刚下落到地面时速度为v，由系统机械能守恒得m2geq\f(H,2)－m1geq\f(H,2)sin30°＝eq\f(1,2)(m1＋m2)v2①A物体以v上滑到顶点过程中机械能守恒eq\f(1,2)m1v2＝m1geq\f(H,2)sin30°②由①②得eq\f(m1,m2)＝1∶2答案1∶2方法总结由两个或两个以上物体组成的系统中，虽然每个物体的机械能不守恒，但若系统的总机械能守恒，仍可对系统用机械能守恒定律求解.四、几个功能关系的理解例4质量为m的物体，从静止开始以2g的加速度竖直向下运动h高度，下列说法中正确的是()A．物体的重力势能减少2mghB．物体的机械能保持不变C．物体的动能增加2mghD．物体的机械能增加mgh解析因重力做了mgh的功，由重力做功与重力势能变化关系可知重力势能减少mgh，合力做功为2mgh，由动能定理可知动能增加2mgh，除重力之外的力做功mgh，所以机械能增加mgh，A、B错，C、D对．答案CD方法总结1．重力做功等于重力势能的变化．2．合外力做的功等于动能的变化．3．重力(或弹力)以外的其他力做的功等于机械能的变化.1.关于机械能守恒，下列说法正确的是()A．物体匀速运动，其机械能一定守恒B．物体所受合外力不为零，其机械能一定不守恒C．物体所受合外力做功不为零，其机械能一定不守恒D．物体沿竖直方向向下做加速度为5m/s2的匀加速运动，其机械能减少答案D2．如图7－8－6所示，图7－8－6在抗洪救灾中，一架直升机通过绳索，用恒力F竖直向上拉起一个漂在水面上的木箱，使其由水面开始加速上升到某一高度，若考虑空气阻力而不考虑空气浮力，则在此过程中，以下说法正确的有()A．力F所做功减去克服阻力所做的功等于重力势能的增量B．木箱克服重力所做的功等于重力势能的增量C．力F、重力、阻力，三者合力所做的功等于木箱动能的增量D．力F和阻力的合力所做的功等于木箱机械能的增量答案BCD解析对木箱受力分析如右图所示，则由动能定理：WF－mgh－WFf＝ΔEk，故C对．由上式得：WF－WFf＝ΔEk＋mgh，即WF－WFf＝ΔEk＋ΔEp＝ΔE，故A错，D对．由重力做功与重力势能变化关系知B对，故B、C、D对．3.图7－8－7如图7－8－7所示，某人以拉力F将物体沿斜面拉下，拉力大小等于摩擦力，则下列说法中正确的是()A．物体做匀速运动B．合力对物体做功等于零C．物体的机械能守恒D．物体的机械能减小答案C4．下列四个选项的图中，木块均在固定的斜面上运动，其中图A、B、C中的斜面是光滑的，图D中的斜面是粗糙的，图A、B中的F为木块所受的外力，方向如图中箭头所示，图A、B、D中的木块向下运动，图C中的木块向上运动．在这四个图所示的运动过程中机械能守恒的是()答案C解析依据机械能守恒条件：只有重力做功的情况下，物体的机械能才能保持守恒，由此可见，A、B均有外力F参与做功，D中有摩擦力做功，故A、B、D均不符合机械能守恒的条件．5．如图7－8－8所示，图7－8－8翻滚过山车轨道顶端A点距地面的高度H＝72m，圆形轨道最高处的B点距地面的高度h＝37m．不计摩擦阻力，试计算翻滚过山车从A点由静止开始下滑运动到B点时的速度．(g取10m/s2)答案26.5m/s解析取水平地面为参考平面，在过山车从A点运动到B点的过程中，对过山车与地球组成的系统应用机械能守恒定律，有mgh＋eq\f(1,2)mv2＝mgH可得过山车运动到B点时的速度为v＝eq\r(2gH－h)＝eq\r(2×10×72－37)m/s≈26.5m/s6．某人站在离地面h＝10m高处的平台上以水平速度v0＝5m/s抛出一个质量m＝1kg的小球，不计空气阻力，g取10m/s2，问：(1)人对小球做了多少功？(2)小球落地时的速度为多大？答案(1)J(2)15m/s解析(1)人对小球做的功等于小球获得的动能，所以W＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)＝eq\f(1,2)×1×52J＝J(2)根据机械能守恒定律可知mgh＋eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)＝eq\f(1,2)mv2所以v＝eq\r(v\o\al(2,0)＋2gh)＝eq\r(52＋2×10×10)m/s＝15m/s7.如图7－8－9所示，图7－8－9光滑的水平轨道与光滑半圆轨道相切，圆轨道半径R＝0.4m．一个小球停放在水平轨道上，现给小球一个v0＝5m/s的初速度，求：(g取10m/s2)(1)小球从C点飞出时的速度．(2)小球到达C点时，对轨道的作用力是小球重力的几倍？(3)小球从C点抛出后，经多长时间落地？(4)落地时速度有多大？答案(1)3m/s(2)倍(3)s(4)v0解析(1)小球运动至最高点C过程中机械能守恒，有eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)＝2mgR＋eq\f(1,2)mveq\o\al(2,C)vC＝eq\r(v\o\al(2,0)－4gR)＝eq\r(52－4×10×m/s＝3m/s(2)对C点由向心力公式可知FN＋mg＝meq\f(v\o\al(2,C),R)FN＝meq\f(v\o\al(2,C),R)－mg＝由牛顿第三定律可知小球对轨道的压力为小球重力的倍．(3)小球从C点开始做平抛运动由2R＝eq\f(1,2)gt2知t＝eq\r(\f(4R,g))＝eq\r(\f(4×,10))s＝s(4)由于小球沿轨道运动及做平抛运动的整个过程机械能守恒，所以落地时速度大小等于v0.题型①机械能守恒的判定如图1所示，图1细绳跨过定滑轮悬挂两物体M和m，且M>m，不计摩擦，系统由静止开始运动过程中()A．M、m各自的机械能分别守恒B．M减少的机械能等于m增加的机械能C．M减少的重力势能等于m增加的重力势能D．M和m组成的系统机械能守恒答案BD解析M下落过程中，绳的拉力对M做负功，M的机械能，减少；m上升过程，绳的拉力对m做正功，m的机械能增加，A错误；对M、m组成的系统，机械能守恒，易得B、D正确；M减少的重力势能并没有全部用于m重力势能的增加，还有一部分转变成M、m的动能，所以C错误．拓展探究上题中，M和m组成的系统，动能如何变化？势能如何变化？二者有什么关系？答案系统动能增加，势能减少，二者大小相等，即势能的减少量等于动能的增加量．方法总结1．用做功来判断：分析物体或物体系的受力情况(包括内力和外力)，明确各力做功的情况，若对物体或系统只有重力或弹力做功，没有其他力做功或其他力做功的代数和为零，则机械能守恒．2．用能量转化来判定：若物体系中只有动能和势能的相互转化而无机械能与其他形式的能的转化(如系统无滑动摩擦力和介质阻力，无化学能的释放，无电磁感应过程等)，则物体系机械能守恒．3．对一些绳子突然绷紧、物体间碰撞等问题机械能一般不守恒，除非题目中有特别说明或暗示.题型②机械能守恒定律的简单应用以20m/s的速度将一物体竖直上抛，若忽略空气阻力，g取10m/s2，试求：(1)物体上升的最大高度．(2)以水平地面为参考平面，物体在上升过程中重力势能和动能相等的位置．答案(1)20m(2)10m解析(1)设物体上升的最大高度为H，在物体上升的整个过程中应用机械能守恒定律，有mgH＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)解得H＝eq\f(v\o\al(2,0),2g)＝eq\f(202,2×10)m＝20m(2)设物体重力势能和动能相等的位置距地面的高度为h，此时物体的速度为v，则有mgh＝eq\f(1,2)mv2以物体被抛出到运动至该位置的过程中应用机械能守恒定律，有mgh＋eq\f(1,2)mv2＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)由以上两式解得h＝eq\f(v\o\al(2,0),4g)＝eq\f(202,4×10)m＝10m题型③关于物体系统中的机械能守恒问题如图2所示，图2质量分别为3kg和5kg的物体A、B，用轻绳连接跨在一定滑轮两侧，轻绳正好拉直，且A物体底面接触地面，B物体距地面0.8m，求：放开B物体，当B物体着地时，A物体的速度是多少？B物体着地后A物体还能上升多高？答案2m/s0.2m解析对A、B组成的系统，当B下落时，系统机械能守恒，以地面为零势能参考面，则mBgh＝mAgh＋eq\f(1,2)(mA＋mB)v2v＝eq\r(\f(5－3×10××2,8))m/s＝2m/s也可以列式mBgh－mAgh＝eq\f(1,2)(mA＋mB)v2或mBgh－eq\f(1,2)mBv2＝mAgh＋eq\f(1,2)mAv2当B落地后，A以2m/s的速度竖直上抛，则A上升的高度由机械能守恒可得mAgh′＝eq\f(1,2)mAv2，h′＝0.2m.归纳总结解决关于系统中机械能守恒的问题时，必须要找准系统，正确判断系统机械能是否守恒．如果系统中发生能量的转化，则首先考虑机械能是否守恒，应用机械能守恒定律解题，只需分别表示出系统初、末态的总机械能，列出等式即可求解，也可用ΔEA增＝ΔEB减来求解.题型④动能定理和机械能守恒定律的综合应用游乐场的过山车的图3运行过程可以抽象为图3所示模型．弧形轨道的下端与圆轨道相接，使小球从弧形轨道上端A点静止滑下，进入圆轨道后沿圆轨道运动，最后离开．试分析A点离地面的高度h至少要多大，小球才可以顺利通过圆轨道最高点(已知圆轨道的半径为R，不考虑摩擦等阻力)．答案解析小球要能通过圆轨道最高点，则在圆轨道最高点恰好由重力提供向心力，即mg＝meq\f(v2,R)，v＝eq\r(gR)小球由A点到圆弧最高点的过程中，由机械能守恒定律得mgh＝mg·2R＋eq\f(1,2)mv2联立以上各式解得h＝拓展探究(1)上题中小球刚过圆轨道最低点时，对轨道的压力是多大？(2)实际的过山车，由于轨道摩擦阻力的存在，释放点A的高度h比理论值要大些．若h＝时，过山车恰好顺利通过圆轨道最高点，那么，过山车从A点运动到圆轨道最高点的过程中克服摩擦阻力做的功是多少？答案(1)6mg(2)mgR解析(1)到最低点的速度假设为v1由机械能守恒定律得mg·＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,1)又FN－mg＝meq\f(v\o\al(2,1),R)解得FN＝6mg由牛顿第三定律可得，小球对轨道的压力为6mg.(2)因有摩擦阻力做负功，机械能不守恒了，由A点到圆轨道最高点全程应用动能定理得mg－2R)－WFf＝eq\f(1,2)mv2而v＝eq\r(gR)，可得WFf＝mgR1.如图4所示的几种情况，系统的机械能守恒的是()图4A．一颗弹丸在光滑的碗内做复杂的曲线运动[图(a)]B．运动员在蹦床上越跳越高[图(b)]C．图(c)中小车上放一木块，小车的左侧有弹簧与墙壁相连．小车在左右振动时，木块相对于小车无滑动(车轮与地面摩擦不计)D．图(c)中如果小车振动时，木块相对小车有滑动答案AC解析A选项弹丸只受重力与支持力，支持力不做功，只有重力做功，所以机械能守恒；B选项中运动员做功，其机械能越来越大；C选项中只有弹力做功，机械能守恒．D选项中有滑动摩擦力做功，所以机械能不守恒．2．质量为1.0kg的铁球从某一高度自由落下，当下落到全程中点位置时，具有36J的动能，如果空气阻力不计，取地面为参考平面，g取10m/s2，则()A．铁球在最高点时的重力势能为36JB．铁球在全程中点位置时具有72J机械能C．铁球落到地面时速度为12m/sD．铁球开始下落时的高度为7.2m答案BCD3．如图5所示，图5具有一定初速度的物块，沿倾角为30°的粗糙斜面向上运动的过程中，受一个恒定的沿斜面向上的拉力F作用，这时物块的加速度大小为4m/s2，方向沿斜面向下，那么，在物块向上运动过程中，正确的说法是()A．物块的机械能一定增加B．物块的机械能一定减小C．物块的机械能可能不变D．物块的机械能可能增加也可能减小答案A解析机械能变化的原因是非重力、弹力做功，本题亦即看成F与Ff做功大小问题，由mgsinα＋Ff－F＝ma，知F－Ff＝mgsin30°－ma>0，即F>Ff，故F做正功多于克服摩擦力做功，故机械能增大．4．一块质量为m的木块放在地面上，图6用一根弹簧连着木块，如图6所示，用恒力F拉弹簧，使木块离开地面，如果力F的作用点向上移动的距离为h，则()A．木块的重力势能增加了mghB．木块的机械能增加了FhC．拉力所做的功为FhD．木块的动能增加了Fh答案C解析因拉力F为恒力，所以拉力所做的功为W＝Fh，C选项正确；力F的作用点向上移动的距离为h，但物体上升的距离小于h，A选项错；由功能关系可知，拉力所做的功等于弹簧增加的弹性势能与木块增加的机械能(即木块增加的动能和重力势能)之和，所以B、D选项均错．5．从地面以初速度v0竖直上抛一个小球，不计空气阻力，小球运动过程中的动能Ek与小球离地面高度h的关系是下图中的()答案B解析小球运动过程中机械能守恒，取地面为参考面，有eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)＝Ek＋mghEk＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)－mgh6．用弹簧枪将一质量为m的小钢球以初速度v0竖直向上弹出，不计空气阻力，当小钢球的速度减为eq\f(v0,4)时，钢球的重力势能为(取弹出钢球点所在水平面为参考面)()\f(15,32)mveq\o\al(2,0)\f(17,32)mveq\o\al(2,0)\f(1,32)mveq\o\al(2,0)\f(4,9)mveq\o\al(2,0)答案A解析由eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)＝Ep＋eq\f(1,2)m(eq\f(v0,4))2得Ep＝eq\f(15,32)mveq\o\al(2,0).7．如图7所示，图7水平地面AB＝10.0m，BCD是半径为